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浙江省绍兴市第一中学2014-2015学年高二下学期期末考试数学(理)试题


绍兴一中 2014 学年第二学期期末考试 高二理科数学试卷
本试卷满分 100 分,考试时间 120 分钟 一、选择题(每小题 3 分,共 30 分)
2 1.全集 U ? R , A ? {x x ? 4}, B ? {x x ? 0} ,则 A∩B=(



A. {x x ? ?2} C. {x x ? 3}

r />
B. {x 2 ? x ? 3} D. {x x ? ?2或 2 ? x ? 3} )

2 2 2.已知 a,b 均为非零实数,则“ a ? b ”是“ a ? b ”的(

A.充分而不必要条件 C.充要条件

B.必要而不充分条件 D.既不充分又不必要条件 ) D. b ? c ? a ) D.

3.若 a ? log2 3 , b ? log3 2 , c ? log4 6 ,则下列结论正确的是 ( A. b ? a ? c B. a ? b ? c C. c ? b ? a

4.若 a ? 0, b ? 0 ,且 a ? b ? 4 ,则下列不等式恒成立的是( A.

1 1 ? ab 2

B. a ? b ? 8
2 2

C.
2

ab ? 2

1 1 ? ?1 a b

5.已知递减的等差数列 ?a n ?满足 a1 ? a9 ,则数列 ?a n ?的前 n 项和 S n 取最大值时,
2

) A.3 B. 4 或 5 C.4 D.5 或 6 6.如图,在△ ABC 中, AB ? 1 , AC ? 3 ,D 是 BC 的中点,

n =(



AD ? BC ? (
A.3 B.4

) . C.5 D.不能确定

7.若直线 ax ? by ? 2 ? 0(a ? 0, b ? 0) 被圆 x2 ? y 2 ? 4x ? 4 y ?1 ? 0 所截得的弦长为 6,则 为( A. 10 ) B. 4 ? 2 6 C. 5 ? 2 6 D. 4 6

2 3 ? 的最小值 a b

x 在 区 间 (0, 10? ) 上 可 找 到 8 . 函 数 f ( x) ? s i n

n 个 不 同 数 x1 , x 2 , ? , xn , 使 得


f ( xn ) f ( x1 ) f ( x2 ) ? ? ?? ? ,则 n 的最大值等于( x1 x2 xn
A. 8 B. 9 C. 10 D.11

x2 y 2 ? ? 1 ?a ? 0, b ? 0? 的右顶 a 2 b2 标原点, 以 A 为圆心的圆与双曲线 C 的一条渐近线交于两 ???? ??? ? ?PAQ ? 60? 且 OQ ? 3OP , 则 双 曲 线 C 的 离 心 率 为
9.如图,已知双曲线 C :

点 为 A, O 为 坐 点 P, Q . 若 ( )

A.

2 3 3

B.

7 2

C.

39 6

D. 3

?y ? 4 ? ??? ? ??? ? 10.已知点 P ( x, y ) 是平面区域 ? x ? y ? 0 内的动点,点 A(1, ?1) ,O 为坐标原点,设 | OP ? ? OA | (? ? R) ? x ? m( y ? 4) ?
的最小值为 M ,若 M ? 2 恒成立,则实数 m 的取值范围是( A. [ ? ) D. [ ?

1 1 , ] 3 5

B. ( ?? , ? ] ? [ , ? ?)

1 3

1 5

C. [ ?

1 , ? ?) 3

1 , ? ?) 2

二、填空题(每小题 4 分,共 20 分) 11.已知集合 A ? ?1,2,4? , B ? ?a, 4? ,若 A ? B ? {1, 2,3, 4} ,则 A ? B ? 12.抛物线 y ? 4 x 上一点 M 到焦点的距离为 1 ,则点 M 到 x 轴的距离是
2

. . .

13.已知向量 a,b 满足 (a ? 2b) ? (a ? b) ? ?6 ,且 | a |? 1,| b | ? 2 ,则 a 与 b 的夹角为

?? x 2 ? x ( x ? 0) 14.已知函数 f ( x) ? ? 2 ,对任意的 x ? [0,1] ,恒有 f ( x ? a) ? f ( x) 成立,则实数 a 的取值 ? x ? x ( x ? 0)
范围是 .

15.已知数列 ?an ? 是各项均不为 0 的等差数列, Sn 为其前 n 项和,且满足 an2 ? S2n?1 n ? N ? .若不等式

?

?

?
an ?1



n ? 8 ? (?1)n 对任意的 n ? N ? 恒成立,则实数 ? 的最大值为 n



三、解答题(本大题共 5 小题,共 50 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16. (本小题满分 10 分)已知公差不为零的等差数列 ?an ? ,满足 a1 ? a2 ? a3 ? 6 ,且 a1 , a2 , a4 成等比数列,

S n 为 ?an ? 的前 n 项和.
(Ⅰ)求{ an }的通项公式; (Ⅱ)设 bn ?

1 ,求数列{ bn }的前 n 项和 Tn. Sn

17. (本小题满分 10 分)在锐角 ?ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,且 2a sin B = 3b . (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)当 a ? 2 时,求 ?ABC 面积的最大值.

18. (本小题满分 10 分)已知函数 f ( x) ? x 2 ? 4 x ? a ? 3 , g ( x) ? m x ? 5 ? 2m . (Ⅰ)若 y ? f ( x) 在 [ ?1,1] 上存在零点,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)当 a ? 0 时,若对任意的 x1 ? [1,4] ,总存在 x2 ? [1,4] ,使 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,求实数 m 的取值范围.

x2 y2 6 1 2 , ). 19. (本小题满分 10 分)已知椭圆 C: 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) ,离心率 e ? ,且过 ( 2 2 2 a b
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)点 B 为椭圆 C 在第一象限中的任意一点,过 B 作 C 的切线 l , l 分别与 x 轴和 y 轴的正半轴交于 C,D 两点,求三角形 OCD 面积 的最小值.
y
D B

O

C

x

20. (本小题满分 10 分)已知函数 f ( x) ? x | 2a ? x | ?2 x , a ? R .

(Ⅰ)若 a ? 0 ,判断函数 y ? f ( x) 的奇偶性,并加以证明; (Ⅱ)若函数 f ( x ) 在 R 上是增函数,求实数 a 的取值范围; (Ⅲ)若存在实数 a ???2,2?, 使得关于 x 的方程 f ( x) ? tf (2a) ? 0 有三个不相等的实数根,求实数 t 的取值 范围.

2014 学年第二学期高二理科数学期末试卷
本试卷满分 100 分,考试时间 120 分钟 一、选择题 AADBB BCCBC

二、填空题(每小题 4 分,共 20 分) 11.{4} 12.

15 16

13.

? 3

14. {?1,0} ? [1,??)

15.-21

三、解答题(本大题共 5 小题,共 50 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16. (本小题满分 10 分)已知公差不为零的等差数列 ?an ? ,满足 a1 ? a2 ? a3 ? 6 ,且 a1 , a2 , a4 成等比数列,

S n 为 ?an ? 的前 n 项和.
(I)求{ an }的通项公式; (II)设 bn ?

1 ,求数列{ bn }的前 n 项和 Tn. Sn

试题解答:(I) Q a1 ? a2 ? a3 ? 6

?3a2 ? 6 ? a2 ? 2

Q a1 , a2 , a4 成等比数列
? a1a4 ? a2 2

? (2 ? d )(2 ? 2d ) ? 22
解得 d ? 1 或 d ? 0 (舍)

? an ? n
(II) bn ?

4分

1 2 1 1 ? 2 ? 2( ? ), an n ? n n n ?1
8分

1 1 1 1 1 1 1 1 2n Tn ? 2[(1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ... ? ( ? )] ? 2(1 ? )? . 2 2 3 3 4 n n ?1 n ?1 n ?1

17. (本小题满分 10 分)在锐角 ?ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,且 2a sin B = 3b , (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)当 a ? 2 时,求 ?ABC 面积的最大值. 试题解答: (Ⅰ)? 2a sin B = 3b ,

\ 2sin A sin B = 3 sin B ,
? sin B > 0 , \ 2sin A = 3

故 sin A ?

3 , 2
4分

因为 ?ABC 为锐角三角形,所以 A ? 60? (Ⅱ)设角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c . 由题意知 a ? 2 , 由余弦定理得 4 = b2 + c 2 - 2bc cos 60? = b2 + c 2 - bc 又 b 2 ? c 2 ? bc ? 2bc ? bc ? bc ,

? bc ? 4

? S ?ABC ?

1 3 3 bc sin 60? ? bc ? ?4 ? 3, 2 4 4

当且仅当 ?ABC 为等边三角形时取等号, 所以 ?ABC 面积的最大值为 3 . 18. (本小题满分 10 分)已知函数 (1)若 (2)当 在 上存在零点,求实数 ,总存在 的对称轴是 上是减函数, 10 分 , 的取值范围; ,使 , ,求实数 的取值范围. .

时,若对任意的

试题解答:解: (1) 在区间

在 解得: (2)若对任意

上存在零点,则必有: ,故实数 的取值范围为 ,使

,即



;………………(4 分) 成立,只需函数 的值域为函数

,总存在

值域的子集.………………(5 分) 当 下面求 时 , , 的值域为 的值域, ,…………(6 分)

7

8

9

10

19. (本小题满分 10 分)已知椭圆 C: (I)求椭圆 C 的方程;

x2 y2 6 1 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) ,离心率 e ? ,且过 ( , ). 2 2 2 2 a b

(II)点 B 为椭圆 C 在第一象限中的任意一点,过 B 作 C 的切线 l , l 分别与 x 轴和 y 轴的正半轴交于 C,D 两点,求三角形 OCD 面积的最小值.
y
D B

O

C

x

图(1)

? c 2 ? ? 2 ? a ? 1 ? 3 ?a ? 2 试题解答: (1) ? 2 ? 2 ? 1 ? ? b ? ? b ?1 ? 2a2 4 2 2 ? a ?b ?c ? ?

故椭圆 C 的方程为:

x2 ? y2 ? 1 2

4分

(2)设 l: y ? kx ? b (k ? 0)

? x2 x2 1 ? ? y2 ? 1 联立椭圆方程得: ? 2 ? ? (kx ? b)2 ? 1 ? ( ? k ) x 2 ? 2kbx ? b 2 ? 1 ? 0 2 2 ? y ? kx ? b ?
令 ? ? 0 ? 4k b ? 4( ? k )(b ? 1) ? 0 ? b ? 1 ? 2k
2 2 2 2

1 2

2

1 b b2 1 ? 2k 2 1 ? 1 ? S?OCD ? ? (? ) ? b ? ? ?? ? ? ? (?2k ) ? ? 2 2 k 2k 2k 2 ? ?k ?
当且仅当

1 2 ? ?2k ,即 k ? ? 时取等号, ?k 2

所以三角形 OCD 的面积的最小值为 2 ---10 分(没写等号成立扣 1 分) 20. (本小题满分 10 分)已知函数 f ( x) ? x | 2a ? x | ?2 x , a ? R . (1)若 a ? 0 ,判断函数 y ? f ( x) 的奇偶性,并加以证明; (2)若函数 f ( x ) 在 R 上是增函数,求实数 a 的取值范围; (3)若存在实数 a ???2,2? , 使得关于 x 的方程 f ( x) ? tf (2a) ? 0 有三个不相等的实数根,求实数 t 的取值 范围. 试题解答: (1)函数 y ? f ( x) 为奇函数. 当 a ? 0 时, f ( x) ? x | x | ?2 x , x ? R ,∴ f (? x) ? ? x | ? x | ?2 x ? ? x | x | ?2 x ? ? f ( x) ∴函数 y ? f ( x) 为奇函数; (2) f ( x) ? ? 2分

? x2 ? (2 ? 2a) x

( x ? 2a) ,当 x ? 2a 时, y ? f ( x) 的对称轴为: x ? a ? 1 ; 2 ? x ? (2 ? 2 a ) x ( x ? 2 a ) ?

当 x ? 2a 时, y ? f ( x) 的对称轴为: x ? a ? 1 ;∴当 a ? 1 ? 2a ? a ? 1 时, y ? f ( x) 在 R 上是增函数,即

?1 ? a ? 1 时,函数 y ? f ( x) 在 R 上是增函数;
(3)方程 f ( x) ? tf (2a) ? 0 的解即为方程 f ( x) ? tf (2a) 的解.

4分

①当 ?1 ? a ? 1 时,函数 y ? f ( x) 在 R 上是增函数,∴关于 x 的方程 f ( x) ? tf (2a) 不可能有三个不相等的 实数根;

②当 a ? 1 时, 即 2a ? a ? 1 ? a ? 1 , ∴ y ? f ( x) 在 (??, a ? 1) 上单调增, 在 (a ? 1, 2a) 上单调减, 在 (2a, ??) 上单调增,∴当 f (2a) ? tf (2a) ? f (a ? 1) 时,关于 x 的方程 f ( x) ? tf (2a) 有三个不相等的实数根;即

1 1 4a ? t ? 4a ? (a ? 1)2 ,∵ a ? 1 ∴ 1 ? t ? (a ? ? 2) . 4 a 1 1 设 h( a ) ? ( a ? ? 2) ,∵存在 a ???2, 2? , 使得关于 x 的方程 f ( x) ? tf (2a) 有三个不相等的实数根, ∴ 4 a 1 1 1 ? t ? h(a)max ,又可证 h(a ) ? (a ? ? 2) 在 (1, 2] 上单调增 4 a 9 9 ∴ h( a ) max ? ∴ 1 ? t ? ; 8 8
③ 当 a ? ?1 时 , 即 2a ? a ? 1 ? a ?1, ∴ y ? f ( x) 在 (??, 2a) 上 单 调 增 , 在 ( 2a ,a ? 1)上 单 调 减 , 在

(a ? 1, ??) 上单调增,
∴当 f (a ? 1) ? tf (2a) ? f (2a) 时,关于 x 的方程 f ( x) ? tf (2a) 有三个不相等的实数根; 即 ?(a ?1)2 ? t ? 4a ? 4a ,∵ a ? ?1 ∴ 1 ? t ? ?

1 1 1 1 (a ? ? 2) ,设 g (a ) ? ? (a ? ? 2) 4 a 4 a

∵存在 a ???2,2? , 使得关于 x 的方程 f ( x) ? tf (2a) 有三个不相等的实数根, ∴ 1 ? t ? g (a)max ,又可证 g ( a ) ? ? ∴1 ? t ?

1 1 9 (a ? ? 2) 在 [?2, ?1) 上单调减∴ g (a ) max ? 4 a 8

9 ; 8 9 . 8
10 分

综上: 1 ? t ?


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