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高三数学第二轮《数形结合》公开课教案


华侨中学高三数学(理科)第二轮复习
专题:数形结合思想
【思想方法概述】 数形结合的思想在每 年的高考中都有所体现,它常 用来研究方程根的情况,讨论函数 的值域(最值)及求变量的取值范围等.对这类内容的选择题、填空题,数形结合特别有 效.从2015年的高考题来看,数形结合的重点是研究“以形助数”.预测2016年高考中, 仍然会沿用以往的命题思路,借助各种函数的

图象和方程的曲线为载体,考查数形结合的 思想方法,在考题形式上,不但有小题,还会有解答题,在考查的数量上,会有多个小题 考查数形结合的思想方法.复习中应提高用数形结合思想解题的意识,画图不能太草,要 善于用特殊数或特殊点来精确确定图形间的位置关系. 以形助 数(数题 形解) 以数辅 形(形题 数解)
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教学地点:厦门一中集美分校 高三(4)班

授课教师:华侨中学 王磊 2016.03.24

借助形的生动性和直观性来阐述数形之间的关系, 把形转化为数,即以形作为手段,数作为目的的解 决数学问题的数学思想. 借助于数的精确性和规范性及严密性来阐明形的 某些属性,即以数作为手段,形作为目的的解决 问题的数学思想.
[来源 :Zxxk.Com]

数形结合思想通过“以形 助数,以数辅形”,使复 杂问题简单化,抽象问 题具体化,能够变抽象 思维为形象思维,有助 于把握数学问题的本质 ,它是数学的规律性与 灵活性的有机结合.
Z&X&X&K][来源:学_科_网] [来源: 学&科 & 网

1.数形结合的数学思想:包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面,其应用大致可以分 为两种情形:一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系,即以形作为手段,数作 为目的,比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质;二是借助于数的精确性和规范严 密性来阐明形的某些属性,即以数作为手段,形作为目的,如应用曲线的方程来精确地阐 明曲线的几何性质. 2.运用数形结合思想分析解决问题时,要遵循三个原则: (1)等价性原则.在数形结合时,代数性质和几何性质的转换必须是等价的,否则解 题将会出现漏洞.有时,由于图形的局限性,不能完整的表现数的一般性,这时图形的性 质只能是一种直观而浅显的说明,要注意其带来的负面效应. (2)双方性原则.既要进行几何直观分析,又要进行相应的代数抽象探求,仅对代数 问题进行几何分析容易出错. (3)简单性原则.不要为了“数形结合”而数形结合.具体运用时,一要考虑是否可行 和是否有利;二要选择好突破口,恰当设参、用参、建立关系、做好转化;三要挖掘隐含 条件,准确界定参变量的取值范围,特别是运用函数图象时应设法选择动直线与定二次曲 线. 3.数形结合思想在高考试题中主要有以下六个常考点 ( 1)集合的运算及Venn图; (2)函数及其图象;

(3)数列通项及求和公式的函数特征及函数图象; (4)方程(多指二元方程)及方程的曲线; (5)对于研究距离、角或面积的问题,可直接从几何图形入手进行求解即可; (6)对于研究函数、方程或不等式(最值)的 问题,可通过函数的图象求解(函数 的零点、顶点是关键点),做好知识的迁移与综合运用. 4.数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧,特别是在解选择题、填 空题时发挥着奇特功效,这就要求我们在平时学习中加强这方面的训练,以提高解题能力 和速度.具体操作时,应注意以下几点: (1)准确画出函数图象,注意函数的定义域; (2)用图象法讨 论方程(特别是含参数的方程)的解的个数是一种行之有效的方法 ,值得注意的是首先 要把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式(有时可能先作适当 调整,以便于作图),然后作出两个函数的图象,由图求解; (3)在解答题中数形结合思想是探究解题的思路时使用的,不可使用形的直观代替相 关的计算和推理论证.

?x ?1 ? 0 y ? 【例题 1】. 【2015 课标全国Ⅰ理 15】若 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 0 ,则 的最大值 x ?x ? y ? 4 ? 0 ?
为 .

【变式】设点 P ( x, y ) 为圆 x 2 ? y 2 ? 1 上的动点. (1) 求 ( x ? 2)2 ? ( y ? 1)2 的取值范围 (2)求 x ? y 的取值范围; (3)求
y ?1 的取值范围 x?2

【规律方法】 如果参数、代数式的结构蕴含着明显的几何特征,一般考虑用数形 结合的方法来解题,即 所谓的几何法求解,比较常见的对应有: (1)y=kx+b 中 k 表示直线的斜率,b 表示直线在 y 轴上的截距. b-n (2) 表示坐标平面上两点(a,b),(m,n)连线的斜率. a-m (3) (a-m)2+(b-n)2表示坐标平面上两点(a,b),(m,n)之间的距离. 只要具有一定的观察能力, 再掌握常见的数与形的对应类型, 就一定能得心应手地运用数形

结合的思想方法. 【例题 2】已知 0 ? a ? 1. 则方程 a| x| ?| loga x | 的实根个数为

【变式】已知关于 x 的方程 x 2 ? 4 x ? 5 ? m 有四个不相等的实根,则实数 m 的取

值范围为

【规律与总结】抽象的数学问题通过图象的直观性获得解题思路,以形辅数。 【例题 3】 (2015 课标全国Ⅰ理 10)已知抛物线 C: y ? 8x 的焦点为 F,准线为 l ,P 是 l 上
2

一点,Q 是直线 PF 与 C 得一个焦点,若 PF ? 4FQ ,则 QF ? ( A.



7 2

B.

3

C.

5 2

D.

2

【规律与总结】1、抛物线的定义;2、抛物线的标准方程;3、向量共线;4、数形结合

【变式】已知 P 为抛物线 y2=4x 上的一个动点,Q 为圆 x2+(y-4)2=1 上一个动点,那么点 P 到点 Q 的距离与点 P 到抛物线的准线的距离之和最小值是( A.5 C. 17-1 B.8 D. 5+2
[来源:学#科#网 Z#X#X#K]

)

【课时练习】

?2 ? x ? 1 x ? 0 1.设函数 f ( x) ? ? ,若 f ( x0 ) ? 1 ,则 x0 的取值范围是( ? 1 2 x ? 0 ? x ?
(A) ( ? 1 ,1) (C) ( ? ? , ? 2 ) ? (0, ? ? )



(B) ( ? 1, ? ? ) (D) ( ? ? , ? 1 ) ? (1, ? ? )

2.设命题甲: 0 ? x ? 3 ,命题乙: | x ? 1| ? 4 ,则甲是乙成立的( A. 充分不必要条件 C. 充要条件 B. 必要不充分条件 D. 不充分也不必要条件



3.函数 f(x)=ax3+bx2+cx+d 的图象如图所示,则下列结论成立的是(

)

A.a>0,b<0,c>0,d>0

B.a>0,b<0,c<0,d>0

C.a<0,b<0,c<0,d>0 D.a>0,b>0,c>0,d<0

4.如图,函数 f( x)的图象为折线 ACB,则不等式 f(x)≥log2(x+1)的解集是(

)

A.{x|-1 <x≤0} B.{x|-1≤x≤1} C.{x|-1<x≤1} D.{x|-1<x≤2}

?4 x ? 5 y ? 8 ? 5.【2015 高考广东,理 6】若变量 x , y 满足约束条件 ?1 ? x ? 3 则 z ? 3x ? 2 y 的最小 ?0 ? y ? 2 ?
值为( A. )

31 5

B. 6

C.

23 5

D. 4

6. 【2015 高考新课标 2,理 11】已知 A,B 为双曲线 E 的左,右顶点,点 M 在 E 上,?ABM 为等腰三角形,且顶角为 120°,则 E 的离心率为( A. 5 B. 2 C. 3 D. 2
2



7.(2016届高三·洛阳四校联考)已知y=f(x)为偶函数,当x≥0时,f(x)=-x +2x,则满 1 足f(f(a))= 的实数a的个数为( 2 A.8 C.4 ) B.6 D.2
[来源:学科网ZXXK]

8.当 x∈(1,2)时,(x-1)2<logax 恒成立,则 a 的取值范围为________.

x2 y2 9.已知 x,y 满足条件 + =1,求 y-3x 的最大值与最小值. 16 25

10. 函数 y ? x2 ? 2x ? 2 ? x2 ? 6x ? 13 的最小值为___________.


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