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高中数学必修2第二章专题辅导四


机遇永远是准备好的人得到的!

高中数学必修 2 第二章专题辅导十

立体几何

1、 如图, 圆锥的顶点为 P , 底面的一条直径为 AB ,C 为半圆弧 AB 的中点,E 为劣弧 CB 的中点.已知 PO ? 2 , OA ? 1 ,求三棱锥 P ? AOC 的体积,并求异面直线 PA 与 OE 所成 角的余弦值.<

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2、如题(20)图,三棱锥 P-ABC 中,平面 PAC ? 平面 ABC, ? ABC=

?
2

,点 D、E 在线

段 AC 上,且 AD=DE=EC=2,PD=PC=4,点 F 在线段 AB 上,且 EF//BC. 证明:AB ? 平面 PFE.

P

A

D F
题(20)图

E

C

B

1

机遇永远是准备好的人得到的!
3、 如图 1, 在直角梯形 ABCD 中, AD // BC , ?BAD ?

?
2

, AB ? BC ?

1 E 是 AD AD ? a , 2

的中点, O 是 OC 与 BE 的交点,将 ?ABE 沿 BE 折起到图 2 中 ?A1BE 的位置,得到四棱 锥 A1 ? BCDE . (I)证明: CD ? 平面 AOC ; 1 (II)当平面 A1BE ? 平面 BCDE 时,四棱锥 A1 ? BCDE 的体积为 36 2 ,求 a 的值.

2

机遇永远是准备好的人得到的!
4、如图四边形 ABCD 为菱形,G 为 AC 与 BD 交点, BE ? 平面ABCD ,

(I)证明:平面 AEC ? 平面 BED ; (II)若 ?ABC ? 120? , AE ? EC , 三棱锥 E ? ACD 的体积为

6 ,求三棱锥的侧面积. 3

3

机遇永远是准备好的人得到的!
5、一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示. (Ⅰ)请按字母 F,G,H 标记在正方体相应地顶点处(不需要说明理由) (Ⅱ)判断平面 BEG 与平面 ACH 的位置关系.并说明你的结论. (Ⅲ)证明:直线 DF ? 平面 BEG

D E A

C

G E

B F D A B C

H

4

机遇永远是准备好的人得到的!

高中数学必修 2 第二章专题辅导十

立体几何

1、 如图, 圆锥的顶点为 P , 底面的一条直径为 AB ,C 为半圆弧 AB 的中点,E 为劣弧 CB 的中点.已知 PO ? 2 , OA ? 1 ,求三棱锥 P ? AOC 的体积,并求异面直线 PA 与 OE 所成 角的余弦值.

【解析】因为 PO ? 2 , OA ? 1 ,所以三棱锥 P ? AOC 的体积

1 1 1 1 1 1 V ? S ?AOC ? OP ? ? ? AO ? CO ? OP ? ? ?1?1? 2 ? . 3 3 2 3 2 3
因为 OE // AC ,所以异面直线 PA 与 OE 所成的角就是 PA 与 AC 的夹角. 在 ?ACP 中, AC ?

2 , AP ? CP ? 5 ,过 P 作 PH ? AC ,则 AH ?
AH 10 , ? AP 10

2 , 2

(或用余弦定理求)在 Rt?AHP 中, cos ?PAH ?

所以异面直线 PA 与 OE 所成角的余弦值为

10 . 10

2、如题(20)图,三棱锥 P-ABC 中,平面 PAC ? 平面 ABC, ? ABC=

?
2

,点 D、E 在线

段 AC 上,且 AD=DE=EC=2,PD=PC=4,点 F 在线段 AB 上,且 EF//BC. 证明:AB ? 平面 PFE.
P

A

D F
题(20)图

E

C

B

PDC 中 DC 边的中点,故 PE ^ AC , 解:由 DE ? EC , PD ? PC 知, E 为等腰 D
又平面 PAC ? 平面 ABC , 平面 PAC ? 平面 ABC ? AC ,PE ? 平面 PAC ,PE ^ AC ,
5

机遇永远是准备好的人得到的!
所以 PE ^ 平面 ABC ,从而 PE ^ AB .因 衈 ABC=

p , EF ? BC , 故AB 2

EF .

从而 AB 与平面 PFE 内两条相交直线 PE , EF 都垂直,所以 AB ^ 平面 PFE . 3、 如图 1, 在直角梯形 ABCD 中, AD // BC , ?BAD ?

?
2

, AB ? BC ?

1 E 是 AD AD ? a , 2

的中点, O 是 OC 与 BE 的交点,将 ?ABE 沿 BE 折起到图 2 中 ?A1BE 的位置,得到四棱 锥 A1 ? BCDE . (I)证明: CD ? 平面 AOC ; 1 (II)当平面 A1BE ? 平面 BCDE 时,四棱锥 A1 ? BCDE 的体积为 36 2 ,求 a 的值.

解:(I)在图 1 中,因为 AB ? BC ?

1 ? AD ? a , E 是 AD 的中点 ?BAD ? 2 2

所以 BE ? AC ,即在图 2 中, BE ? AO 1 , BE ? OC 从而 BE ? 平面 AOC 又 CD // BE 1 所以 CD ? 平面 AOC . 1 (II)由已知,平面 A1BE ? 平面 BCDE ,且平面 A1BE ? 平面 BCDE ? BE 又由(I)知, AO ? BE ,所以 AO ? 平面 BCDE ,即 AO 1 1 1 是四棱锥 A 1 ? BCDE 的高, 由图 1 可知, AO ? 1

2 2 AB ? a, 2 2

平行四边形 BCDE 面积 S ? BC ? AB ? a 2 , 从而四棱锥 A1 ? BCDE 的为 V ?

1 1 2 2 3 ? S ? AO ? ? a2 ? a? a , 1 3 3 2 6



2 3 a ? 36 2 ,得 a ? 6 . 6
6

机遇永远是准备好的人得到的!
4、如图四边形 ABCD 为菱形,G 为 AC 与 BD 交点, BE ? 平面ABCD ,

(I)证明:平面 AEC ? 平面 BED ; (II)若 ?ABC ? 120? , AE ? EC , 三棱锥 E ? ACD 的体积为 解: (I)因为四边形 ABCD 为菱形,所以 AC ^ BD, 因为 BE ^ 平面 ABCD,所以 AC ^ BE,故 AC ^ 平面 BED. 又 AC ? 平面 AEC,所以平面 AEC ^ 平面 BED (II)设 AB= x ,在菱形 ABCD 中,由 ? ABC=120°,可得 AG=GC=

6 ,求三棱锥的侧面积. 3

3 x x ,GB=GD= . 2 2

因为 AE ^ EC,所以在 Rt DAEC 中,可得 EG=

3 x. 2 2 x. 2
6 3 6 .故 x =2 x = 24 3

由 BE ^ 平面 ABCD,知 DEBG 为直角三角形,可得 BE=

由已知得,三棱锥 E-ACD 的体积 VE - ACD = 醋 AC GD ?BE

1 1 3 2

可得 AE=EC=ED= 6 .所以 DEAC 的面积为 3, DEAD 的面积与 DECD 的面积均为 5 . 故三棱锥 E-ACD 的侧面积为 3+2 5 . 5、.一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示. (Ⅰ)请按字母 F,G,H 标记在正方体相应地顶点处(不需要说明理由) (Ⅱ)判断平面 BEG 与平面 ACH 的位置关系.并说明你的结论. (Ⅲ)证明:直线 DF ? 平面 BEG

D E A

C

G E

B F D A B C
7

H

机遇永远是准备好的人得到的!

解:(Ⅰ)点 F,G,H 的位置如图所示 H E O F G

A

D

B

C

(Ⅱ)平面 BEG∥平面 ACH.证明如下 因为 ABCD-EFGH 为正方体,所以 BC∥FG,BC=FG 又 FG∥EH,FG=EH,所以 BC∥EH,BC=EH 于是 BCEH 为平行四边形 所以 BE∥CH 又 CH ? 平面 ACH,BE ? 平面 ACH, 所以 BE∥平面 ACH 同理 BG∥平面 ACH 又 BE∩BG=B 所以平面 BEG∥平面 ACH (Ⅲ)连接 FH 因为 ABCD-EFGH 为正方体,所以 DH⊥平面 EFGH 因为 EG ? 平面 EFGH,所以 DH⊥EG 又 EG⊥FH,EG∩FH=O,所以 EG⊥平面 BFHD 又 DF ? 平面 BFDH,所以 DF⊥EG 同理 DF⊥BG 又 EG∩BG=G 所以 DF⊥平面 BEG.

8


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