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2015年第56届IMO试题及解答


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(1) (2) (3)

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7

1 U 11F 9:00-13:30

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∠AF K = ∠CEG + ∠GBA ? ∠DBK = ∠CEG ? ∠CBG.

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∠AF K = ∠CLG ? ∠CAG = ∠AGL. (??y. 5. R? N?ê 8?. ?¤k ?êf : R → R, ÷vé???êx, y , ?k

f (x + f (x + y )) + f (xy ) = x + f (x + y ) + yf (x). (C nZ??K) ): òK? ?P?P (x, y ). f ?÷v^? ???ê. ? P (x, 1), k (1)

f (x + f (x + 1)) = x + f (x + 1), u?é???êx, x + f (x + 1)??f ??:. e??ü?????. ?/1: f (0) = 0. ? P (0, y ), k f (f (y )) + f (0) = f (y ) + yf (0). ey0 ?f ??:, 3???-y = y0 , ? y0 = 1. u?,

x + f (x + 1) = 1, l f (x) = 2 ? xé¤k?êx¤á. N? ?/2: f (0) = 0. ? P (x + 1, 0), k yf (x) = 2 ? x?÷v^? ?ê.

f (x + f (x + 1) + 1) = x + f (x + 1) + 1. ? P (1, y ), k f (1 + f (y + 1)) + f (y ) = 1 + f (y + 1) + yf (1).

(2)

(3)

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? P (x, ?1), k f (x + f (x ? 1)) = x + f (x ? 1) ? f (x) ? f (?x). l??ü???f (?x) = ?f (x), =f ???ê. ? P (?1, ?y ), ?|^f (?1) = ?1, k f (?1 + f (?y ? 1)) + f (y ) = ?1 + f (?y ? 1) + y. 2df ???ê, ???U ? ?f (1 + f (y + 1)) + f (y ) = ?1 ? f (y + 1) + y. ò???(4)??\, ??f (y ) = y é¤k?êy ¤á. N? yf (x) = x?÷v^? ?ê. n?¤?, ÷v^? ?ê? ü?, f (x) = x?f (x) = 2 ? x. 6. êS a1 , a2 , · · · ÷ve ^?: (i) éz? êj 1, k1 aj 2015; (ii) é?? ê1 k < , kk + ak = + a . y?: ?3ü? êb?N , ?
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n X

(aj ? b) = (2015 ? b)(n ? m) + σ (Cm ) ? σ (Cn ).

(3)

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i

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n+2015 X i=n+b+1

i.

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n X

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(aj ? b)

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b (2015 ? b)(n ? m) + (m + 1008 + )(2015 ? b) 2 10072 .

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n X

(aj ? b)

j =m+1

b (2015 ? b)(n ? m) + (m + 1009 ? )(2015 ? b) 2 ?10072 .

b ?(n + 1008 + )(2015 ? b) = ?(2015 ? b)(b ? 1) 2 (?ùü?? ?, ?k
n X j =m+1

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10072 .

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