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2.3.1等比数列


2.3.1等比数列
邵雅莲

庄子 曰:“一尺之棰,日取其半,万世不竭.”
意思:“一尺长的木 棒,每日取其一半, 永远也取不完” 。
如果将“一尺之棰”视为一份, 则每日剩下的部分依次为:

1,

1 2



1 4



, ,? 8 16

1

1

比一比
(1)
(2) (3)

1, 2 , 2

2

, 2

3

,

……

, 2

63

1 1 1 1 , , , , …… 2 4 8 16

9,92,93,94,95,96,

9

7

共同特点?从第2项起,每一项
与前一项的比都等于同一常数。

等比数列的定义
如果一个数列从第二项起,每一项与它 的前一项的比都等于同一个常数,那么这个 数列就叫做等比数列, 这个常数叫做等比数列的公比。

公比通常用字母 q (q≠0)表示。

名 称

等差数列

等比数列

定 义

如果一个数列从第2 项起,每一项与前 一项的差都等于同 一个常数,那么这 个数列叫做等差数 列.这个常数叫做等 差数列的公差,用d 表示

如果一个数列从 第2项起,每一项 与它前一项的比 都等于同一个常 数,那么这个数列 叫做等比数列. 这个常数叫做等比 数列的公比,用 q表示.

例1.已知数列{an}的通项公式为an=3×2n, 试问这个数列是等比数列吗? 解:因为当n≥2时,
an a n ?1 ? 3? 2 3? 2
n

n ?1

? 2

所以数列{an}是等比数列。

练习:判断下列数列是否是等比数列, 是等比数列的求出公比。 (1)1,-1/3, 1/9 ,-1/27,… √ q=-1/3 (2)1, 2, 4, 8, 12,16,20, … × (3)数列{an}的通项公式为 √ q=3 an=3n/2, (n∈N*) (4)1,1,1,… ,1 √ q=1 (5)a,a,a,…,a
不一定,当a≠0时是等比数列,q=1; 当a=0时非等比数列。

等比数列的通项公式
如果等比数列{an}的首项是a1,公比是q, 那么根据等比数列的定义得到 当n≥2 时:
a2 a1 ? a3 a2 ? a4 a3 ? a5 a4 ?? ? an a n ?1 ? q

等比数列的通项公式为?

归纳法 方法一:
a2=a1q a3=a2q=(a1q)q=a1q2 a4=a3q=(a1q2)q=a1q3 …… an=a1qn-1 从特殊到一般的方法称为归纳法

方法二: 累乘法
a2 a1 ? q,
a3 a2 ? q,

a4 a3

… , an ? q, … ? q,
a n ?1
an a n ?1 ? an a1 ? q
n ?1

a2 a1

?

a3 a2

?

a4 a3

? ????

? a n ? a1 ? q

n ?1

等比中项
如果三个数x,G,y组成等比数列,则G 叫做x和y的等比中项. 如果G是x和y的等比中项,那么 即G2=xy, 显然两个正数(或两个负数)的等比中项有 两个,它们互为相反数,
G x ? y G

一个正数和一个负数没有等比中项。

在一个等比数列中,从第2项起,每一项 (有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后 一项的等比中项。 等比数列的通项公式还可以写成 an=a1qn-1
? a1 q ? q ? cq
n n

当q是不为1的正数时,它是一个非零常 数与一个指数函数的乘积.

20 18 16 14 12 10 8
6 4 2 0


等比数列的图象


(1)数列:1,2,4,8,16,…
an ? 2

n ?1

● ●

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

10 9 8 7 6 5 4
3 2 1 0

等比数列的图象


(2)数列:8, 4, 2,1,

1 2

,?

an ? 2


4?n

● ●







1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

10 9 8 7 6 5 4
3 2 1 0 1 2

等比数列的图象
(3)数列:4,4,4,4,4,4,…
● ● ● ● ● ● ● ● ● ●

3

4

5

6

7

8

9

10

10 9 8 7 6 5 4
3 2 1 0


等比数列的图象
(4)数列:1,-1,1,-1,1,…









1

2


3

4


5

6


7

8


9

10


例2.已知等比数列{an}的公比为q,第m项为 am,试求其第n项。 解:由等比数列的通项公式可知
a n ? a1 q
n ?1

a m ? a1 q
an am
n?m

m ?1

两式相除得

? q

n?m

因此 a n ? a m q

例3.已知等比数列{an}中,a5=20,a15=5, 求a20. 解:由a15=a5q10,得 q 所以 q ? ?
5
10

?

1 4

1 2
5 2
5 2

因此 a 20 ? a15 q ?
5
5

或 a 20 ? a15 q ? ?

例4.在4与

1 4

之间插入3个数,使这5个数成等

比数列,求插入的3个数。 解:依题意,a1=4,a 5
1 2
? 1 4
4

由等比数列通项公式得 q ? 所以 q
? ?

a5 a1

?

1 16

1
1 2

因此插入的3个数依次是2,1 , 或-2,1,-

2

练习:
1. 一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18, 求它的第1项与第2项.
a1 ? 16 3 , a2 ? 8

2.数列1,37,314,321,……中,398是这个
数列的( C )

(A)第13项
(C)第15项

(B)第14项
(D)不在此数列中

3.若数列{an}是等比数列,公比为q,则下列 命题中是真命题的是( D (A)若q>1, 则an+1>an (B)若0<q<1, 则an+1<an (C)若q=1, 则Sn+1=Sn (D)若-1<q<0, 则 a n ?1 ? a n )

4.在2与6之间插入n个数,使它们组成等比 数列,则这个数列的公比为( C ) (A)
n

3

(B) (D)

1
n

3

(C)n ? 1 3

n?2

3

5.若x, 2x+2, 3x+3是一个等比数列的连续 三项,则x的值为( A ) (A)-4 (C)1或4 (B)-1 (D)-1或-4

6.三个正数a,b,c成等比数列,且 a+b+c=62, lga+lgb+lgc=3,

则这三个正数为 50,10,2或2,10,50.
7.在正项数列{an}中,(an+3)2=an+1an+5, 且a3=2, a11=8, 则a7= 4 .


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