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江西省宜春市奉新县第一中学2015-2016学年高二数学上学期期末考试试题 文


高二上学期期末考试数学(文)试卷
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分.满分 150 分.测试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一. 选择题: (本大题共 12 个小题,每小题 5 分;共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一个选项是符合题目要求的) 1. 在两个变量 y 与 x 的回归模型中,分别选择了 4 个不同模

型,它们的相关系数 r 如下, 其中拟合效果最好的模型是( ) A.模型 1 的相关系数 r 为 0.98 B.模型 2 的相关系数 r 为 0.80 C.模型 3 的相关系数 r 为 0.50 D.模型 4 的相关系数 r 为 0.25 2、若复数 z 满足 ?3 ? 4i ?z ? 4 ? 3i ,则 z 的虚部为( A.0 B.
x



3 5
)

C.

4 5

D. ?

4 5
x0

3.下列说法错误的是(

A.命题 p:?x ? R, a ? 0(a ? 0且a ? 1) ,则 ?p:?x0 ? R, a C.特称命题“ ?x ? R,使-2x +x-4=0”是假命题
2

B.如果命题“ ?p ”与命题“p 或 q”都是真命题,那么命题 q 一定是真命题

?0

D.命题“若 a,b 都是偶数,则 a+b 是偶数”的否命题是“若 a,b 都不是偶数,则 a+b 不是偶数” 4.若 l 、 m 、 n 是互不相同的空间直线, ? 、 ? 是不重合的平面,则下列结论正确的是 A. ? // ? , l ? ? , n ? ? ? l // n C. l ? n, m ? n ? l // m B. ? ? ? , l ? ? ? l ? ? D. l ? ? , l // ? ? ? ? ? )

5.函数 f ( x ) 的图像如图所示, f '( x)是f ( x) 的导函数,则下列数值排序正确的是( A. 0 ? f '(2) ? f '(3) ? f (3) ? f (2) B. 0 ? f '(3) ? f (3) ? f (2) ? f '(2) C. 0 ? f '(3) ? f '(2) ? f (3) ? f (2) D. 0 ? f (3) ? f (2) ? f '(2) ? f '(3) 6.以点 (2, ?2) 为圆心并且与圆 x2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 1 ? 0 相外切的圆的方程是 A. ( x ? 2) ? ( y ? 2) ? 9
2 2





B. ( x ? 2) ? ( y ? 2) ? 9
2 2

C. ( x ? 2) ? ( y ? 2) ? 16
2 2

D. ( x ? 2)2 ? ( y ? 2)2 ? 16

7.长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AB ? AA1 ? 2, AD ? 1 ,则异面直线 BC1与AC 所成角的余 弦值为( A. ) B.
2

1 5

10 10

C.

10 5

D.

1 2
)

8.抛物线 y ? 4 x的焦点为F , 准线为 l , l 与 x 轴相交于点 E,过 F 且倾斜角等于 60°的直 线与抛物线在 x 轴上方的部分相交于点 A, AB⊥ l , 垂 足为 B, 则四边形 ABEF 的面积等于( A. 3 3 B. 4 3 C. 6 3 D. 8 3
1

9. 已 知 函 数 y ? f ? x ? 的 图 像 在 点 1, f ?1? 处 的 切 线 方 程 是 x ? 2 y ? 1 ? 0 , 若

?

?

g ? x? ?

x ,则 g ? ?1? ? ( f ? x? 1 1 A. B. ? 2 2

) C. ?

3 2

D.2

10.一个几何体的三视图如图,其中主视图是腰长为 2 的等腰三角形,俯视图是半径为 1 的半圆,则该几何体的体积是( ) A.

4 3 ? 3 3 ? 3
2

B.

1 ? 2

主视图

左视图

C.

D.

3 ? 6
俯视图

x2 y 2 ? ? 1 有一个相同的焦点,则动点( m, n ) 11.已知抛物线 y ? nx ( n <0)与双曲线 8 m
的轨迹是( A.椭圆的一部分 ) B.双曲线的一部分 C.抛物线的一部分 D. 直线的一部分

12. 设 函 数 f ?( x) 是 奇 函 数 f ( x)( x ? R ) 的 导 函 数 , f (?1) ? 0 , 当 x > 0 时 ,

xf ?( x) ? f ( x) ? 0 ,则使得 f ( x) ? 0 成立的 x 的取值范围是(
A. (??,?1) ? (0,1)

)

B. (?1,0) ? (1,??) C. (??,?1) ? (?1,0) D. (0,1) ? (1,??)

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)

二.填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分;共 20 分) 13.若如下框图所给的程序运行结果为 S ? 35 ,那么判断框中应填入的关于 k 的条件是

14.已知函数 f ( x) ? x 3 ? ax2 ? bx ? a 2 ? 7a 在 x ? 1 处取得 极大值 10,则 15. 已知椭圆 C :

a 的值为 _ b

x2 y 2 3b 2 2 2 ? ? 1( a ? b ? 0) O : x ? y ? 和圆 , 若 C 上存在点 P , 使得 a 2 b2 4 过点 P 引圆 O 的两条切线,切点分别为 A, B ,满足 ?APB ? 60? ,则椭圆 C 的离心率
取值范围是

16.在平面几何中,若正三角形的内切圆面积为 S1 ,外接圆面积为 S 2 ,则

S1 1 ? ,类比上 S2 4 V 述命题,在空间中,若正四面体的内切球体积 V1 ,外接球体积为 V2 ,则 1 ? _____. V2

2

三.解答题: (本大题共 6 个小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 17.(本小题满分 10 分) 已知三角形的三条边长分别为 a,b,c, 求证:

a?b c ? . 1? a ? b 1? c

18. (本小题满分 12 分) 已知圆 C : x 2 ? y 2 ? 2 y ? 4 ? 0 ,直线 l : mx ? y ? 1 ? m ? 0 (1)判断直线 l 与圆 C 的位置关系. (2)若直线 l 与圆 C 交于不同两点 A, B ,且 AB =3 2 ,求直线 l 的方程.

19. (本小题满分 12 分)

1 ? 0 ”, 命 题 q : “ 曲 线 2 x2 y2 x2 y2 C1 : 2 ? ? 1 表示焦点在 x 轴上的椭圆”,命题 s :“曲线 C 2 : ? ?1 2m ? 8 m ? t m ? t ?1 m
已 知 命 题 p : “ 存 在 x ? R,2 x 2 ? ( m ? 1) x ? 表示双曲线” (1)若 " p且q" 是真命题,求 m 的取值范围. (2)若 q 是 s 的必要不充分条件,求 t 的取值范围.

20. (本小题满分 12 分) 三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, 侧棱与底面垂直,?ABC ? 90? ,AB ? BC ? BB1 ? 2 , M , N 分 别是 AB , A1C 的中点. (1)求证: MN ∥ 平面 BCC1 B1 . A (2)求证: MN ? 平面 A1 B1C . M (3)求三棱锥 M ? A1 B1C 的体积.
B C

N

A1 B1 C1

3

21. (本小题满分 12 分)

3 x2 y2 1) . 已知椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,且过点 B (0 , 2 a b
(1)求椭圆的标准方程. (2)直线 l : y ? k ( x ? 2) 交 椭圆于 P、Q 两点,若点 B 始终在 以 PQ 为直径的圆内,求 实数 k 的取值范围.

22. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? a ln x ? bx 图像上一点 P(2, f (2)) 处的切线方程为 y ? ?3x ? 2 ln 2 ? 2 (1)求 a , b 的值.
2

1 e (3) 令 g ( x) ? f ( x) ? kx(k ? R) , 如 果 g ( x) 的 图 像 与 x 轴 交 于 A( x1 ,0), B( x2 ,0)(x1 ? x2 ) 两点, AB 的中点为 C( x0 ,0) ,求证: g ' ( x0 ) ? 0 .
(2)若方程 f ( x) ? m ? 0 在区间 [ , e ] 内有两个不等实根,求 m 的取值范围.

高二上学期期末考试数学(文)试卷答案
4

一. 选择题: (本大题共 12 个小题,每小题 5 分;共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一个选项是符合题目要求的) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A C D D B B A C A D C A

二.填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分;共 20 分) 13. k ? 6 14. ?

2 3

15. [

6 ,1) 3

16.

1 27

三.解答题: (本大题共 6 个小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 17.(本小题满分 10 分) 已知三角形的三条边长分别为 a,b,c, 求证: 答案:(略)可用比较法,分析法,综合法等证明. 18. (本小题满分 12 分) 已知圆 C : x ? y ? 2 y ? 4 ? 0 ,直线 l : mx ? y ? 1 ? m ? 0
2 2

a?b c ? . 1? a ? b 1? c

(1)判断直线 l 与圆 C 的位置关系. (2)若直线 l 与圆 C 交于不同两点 A, B ,且 AB =3 2 ,求直线 l 的方程. 解: (1) (法一)将圆方程化为标准方程 x ? ( y ? 1) ? 5
2 2

1分

∴ 圆 C 的圆心 C (0,1) ,半径 r ?

5 2分 圆心 C (0,1) 到直线 l : mx ? y ? 1 ? m ? 0 的距离 m | 0 ?1?1? m | 5分 d? ? ?1? 5 m2 ?1 m2 ?1 因此直线 l 与圆 C 相交. 6 分 (法二)将直线化 为 m( x ? 1) ? y ? 1 ? 0 , ? x ?1 ? 0 ?x ? 1 由? 得? ?? y ? 1 ? 0 ?y ? 1 ? 点 P(1,1) 在圆内, 5 分 ∴直线 l 过定点 P(1,1) 3 分 ∴直线 l 与圆 C 相交 6 分 ?mx ? y ? 1 ? m ? 0 2 2 2 2 (法三)联立方程 ? 2 消去 y 并整理得, (m ? 1) x ? 2m x ? m ? 5 ? 0 2 ?x ? y ? 2 y ? 4 ? 0
3分

? ? 4m 4 ? 4(m 2 ? 1)(m 2 ? 5) ? 4(4m 2 ? 5) ? 0 恒成立 ∴直线 l 与圆 C 相交 6 分 (2)设圆心到直线 l 的距离为 d ,
则d

5分

3 2 2 2 ) ? , 9分 2 2 |m| 2 |m| 又d ? ,∴ ,解得: m ? ?1 , 11 分 ? 2 m2 ? 1 m2 ? 1 ∴所求直线为 x ? y ? 0 或 x ? y ? 2 ? 0 . 12 分 ? ( 5)2 ? (
19. (本小题满分 12 分)

5

1 ? 0 ”, 命 题 q : “ 曲 线 2 x2 y2 x2 y2 C1 : 2 ? ? 1 表示焦点在 x 轴上的椭圆 ”,命题 s :“曲线 C 2 : ? ?1 2m ? 8 m ? t m ? t ?1 m
已 知 命 题 p : “ 存 在 x ? R,2 x 2 ? ( m ? 1) x ? 表示双曲线” (1)若 " p且q" 是真命题,求 m 的取值范围. (2)若 q 是 s 的必要不充分条件,求 t 的取值范围. (1)若 p 为真: ? ? (m ? 1) 2 ? 4 ? 2 ? 解得 m ? ?1 或 m ? 3 解得 ? 4 ? m ? ?2 或 m ? 4 2分

1 ?0 2
?m 2 ? 2 m ? 8 若 q 为真:则 ? ?2 m ? 8 ? 0

4分 ?m ? ?1或m ? 3 若“ p 且 q ”是真命题,则 ? ?? 4 ? m ? ?2或m ? 4 解得 ? 4 ? m ? ?2 或 m ? 4 6分 (2) 若 s 为真,则 (m ? t )(m ? t ? 1) ? 0 ,即 t ? m ? t ? 1 8分 ? 由 q 是 s 的必要不充分条件,则可得 {m | t ? m ? t ? 1} ? {m | ?4 ? m ? ?2 或 m ? 4} 即?

?t ? ?4 或t ? 4 ?t ? 1 ? ?2

解得 ? 4 ? t ? ?3 或 t ? 4

12 分

20. (本小题满分 12 分) 三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, 侧棱与底面垂直,?ABC ? 90? , 分别是 AB , A1C 的中点. (1)求证: MN ∥ 平面 BCC1 B1 ; (2)求证: MN ? 平面 A1 B1C ; (3)求三棱锥 M ? A1 B1C 的体积.

AB ? BC ? BB1 ? 2 , M , N
A M B C

⑴连结 BC1 , AC1 ,∵ M , N 是 AB , A1C 的中点 ∴ MN ∥ BC1 . 又∵ MN ? 平面 BCC1 B1 ,∴ MN ∥ 平面 BCC1 B1 . ------4 分
A1

N

⑵∵三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,侧棱与底面垂直, B1 ∴四边形 BCC1 B1 是正方形. ∴ BC1 ? B1C .∴ MN ? B1C .连结 A1M , CM , ?AMA1 ? ?AMC . ∴ A1M ? CM , 又 N 中 A1C 的中点,∴ MN ? A1C . ∵ B1C 与 A1C 相交于点 C ,∴ MN ? 平面 A1 B1C . --------9 分 ⑶由⑵知 MN 是三棱锥 M ? A1 B1C 的高. 在直角 ?MNC 中, MC ? 5 , AC ? 2 3 ,∴ MN ? 2 . 1 又 S? A1B1C ? 2 2 . VM ? A1B1C ?

C1

1 4 MN ? S? A1B1C ? . ---------12 分 3 3

6

21. (本小题满分 12 分) 已知椭圆

3 x2 y2 1) . ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,且过点 B (0 , 2 2 a b

(1)求椭圆的标准方程. (2) 直线 l : y ? k ( x ? 2) 交椭圆于 P、 Q 两点, 若点 B 始终在 以 PQ 为直径的圆内, 求实数 k 的取值范围.

?b ? 1 ? ?a ? 2 c 3 ? e ? ? ? ? a 2 ,解得 ?b ? 1 , (1)由题意知 ? 2 2 2 ? ? ?a ? b ? c ?c ? 3 x2 ? y 2 ? 1. 椭圆的标准方程为: 4 (2)设 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) ? y ? k ( x ? 2) ? 联立 ? x 2 ,消去 y ,得: (1 ? 4k 2 ) x 2 ?16k 2 x ? (16k 2 ? 4) ? 0.(?) 2 ? ? y ?1 ?4 依题意:直线 l : y ? k ( x ? 2) 恒过点 (?2,0) ,此点为椭圆的左顶点,
所以 x1 ? ?2 , y1 ? 0 ----① ,由(*)式, x1 ? x2 ? ?

16k 2 (1 ? 4k 2 )

②,

可得 y1 ? y2 ? k ( x1 ? 2) ? k ( x2 ? 2) ? k ( x1 ? x2 ) ? 4k ③,

2 ? 8k 2 4k , y2 ? 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k ??? ? ??? ? 由点 B 在以 PQ 为直径的圆内,得 ?PBQ 为钝角 或平角,即 BP ? BQ ? 0 . ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? BP ? BQ ? ?2x2 ? y2 ? 1 ? 0 . BP ? (? 2, ?1 ), BQ ? (x2,y2 ? 1 )
由①②③, x2 ?

4 ? 16k 2 4k ? ?1 ? 0 2 1 ? 4k 2 即 1 ? 4k ,
整理得 20k ? 4k ? 3 ? 0 .
2

解得: k ? ( ?

3 1 , ). 10 2

22. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? a ln x ? bx 图像上一点 P(2, f (2)) 处的切线方程为 y ? ?3x ? 2 ln 2 ? 2 (1)求 a , b 的值.
2

(2)若方程 f ( x) ? m ? 0 在区间 [ , e ] 内有两个不等实根,求 m 的取值范围. (3)令 g ( x) ? f ( x) ? kx(k ? R) ,如果 g ( x) 的图像 与 x 轴交于 A( x1 ,0), B( x2 ,0)(x1 ? x2 ) 两点, AB 的中点为 C ( x0 ,0) ,求证: g ' ( x0 ) ? 0 . 解:(1)
f ?? x? ? a a ? 2bx f ? ? 2 ? ? ? 4b f 2 ? a ln 2 ? 4b ? ? 2 x , , .

1 e

7

a ? 4b ? ?3 ∴2 ,且 a ln2 ? 4b ? ?6 ? 2ln2 ? 2 .解得 a=2,b=1.

.

h x ? f ( x) ? m ? 2ln x ? x ? m ,设 ? ? , 2 2 2(1 ? x ) h? ? x ? ? ? 2 x ? h? ? x ? ? 0 x x 则 ,令 ,得 x=1(x=-1 舍去). 1 [ , 1) h? ? x ? ? 0 h? ? x ? ? 0 当 x∈ e 时, , h(x)是增函数;当 x∈ (1, e] 时, , h(x)是减函数. 1 [ , e] h ? x? ? 0 则方程 在 e 内有两个不等实根的充要条件是
(2)
f ? x ? ? 2ln x ? x
2

2

? 1 ? h ( e ) ≤ 0, ? ? ? h (1) ? 0, ? h (e) ≤ 0. 1 ? 1 ? m≤ 2 ? 2 ? ? e 解得 .

2 g ? x ? ? 2ln x ? x2 ? kx g ? ? x ? ? x ? 2 x ? k g? ? x0 ? ? 0 (3) , .假设结论 成立,
2 ? 2 ln x1 ? x1 ? kx1 ? 0, ? 2 ? 2 ln x2 ? x2 ? kx2 ? 0, ? ? x1 ? x2 ? 2 x0 , ? ? 2 ? 2 x ? k ? 0. 0 ? ? x0

① ② ③ ④
,①-②,得

2ln

则有

x1 ? ( x12 ? x22 ) ? k ( x1 ? x2 ) ? 0 x2 .

x x1 x ln 1 ln 1 x 1 2 x2 x2 2 2 ? k ? ? 2 x0 k? ? 2 x0 ? x ? x x x x ? x x ? x x ? x2 , 0 ,∴ 1 0 1 2 2 1 ∴ .由④得 ,于是有 1 2 x 2 1 ?2 x x ln 1 ? 2 (t ? 1) 2 x x x2 1 u ?(t ) ? ?1 t ? 1 u(t ) ? ln t ? 2t ? 2 t (t ? 1) 2 x2 x2 , t ? 1 (0<t<1),则 即 .⑤ 令 >0. u ( t ) ? u (1) ? 0 ∴ u(t ) 在 0<t<1 上是增函数,有 ,∴⑤式不成立,与假设矛盾.

2ln



g? ? x0 ? ? 0

.

8


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