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7. 2012年全国高中数学联赛福建预赛


预赛试题集锦(2013) 高中竞赛
2012 年全国高中数学联赛福建省预赛
一.填空题(每小题 6 分,共 60 分) 1. 2. 已知集合 A ? x x ? 1 已知函数 f ( x) ? _______. 3. 若关于 x 的方程 x3 ? 3x2 ? 9 x ? a 在区间 [?2 ,3] 上恰有两个不同的实根 , 则实数 a 的取值范围为 _____

__. 4.

?

< 2? , B ? ?x log2 x >log3 x? ,则 A ? B ? _______.

π? ? 2 3 sin 2 x ? 2 cos x ? a,若 f ( x) 在区间 ? 0 , ? 上的最小值为 ?1 ,则 a 的值为 2? ?

??? ? ??? ? ??? ? ???? △OBC 的面积为 S2 , 已知点 O 在 △ ABC 内部, 且 3 AB ? 2BC ? CA ? 4 AO , 记 △ ABC 的面积为 S1 ,

S1 的值为_______. S2

5.

已知正三棱锥 P ? ABC 底面正三角形的边长为 2 3 ,内切球半径为 2 ? 1 ,则三棱锥的体积为 _______.

6. 7.

已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , an?1 ?

(n ? 1)an (n ? N* ) ,则数列 ?an ? 的前 n 项和为_______. 2n

有 14 个大小、形状相同的小球,其中 7 个红球,7 个白球.它们分别装在甲、乙两个盒子内,其中甲 盒子内装有 4 个红球、3 个白球,乙盒子内装有 3 个红球、4 个白球.现从甲盒子内随机摸出 1 个小 球放入乙盒子内, 再从乙盒子内随机摸出 1 个小球放回甲盒子内, 记此时乙盒子内红球的个数为 ? , 则 ? 的数学期望 E? ? _______.

8. 9.

不等式 x2 ? ln x > x 的解集为_______.(用区间表示) 函数 f ( x) ? 2 x ? 3 ? 5 ? x 的最大值为_______.

?x? ? x ? ? x ? ?x? 10. 对正整数 x ,记 m ? ? ? ? ? 2 ? ? ? 3 ? ? ? ? ? 3 ? ,其中 k 为满足 2k ≥ x 的最小整数,符号 [ x] 表示 ?2? ?2 ? ?2 ? ?2 ?

不超过 x 的最大整数. x 与 m 的差,即 x ? m 称为正整数 x 的“亏损数”. ( 如, x ? 100 时,
?100 ? ?100 ? ?100 ? ?100 ? ?100 ? ?100 ? ?100 ? m?? ? ? ? 2 ? ? ? 3 ? ? ? 4 ? ? ? 5 ? ? ? 6 ? ? ? 7 ? ? 50 ? 25 ? 12 ? 6 ? 3 ? 1 ? 0 ? 97 , x ? m ? ? 2 ? ?2 ? ?2 ? ?2 ? ?2 ? ?2 ? ?2 ?
100 ? 97 ? 3 ,因此,数 100 的“亏损数”为 3.)则“亏损数”为 9 的最小正整数 x 为_______.

二.解答题(每小题 20 分,共 100 分) 11. 已知数列 ?an ? 为等差数列,且 a2 ? 5 , a8 ? 23 .数列 ?bn ? 是各项均为正数的等比数列, b1 ? 2 ,且 对任意正整数 s ,t 都有 bs ?t ? bs ? bt 成立. (1)求数列 ?an ? 、 ?bn ? 的通项公式;

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1

高中竞赛

预赛试题集锦(2013)

(2)求证:数列 ?bn ? 中有无数多项在数列 ?an ? 中. 12. 已知双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1 (a > 0 , b > 0) 的离心率 e ? 3 ,其左焦点 F1 到渐近线的距离为 2 . a2 b2

(1)求双曲线 C 的方程; (2)若过点 D(2,0) 的直线 l 交双曲线于 A, B 两点,且以 AB 为直径的圆过坐标原点 O .求直线 AB 的方程. 13. 如图,四边形 ABCD 是圆内接四边形,且 AB ? CD ? AD ? BC , E 是对角线 AC 上一点. (1)若 E 是 AC 中点,求证: ?ABE ? ?DBC ; (2)若 ?ABE ? ?DBC ,试问 E 是否为 AC 中点?说明理由.

14. 已知函数 f ( x) ? ln( x ? 1) ?

2 ? ax ? 2( 其中 a > 0) . x ?1

(1)当 a ? 1 时,求 f ( x) 的最小值; (2)若 x ? [0 ,2] 时, f ( x) ≥ 0 恒成立,求实数 a 的取值范围.

2, 3, ?, 2012? . 15. 已知集合 P 是由不超过 2012 的正整数组成的集合, 即 P ? ?1, 集合 A 是集合 P 的
子集,符号 | A | 表示集合 A 中元素的个数, S ( A) 表示集合 A 中所有元素的和. (1)若集合 A 中任意两个数的差都不是 101 的倍数,求 | A | 的最大值; (2) 若集合 A 中任意两个数的差都不是 101 的倍数, 且任意两个数的和也不是 101 的倍数, 求| A | 的最大值; (3)若集合 A 中任意两个数的差都不是 101 的倍数,且任意两个数的和也不是 101 的倍数,同时
S ( A) ? 2012 ,求 | A | 的最大值.

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