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四川省成都市石室中学高中数学 1.小结教案 新人教A版必修5


解三角形复习课(一)

●教学目标 知识与技能:能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题。 过程与方法:采用启发与尝试的方法,让学生在温故知新中学会正确识图、画图、想图,帮 助学生逐步构建知识框架,并通过练习、训练来巩固深化解三角形实际问题的一般方法。教 学形式要坚持引导——讨论——归纳, 目的不在于让学生记住结论, 更多的要养成良好的

研 究、探索习惯,让学生在具体的实践中结合图形灵活把握正弦定理和余弦定理的特点,有利 地进一步突破难点。 情感态度与价值观: 让学生进一步巩固所学的知识, 加深对所学定理的理解, 提高创新能力; 进一步培养学生研究和发现能力,让学生在探究中体验愉悦的成功体验 ●教学重点 1. 三角形的形状的确定(大边对大角, “两边和其中一边的对角”的讨论) ; 2. 应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化问题(内角和的灵活运用) 。 ●教学难点 让学生转变观念,由记忆到理解,由解题公式的使用到结合图形去解题和校验。 ●教学过程 【复习导入】 近年广东高考中, 解三角形的题目已填空、 选择为主, 难度要求每年有所不同, 结合大题 16 题出题也不鲜见;关键是借三角形对于我们结合图形分析做题,以及锻炼严谨 慎密的逻辑思维大有裨益。 1. 正弦定理:

a b c ? ? ? 2R sin A sin B sin C

(2R 可留待学生练习中补充)

S? ?
2

1 1 1 ab sin C ? bc sin A ? ac sin B . 2 2 2
2 2

余弦定理 : a ? b ? c ? 2bc cos A

b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B

c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cosC
求角公式: cos A ?

b2 ? c2 ? a2 2bc

cos B ?

a2 ? c2 ? b2 2ac

cosC ?

a2 ? b2 ? c2 2ab

点评:文字语言有助于记忆, 符号语言方便应用。 2.思考:各公式所能求解的三角形题型? 正弦定理: 已知两角和一边或两边和其中一边的对角球其他边角,或两边夹角求面积。 余弦定理 :已知两边和夹角求第三边,或已知三边求角。 点评:由公式出发记忆较为凌乱,解题往往由条件出发。 【合作探究】 1. 结合图形记忆解三角形的题型和应用到的公式: (利用初中三角形全等的证明考虑确定形 状) 已知条 件 图形表示 简化条件 题目类型(求什么) 应用公式

1

C

3A
b c A

b
C a

a c

AAA 相似
B

(大小不确定) 求余边(注意边角对应, 利用内角和可求得第三 个角) 求对角 正弦定理 余弦定理 正弦定理 正弦定理

B

A

C

2A+S
A

b c

a

AAS(全等) ASA(全等)
B

C b c A B a

SAS(全等) 求第三边

A+2S
b c A

C a

求对角(注意讨论边角 关系) SSA(?)

求余边(设 X,解方程) 余弦定理
B
C

3S
A

b c

a

SSS(全等)
B

求角

余弦定理

注:尽量让学生投影导学案演示说明。 思考: (1)还有没有其他的题型和解题办法?(HL 直角三角形,简单;海伦公式,直接算) (2)让你感到有难度的题型是哪个,有什么好的解决途径?(用几何画板动态演示)
已知边a,b和?A
C a A H a<CH=bsinA 无解 B a=CH=bsinA 仅有一个解 b a A b a B1 H a A B2 a?b H B C b C a

C b A

CH=bsinA<a<b 有两个解

仅有一个解

点评:画图(先画教)可直接得出可能性,再去写正弦定理后续的边角关系讨论;如果图形 理解有苦困难的,可设未知数利用余弦定理列方程解决。 【随堂练习】 1.配套练习: (主要要求学生说解题思路,然后才是校对答案) (1)已知 ?ABC 中, b ? 2 , B ? ? , C ? ? ,则 ?ABC 的面积为(
6
4



A. 2 3 ? 2

B. 3 ? 1

C. 2 3 ? 2

D. 3 ? 1

选题原因:中规中矩的题目,正弦定理两种形式的使用都考查了。
o (2)已知 ?ABC 中, a ? c ? 6 ? 2 且 ?A ? 75 ,则 b ? (



A.2 B.4+ 2 3 C.4— 2 3 D. 6 ? 2 选题原因:考察画图,看上去是正弦定理的题目,实质上是两边夹角求第三边。

2

(3)已知 △ ABC 中, a ?

2 , b ? 3 , B ? 60? ,那么角 A 等于(
D. 30? ) D.



A. 135? B. 135? 或 45? C. 45? 选题原因:还是考察画图,大边对大脚基本可直接出答案。 (4)已知 ?ABC 中,若 a ? ab ? b ? c ? 0 ,则角 C 的大小是(
2 2 2

A.

?
3

B.

2? 3

C.

?
6

5? 6


选题原因:纯粹边之间的关系,考虑余弦定理的变形使用。 (5)在Δ ABC 中,已知 a=7,b=10,c=6,则三角形的形状为 数关系考虑变形,直接可得答案。 2.思维火花: 在△ABC 中, 已知 A= ? ,b=10,a 为小于 15 的整数, 则三角形有两解的概率是
6

钝角三角形

选题原因:简单题目,可考察余弦定理及边角对应关系,但如果学生画图由 6、8、10 勾股



(如果取消整数的限制呢?) 原创题:考虑学习的承前启后,佛山教材的必修顺序是一、四、五、三;刚学完概率统计, 趁机复习古典概型和几何概型。 (答案分别为 2/5 和 1/2,学生多在数字的取舍和开闭区间 当中迷糊) 【归纳小结一】 (注:学生导学案中有这些文字,主要留意学生能否点处当中的关键地方) 1.一般的解三角形的问题可归纳为“知三求其它”的问题,做题中注意结合画图和正余弦 定理的使用条件可较快的得出解题思路。 2.已知三角形两边和其中一边的对角问题(既可用正弦定理,也可用余弦定理;解三角形 时可能有一解、两解和无解三种情况) . 【达标测评】让学生分析今年试题考察的知识点及隐含的“陷阱”

b, (1) (2015 广东文) 设△ ABC 的内角 ? , ? , C 的对边分别为 a , 若a ? 2, c?2 3, c.

cos A ?
A. 3

3 , 且 b ? c ,则 b ? ( 2
B. 2 2

) C. 2 D. 3

点评:考察了三角函数(同角三角函数关系)和角三角形(正弦定理、边角关系) ,陷阱在于 求得 sinC 为 3 后,由 b ? c ,限定了 C 不能取 ? ,之后由等腰三角形轻松得答案,如果不
2
3

画图,则易错且增加了运算的难度。 (由余弦定理列方程求解是较为直接的办法,也要注意 b<c 的教验 (2) (2015 广东理)设△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若 a = 3 ,sinB= C=

1 , 2

π ,则 b = 6



点评:与文科考查基本一致,注意 sinB= 1 只能取π (内角和限制) ,画图用初中直角三
2
6

角形可轻松得答案,用正弦定理稍慢。

3

补充:(2012 广东文)在△ABC 中,若∠A=60°,∠B=45°,BC=3 2,则 AC=( 3 A.4 3 B.2 3 C. 3 D. 2 选题原因:画好图,搞好边角对应关系用正弦定理可轻松解决。 【巩固练习】
o o

)

(1) △ABC 中,D 在边 BC 上,且 BD=2,DC=1,∠B=60 ,∠ADC=150 ,求 AC 的长及 △ABC 的面积. 解:在△ABC 中, A o o o o ∠BAD=150 -60 =90 ,∴AD=2sin60 = 3 . 在△ACD 中, AC =( 3 ) +1 -2× 3 ×1×cos150 =7,∴AC= 7 . 又∴AB=2cos60 =1.S△ABC=
o 2 2 2 o

B

2

D 1 C

1 3 o ×1×3×sin60 = 3. 2 4

选题原因:简单考察画图,边角关系和正、余弦定理的简单分析应用。 (2)已知在△ABC 中,sinA∶sinB∶sinC= 3 ∶2 3 ∶3,那么最大角与最小角之和是 ( ) A.135° B.90° C.120° D.150°
b c B a C

选题原因:正、余弦定理的简单组合应用,顺带考查了边角关系(画图可轻松获解) A。 (3)①已知△ABC 中, b cos C ? c cos B ,试判断△ABC 的形状。 (等腰) ②已知△ABC 中, b cos B ? c cos C ,试判断△ABC 的形状。 (等腰或直角) 选题原因:前面已经练习过的题目,担心学生只记答案(后面作业 5、6 题也有此警醒作用) 其中第二小题中的 sin2B=sian 2C 需要注意 2B、2C 并不是三角形的内角。 【归纳小结二】 1. 应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化问题,要注意公式及题目的隐含条件。 2. 解三角形问题要注意结合图形,特别是三角形的相关性质( 内角和、边角关系) 【课后作业】(难度取舍不同,各班可按实际情况安排) 1.△ABC 中,∠A、 ∠B 的对边分别为 a,b, 且∠A=60°, a ? 6 , b ? 4 ,那么满足条件的△ABC ( ) A.有一个解 B.有两个解 C.无解 D.不能确定 2.在△ABC 中,根据下列条件解三角形,则其中有两个解的是 ( ) A.b = 10,A = 45°,B = 70° B.a = 60,c = 48,B = 100° C.a = 7,b = 5,A = 80° D.a = 14,b = 16,A = 45° 3.已知△ABC 的周长为 9,且 sin A : sin B : sin C ? 3 : 2 : 4 ,则 cosC 的值为 ( )

1 2 2 C. ? D. 4 3 3 4.锐角△ABC 中, sin( A ? B) ? P, sin A ? sin B ? Q, cos A ? cos B ? R ,则 ( )
A. ? B. A.Q>R>P B.P>Q>R C.R>Q>P D.Q>P>R )

1 4

cos A cos B sin C ? ? 5.在△ABC 中,若 ,则△ABC 是( a b c
A.有一内角为 30°的直角三角形 C.有一内角为 30°的等腰三角形 6.若

B.等腰直角三角形 D.等边三角形 ( )
4

sin A cos B cos C ? ? 则△ABC 为 a b c

A.等边三角形 B.等腰三角形 C.有一个内角为 30°的直角三角形 D.有一个内角为 30°的等腰三角形 7.甲船在岛 B 的正南方 A 处,AB=10 千米,甲船以每小时 4 千米的速度向正北航行,同时 乙船自 B 出发以每小时 6 千米的速度向北偏东 60°的方向驶去,当甲,乙两船相距最近时, 它们所航行的时间是( ) A.

150 分钟 7

B.

15 分钟 7

C.21.5 分钟

D.2.15 分钟

8.飞机沿水平方向飞行,在 A 处测得正前下方地面目标 C 得俯角为 30°,向前飞行 10000 米, 到达 B 处, 此时测得目标 C 的俯角为 75°, 这时飞机与地面目标的水平距离为 ( ) A. 5000 米 B.5000 2 米 C.4000 米 9.设 A 是△ABC 中的最小角,且 cos A ?

a ?1 ,则实数 a 的取值范围是 a ?1

D. 4000 2 米 ( )

A.a≥3 B.a>1 C. 1<a≤3 D.a>0 10.设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.若三边的长为连续的三个正整数,且 A>B>C,3b=20acos A,则 sin A∶sin B∶sin C 为( ) A.4∶3∶2 B.5∶6∶7 C.5∶4∶3 D.6∶5∶4 最后任务:1、我们在解三角函数的练习过程中,还需要注意什么细节?(把小组收集的错 题展示,这是得分落后小组反超的机会) 2、在完成课后练习的同时,每人根据自己的薄弱环节(或易错点)进行命题。 (端午回来进行小组间互测——基础分 3 分,出错题扣一分,对方出错加一分)

5


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