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1.2.3空间几何体的直观图 课件(人教A版必修2)


课程目标设置

主题探究导学

1.斜二测画法中的“斜”和“二测”分别指什么?
提示:“斜”是指斜投影,具体说是在已知图形的xOy平面内 垂直于x轴的线段在直观图中均与x′轴成45°或135°;“二

测”是指两种度量形式,即在直观图中,平行于x′轴或平行
于z′轴的线段长度不变;平行于

y′轴的线段长度变为原来的 一半.

2.相等的角的直观图一定相等吗?请举例说明. 提示:不一定.如图,正方形ABCD的直观 图为平行四边形A′B′C′D′,∠A=∠C, ∠A′=∠C′,同样∠A=∠B,但∠A′≠ ∠B′.

1.空间几何体的直观图一定唯一吗?

提示:不一定唯一.作直观图时,由于选轴不同,所画直观图
就不一定相同.

2.直观图与三视图的联系与区别有哪些?
提示:(1)联系:空间几何体的三视图与直观图有着密切的联 系.三视图能帮助人们从不同侧面和不同角度认识几何体的结

构特征,直观图是对空间几何体的整体刻画,我们可以根据直
观图的结构来想象实物的形象,同时能由空间几何体的三视图 得到它的直观图,也能够由几何体的直观图得到它的三视图. (2)区别:三视图在工程制图中被广泛采用,且线段的长度 有严格的规定.主要是平行投影中的正投影的直观性较差,而

绘制物体的直观图一般采用斜投影或中心投影,可以显示空间
几何体的直观形象,但作图复杂,且线段的长度不如三视图要 求严格.

典型例题精析

【例1】用斜二测画法画边长为4 cm的水平放置的正三角形的 直观图.

思路点拨:正三角形是轴对称图形,解答时应严格按照斜二测
画法的步骤进行.

【练一练】1.利用斜二测画法画直观图时,①三角形的直观图 还是三角形;②平行四边形的直观图还是平行四边形;③正方 形的直观图还是正方形;④菱形的直观图还是菱形.其中正确 的是____.

2.如图所示,正方形ABCD的边长为2 cm,则它的水平放置的直 观图的面积等于____cm2,周长等于____cm.

【例2】如图是一个几何体的三视图,用斜二测画法画出它的 直观图.

思路点拨:由三视图先想象出空间几何体的结构特征;由一个

四棱锥和四棱台组合而成的简单组合体,再画其直观图.

【练一练】1.在空间直角坐标系中, ∠x′O′y′=____,∠y′O′z′=____,∠x′O′z′=____.

2.由下列几何体的三视图画出直观图.

【例3】把如图所示的水平放置的直观图A′B′C′D′还原为 平面图形.

思路点拨:本题在直观图中已经给出了坐标轴,可仿照斜二测
画法的规则完成.

【练一练】1.如图,矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平 面图形的直观图,其中O′A′=6 cm,O′C′=2 cm,则原图形 是 ( (A)正方形 (C)菱形 (B)矩形 (D)一般的平行四边形 )

2.如图是利用斜二测画法画出的△ABO的直观图,已知O′B′
=4,且△ABO的面积为16,过A′作A′C′⊥x′轴,则A′C′的 长为____.

知能巩固提高

一、选择题(每题5分,共15分) 1.下列关于用斜二测画法画直观图的说法错误的是( )

(A)用斜二测画法画出的直观图是在平行投影下画出的空间图


(B)几何体的直观图的长、宽、高与几何体的长、宽、高比例 相同 (C)水平放置的矩形的直观图是平行四边形 (D)水平放置的三角形的直观图是三角形

【解析】选B.由直观图的画法知几何体的直观图宽是几何体

的宽的

1 , 长与高不变. 2

2.如下图建立坐标系,得到的边长为1的正△ABC的直观图不 是全等三角形的一组是( )

【解析】选C.由斜二测画法的规则知,A、B、D选项中,得到 的直观图全等,C选项中,第一个图中,AB的长度不变,第二

个图中,三边的长度都变化.

3.如图,△A′B′C′是△ABC的直观图,那么△ABC是 ( (A)等腰三角形 )

(B)直角三角形
(C)等腰直角三角形 (D)钝角三角形 【解析】选B.由A′C′∥y′轴,A′B′∥x′轴可知AC⊥AB, 又A′C′=A′B′,∴AC=2AB,所以△ABC是直角三角形,而 非等腰直角三角形.

二、填空题(每题5分,共10分)

4.以下几种说法:
①用斜二测画法画水平放置的圆,得到的图形形状是圆; ②相等的角在直观图中仍是相等的角;

③在斜二测画法中与坐标轴不垂直的线段的长度在直观图中可
能不变; ④线段的中点在直观图中仍然是线段的中点; ⑤在平面图形中平行且相等的两条线段在直观图中仍然是平行 且相等的线段;

⑥作直观图时,由于选轴不同,所画直观图可能不同.
其中正确说法的序号是____.

【解析】圆的水平放置的直观图是椭圆,①错误;相等的角在 直观图中不一定是相等的角,②错误;在斜二测画法中与坐标

轴不垂直的线段的长度在直观图中都会改变,③错误;④⑤正
确;由直观图的特点知,⑥正确. 答案:④⑤⑥

5.一个建筑物上部是四棱锥形,下部是长方体形,且四棱锥的 底面与长方体的上底面尺寸相同.已知长方体的长、宽、高分 别为20 m、5 m、10 m,四棱锥的高为8 m,若按1∶500的比例 画出它的直观图,那么在直观图中,长方体的长、宽、高和四 棱锥的高应分别为____cm, ____ cm, ____ cm, ____ cm.

【解析】由斜二测画法知,长方体的长应为
1 1 1 =4(cm),宽应为 ×5×100× =0.5(cm), 2 500 500 高应为10×100× 1 =2(cm), 500 四棱锥的高应为8×100× 1 =1.6(cm). 500

20×100×

答案:4

0.5

2

1.6

三、解答题(6题12分,7题13分,共25分) 6.如图是由正方形ABCE和正三角形CDE所构成的平面图形,请 画出其水平放置的直观图.

【解析】(1)以AB所在直线为x轴,AB的中垂线为y轴建立直 角坐标系(如图①),再建立坐标系x′O′y′,使两轴的夹角 为45°(如图②);

(2)以O′为中点,在x′轴上截取A′B′=AB;分别过A′,B′
作y′轴的平行线,截取A′E′= AE,B′C′= 上截取O′D′= OD.
1 2 1 2 1 BC.在y′轴 2

(3)连结E′D′,E′C′,C′D′,得到平面图形A′B′C
′D′E′. (4)擦去辅助线,就得到所求的直观图(如图③).

7.画出底面半径为0.9 cm,高为1.4 cm的圆柱的直观图.

【解题提示】在画几何体的直观图时,要抓住三点,一是
x轴与y轴的夹角为45°,二是与x轴平行的长度不变,三是与 y轴平行的长度减半.

【解析】画法:(1)画轴.画出x轴,y轴,z轴. (2)画圆柱的两底面,先画半径为0.9 cm的圆O的直观图,使 其半径为0.9 cm.在z轴上取点O′,使OO′=1.4 cm,过O′作x

轴的平行线O′x′,过O′作y轴的平行线O′y′.利用O′x′
和O′y′画出底面圆O′. (3)连线.连线AA′,BB′,则得到圆柱的直观图.(图略)

1.(5分)(2010·洛阳高一检测)一个水平放置的平面图形 的斜二测直观图是一个底角为45°,腰和上底边为1的等腰梯

形的面积是(
(A) 1 + 2
2

)
(B)2+ 2 (D)1+ 2
2

2

(C)1+ 2

【解析】选B.将等腰梯形还原为原平面图形,可得一直角

梯形,两底边长分别为1和 2 +1,高为2,其面积S=
1+( 2+1) × 2=2+ 2, 故选B. 2

2.(5分)如图所示的是水平放置的三角形的直观图,D′是 △A′B′C′中B′C′边的中点,B′C′∥x′轴,A′D′ ∥y′轴,那么A′B′、A′D′、A′C′三条线段对应原图形 中线段AB、AD、AC中( )

(A)最长的是AB,最短的是AC

(B)最长的是AC,最短的是AB
(C)最长的是AB,最短的是AD (D)最长的是AD,最短的是AC

【解析】选C.因为B′C′∥x′轴, A′D′∥y′轴,所以在原图中AD⊥

BC,又D′是B′C′边的中点,所以
在原图中D是BC的中点,△ABC为等 腰三角形,故原△ABC中,最长的边

是AB,最短的是AD.

3.(5分)如图所示的直观图是将正方体模型放置在你的水平 视线的左上角而绘制的,其中正确图形的序号是____.

【解析】(2)、(3)错在虚线的使用上,(4)是放置在你水 平视线的右上角绘制的,故只有(1)对.

答案:(1)

4.(15分)如图,已知几何体的三视图,用斜二测画法画出它 的直观图.

【解析】(1)画轴.如图(1),画x轴、y轴、z轴, 使∠xOy=45°,∠xOz=90°. (2)画圆台的两底面.利用斜二测画法,画出底面⊙O,在z轴

上截取OO′,使OO′等于三视图中相应高度,过O′作Ox的平
行线O′x′,作Oy的平行线O′y′,利用O′x′与O′y′ 画出上底面⊙O′(与画⊙O一样). (3)画圆锥的顶点.在Oz上截取点P,使PO′等于三视图中相 应的高度. (4)成图.连接PA′、PB′、A′A、B′B,整理得到三视图 表示的几何体的直观图,如图(2).


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