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广东省汕尾市龙山中学2014-2015学年高二下学期6月考试数学文试卷


龙山中学 2014—2015 学年第二学期 6 月考考试试题 高二数学(文科)2015、6
命题:康俊林

本试卷共 6 页,21 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟.

$ b?

? ( x ? x)( y ? y)
i ?1 i i

n

$

$ $ 参考公式: 用最小二乘法求线性回归方程 y ? bx ? a 的系数公式:
$ a ? y ?$ bx ,其中 x , y 是数据的平均数.
一、选择题:(本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分). 1. i 是虚数单位,复数 A.第一象限

? ( x ? x)
i ?1 i

n

2



1?

1 i 在复平面内对应的点位于
B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

2.平面向量 a ? (1, ? 2) , b ? (?2 , n) ,若 a // b ,则 n 等于 A. 4 B. ? 4 C. ?1 D. 2

3.已知集合 A. ?

A ? ? x 1 ? x ? 0?
B.



B ? x 2x ? 1

?

? ,则 A I B ?
C.

? x 0 ? x ? 1?

? x x ? 0?

D.

? x x ? 1?

4.命题

p : ?x0 ? 0 ,
x?

x0 ?

1 ?2 x0 ?p 为 ,则
B . ?x ? 0 ,

A. ?x ? 0 ,

1 ?2 x 1 ?2 x

x?

1 ?2 x x? 1 ?2 x

C . ?x ? 0 ,

x?

D. ?x ? 0 ,

5.已知直线 l ,平面 ? , ? , ? ,则下列能推出 ? // ? 的条件是 A. l ? ? , l // ? B. l // ? , l // ?

? C. ? ? , ? ? ?

D. ? // ? , ? // ?

6.已知某路口最高限速 50km / h ,电子监控测得连续 6 辆汽车的速
高二文数(第 1 页)

度如图 1 的茎叶图(单位: km / h ) .若从中任取 2 辆, 则恰好有 1 辆汽车超速的概率为

3 8 44 1 3 6 5 5 8
(图 1)

4 A. 15

2 B. 5

8 C. 15

3 D. 5

π f ( x) ? sin(2 x ? ) 3 的图象向右平移 ? 个单位,得到的图象关于原点对称,则 ? 的 7.将函数
最小正值为

π A. 6

π B. 3

5π C. 12

7π D. 12

2 2 8.已知双曲线的中心在原点,焦点在 x 轴上,若其渐近线与圆 x ? y ? 4 y ? 3 ? 0 相切,则

此双曲线的离心率等于

1 A. 2

B. 2

C. 3

D. 2

9.如图 2 所示的程序框图的功能是求 分别填写 A. i ? 5? , S ? 2 ? S B. i ? 5? , S ? 2 ? S C. i ? 5? , S ? 2 ? S D. i ? 5? , S ? 2 ? S

2+ 2+ 2+ 2+ 2 的值,则框图中的①、②两处应
开始
S ? 2, i ? 1
i ? i ?1

① 否 输出 S 结束

② 是
(图 2)

+?) 10.定义在 [t, 上的函数 f ( x ) , g ( x) 单调递增, f (t ) ? g (t ) ? M ,若对任意 k ? M ,
存在

x1 ? x2 ,使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ? k 成立,则称 g ( x) 是 f ( x) 在 [t, +?) 上的 “追逐函数”.
2

x 已知 f ( x) ? x ,下列四个函数:① g ( x) ? x ;② g ( x) ? ln x ? 1 ;③ g ( x) ? 2 ? 1 ;④

g ( x) ? 2 ?
A. 1 个

1 +?) x .其中是 f ( x) 在 [1, 上的“追逐函数”的有
B. 2 个 C. 3 个
高二文数(第 1 页)

D. 4 个

二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. . (一)必做题:第 11、12、13 题为必做题,每道试题考生都必须做答. 11.等差数列

{an } 中, a4 ? 4 ,则 2a1 ? a5 ? a9 ?
?x ? 2 y ? 2 ? ?x ? 2 ?y ?1 ?



12.若实数

x , y 满足

,则 x ? y 的最小值为
2 2



13.某几何体的三视图如图 3 所示,其中俯视图为半径为 2 的四分之一个圆弧,则该几何体 的体积为 .
2 2 主视图 2 2 左视图

俯视图

(二)选做题:第 14、15 题为选做题,考生只能选做一题,两题全答的,只计算第一题的 得分.

俯视图

图3

?x ? 1? s ? y ? 2 ? s ( s 为参数)与 14. (坐标系与参数方程选做题)在直角坐标系中,已知直线 l : ?

?x ? t ? 3 ? y ? t 2 ( t 为参数)相交于 A 、 B 两点,则 AB ? _________. 曲线 C : ?
15. (几何证明选讲选做题)如图 4, AB 、 AC 是⊙ O 的两条 切线,切点分别为 B 、 C .若 ?BAC ? 60? , BC ? 6 , 则⊙ O 的半径为 .
A B

?
C

O

(图 4)

三、解答题:本大题 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分)

1 π 11 cos( π ? B) ? ? sin( ? A) ? 2. 2 14 , 在 ?ABC 中,已知
(1)求 sin A 与 B 的值; (2)若角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,且 a ? 5 ,求 b , c 的值.
高二文数(第 2 页)

17. (本小题满分 12 分)

PM2.5 是指空气中直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物(也称可入肺颗粒物).为了探究车流
量与 PM2.5 的浓度是否相关, 现采集到某城市周一至周五某一时间段车流量与 PM2.5 的数 据如下表: 时间 车流量 x (万辆) 周一 周二 周三 周四 周五

50

51

54

57

58

PM2.5 的浓度 y (微克/立方米) 69

70

74

78

79

(1)根据上表数据,请在下列坐标系中画出散点图;

y
80 78 76 74 72 70

x
O
50 52 54 56 58

(2)根据上表数据,用最小二乘法求出

y 关于 x 的线性回归方程 $ y ?$ bx ? $ a;

(3)若周六同一时间段车流量是 25 万辆,试根据(2)求出的线性回归方程预测,此时

PM2.5 的浓度为多少(保留整数)?

18. (本小题满分 14 分) 如图 5, ?ABC 是边长为 4 的等边三角形, ?ABD 是等腰直角三角形, AD ? BD , 平面 ABC ? 平面 ABD ,且 EC ? 平面 ABC , EC ? 2 . (1)证明: DE // 平面 ABC ; (2)证明: AD ? BE .
B D E

A
高二文数(第 3 页)

C
(图 5)

18. (本小题满分14分) 已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 a1 ? 1 , Sn?1 ? an ? 1 ( n ? 2 且 n ? N* ) . (1)求数列 {an } 的通项公式 an ; (2)设 bn ?

an?1 (n ? N* ) ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn . (an ? 1)( an?1 ?1)

19. (本小题满分14分)

a?x ,其中 a 为常数,且 a ? 0 . x 1 (1)若曲线 y ? f ( x ) 在点 (1, f (1)) 处的切线与直线 y ? x ? 1 垂直,求 a 的值; 2 1 (2)若函数 f ( x ) 在区间 [1, 2] 上的最小值为 ,求 a 的值. 2
已知函数 f ( x) ? ln x ?

20. (本小题满分14分) 设 F1 , F2 分别是椭圆 D :

? x2 y2 F 的左、右焦点,过 作倾斜角为 ? ? 1 ( a ? b ? 0 ) 2 3 a2 b2

的直线交椭圆 D 于 A , B 两点, F1 到直线 AB 的距离为 3 ,连接椭圆 D 的四个顶点得到的 菱形面积为 4 . (1)求椭圆 D 的方程; (2)已知点 M( ? 1, ,设 E 是椭圆 D 上的一点,过 E 、 M 两点的直线 l 交 y 轴于 0) 点 C ,若 CE ? ? EM , 求 ? 的取值范围; (3) 作直线 l1 与椭圆 D 交于不同的两点 P , Q ,其中 P 点的坐标为 (?2,0) ,若点 N (0, t ) 是线段 PQ 垂直平分线上一点,且满足 NP ? NQ ? 4 ,求实数 t 的值.

??? ?

???? ?

??? ? ????

高二文数(第 4 页)

龙山中学 2014—2015 学年高二第二学期 6 月考考试答题卡 数学(文科)
原班级座号
题 号 得 分 一 二 三 15 16 17 18 19 20 总分

一、选择题(本题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 原班级
题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

二、填空题(本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 11. 12. 14. 15.

座号

密 封 线 内 不 要

13.

三、解答题(本题共 6 小题,共 80 分,解答须写出解题过程。 ) 16.

姓名 考生号

试室

答 题

y

80

17.

78 76 74 72 70
x
O

50

52

54

56

58

18.

D E

B

A
(图 5)

C

19.

20.

21.

龙山中学 2014—2015 学年第二学期 6 月考考试试题
文科数学参考答案及评分标准 一、选择题:本大题每小题 5 分,满分 50 分. 1 D 2 A 3 B 4 B 5 D 6 C 7 A 8 D 9 C 10 B

二、填空题:本大题每小题 5 分;第 14、15 两小题中选做一题,如果两题都做,以第 14 题的得分为最后得分),满分 20 分. 11. 16 .

4 12. 5 .

13. 8 ? 2 π

14. 2 .

15. 2 3 .

三、解答题:本大题 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分)

π Q sin( ? A) ? cos A 2 解: (1) ,

? cos A ?

11 14 ,…………………………………………………………………………………2 分

又 Q 0 ? A ? π ,………………………………………………………………………………3 分

? sin A ?

5 3 14 .………………………………………………………………………………4 分
1 2 ,且 0 ? B ? π ,

Q cos( π ? B ) ? ? cos B ? ?

?B ?

π 3 .………………………………………………………………………………………6 分

a b ? (2)法一:由正弦定理得 sin A sin B , ?b ? a ? sin B ?7 sin A ,…………………………………………………………………………8 分
2 2 2 2

另由 b ? a ? c ? 2ac cos B 得 49 ? 25 ? c ? 5c , 解得 c ? 8 或 c ? ?3 (舍去) ,………………………………………………………………11 分

? b ? 7 , c ? 8 .………………………………………………………………………………12 分

a b ? 法二:由正弦定理得 sin A sin B , ?b ? a ? sin B ?7 sin A ,…………………………………………………………………………8 分




Q cos C ? cos ?? ? A ? B? ? ? cos( A ? B)

? sin A sin B ? cos A cos B ?

5 3 3 11 1 1 ? ? ? ? 14 2 14 2 7 ,……………………10 分
c 2 ? 25 ? 49 ? 2 ? 5 ? 7 ? 1 ? 64 7 ,

?c ? a ? b ? 2ab cos A 得
2 2 2

即 c ? 8 ,………………………………………………………………………………………11 分

? b ? 7 , c ? 8 .………………………………………………………………………………12 分
【说明】本题主要考查解三角形的基础知识,正、余弦定理,诱导公式,同角三角函数的基 本关系,两角和与差的余弦公式等知识,考查了考生运算求解的能力. 17. (本小题满分 12 分) 解: (1)散点图如下图所示. ………………………………………………………………2 分 y
80 78 76 74 72 70

? ? ?

?

?
50

x
52 54 56 58

O

Qx?
(2)
5

50 ? 51 ? 54 ? 57 ? 58 69 ? 70 ? 74 ? 78 ? 79 ? 54 y ? ? 74 5 5 , ,………6 分
i

? ( x ? x)( y ? y) ? 4 ? 5 ? 3? 4 ? 3? 4 ? 4 ? 5 ? 64
i ?1 i



? ( x ? x)
i ?1 i

5

2

? (?4)2 ? (?3)2 ? 32 ? 42 ? 50


$ b?

? ( x ? x)( y ? y)
i ?1 i i

5

? ( x ? x)
i ?1 i

5

?

2

64 ? 1.28 50


$ a ? y ? bx ? 74 ?1.28 ? 54 ? 4.88 , …………………………………………………9 分
故 y 关于 x 的线性回归方程是: y ? 1.28 x ? 4.88 .…………………………………10 分

?

(3)当 x ? 25 时, y ? 1.28 ? 25 ? 4.88 ? 36.88 ? 37 所以可以预测此时 PM2.5 的浓度约为 37 .…………………………………………12 分 【说明】本题主要考查了线性回归分析的方法,包括散点图,用最小二乘法求参数,以及用 回归方程进行预测等知识,考查了考生数据处理和运算能力.

18. (本小题满分 14 分) 证明: (1)取 AB 的中点 O ,连结 DO 、 CO ,…………1 分
D E

Q ?ABD 是等腰直角三角形, AD ? BD ,
DO ? 1 AB ? 2 2 ,………………2 分
B

? DO ? AB ,

O
C

A 又 Q 平面 ABD ? 平面 ABC ,平面 ABD I 平面 ABC ? AB ,

? DO ? 平面 ABC ,………………………………3 分
由已知得 EC ? 平面 ABC ,

? DO // EC ,…………………………………………………………………………………4 分
又 EC ? 2 ? DO ,

? 四边形 DOCE 为平行四边形,……………………………………………………………5 分 ? DE // OC ,…………………………………………………………………………………6 分
而 DE ? 平面 ABC , OC ? 平面 ABC ,

? DE // 平面 ABC .……………………………………………………………………………7 分
(2) Q O 为 AB 的中点, ?ABC 为等边三角形,

? OC ? AB ,…………………………………………………………………………………8 分
由(1)知 DO ? 平面 ABC ,而 OC ? 平面 ABC , 可得 DO ? OC ,………………………………………………………………………………9 分

Q DO I AB ? O ,
? OC ? 平面 ABD ,…………………………………………………………………………10 分
而 AD ? 平面 ABD ,

? OC ? AD ,………………………………………………………………………………11 分
又 Q DE / / OC ,

? DE ? AD ,………………………………………………………………………………12 分
而 BD ? AD , DE I BD ? D ,

? AD ? 平面 BDE ,…………………………………………………………………………13 分
又 BE ? 平面 BDE ,

? AD ? BE .…………………………………………………………………………………14 分
【说明】本题主要考察空间点、线、面的位置关系,考查空间想象能力、运算能力和逻辑推 理能力. 19.解: (1) 由题 Sn?1 ? an ? 1 ……① 由① ? ②得: an?1 ? 2an ? 0 ,即

? Sn ? an?1 ? 1 ……②

an?1 ? 2(n ? 2) ,…………………………4 分 an a2 ? 2 ,………………………… 5 分 a1

当 n ? 2 时, a1 ? a2 ?1 ,? a1 ? 1 ,? a2 ? 2 ,

n ?1 所 以 , 数 列 {an } 是 首 项 为 1 , 公 比 为 2 的 等 比 数 列 , 故 an ? 2

( n ? N* ) .………………… 6 分 (2)由(1) an ? 2 所
n ?1

( n ? N* ) , 以

bn ?

an?1 2n 1 1 ? n?1 ? 2( n?1 ? n ) ,…………………… 10 分 n (an ? 1)(an?1 ? 1) (2 ? 1)(2 ? 1) 2 ?1 2 ?1
1 1 2 3 1 1 3 5 1 2
n ?1

所以 Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? 2[( ? ) ? ( ? ) ? ? ? (

1 )] ?1 2 ?1 ?
n

1 1 2n ? 1 . ? 2( ? n ) ? n 2 2 ?1 2 ?1

…………………………………… 14 分

20. 解: f '( x) ? 分

1 ? x ? (a ? x) 1 a x ? a ? ? ? 2 ? 2 (x ?0) x x2 x x x

…………………………… 2

(1)因为曲线 y ? f ( x ) 在点(1, f (1) )处的切线与直线 y ?

1 x ? 1 垂直, 2

所以 f '(1) ? -2 ,即 1 ? a ? ?2, 解得a ? 3. ……………………………………4 分 (2)当 0 ? a ? 1 时, f '( x) ? 0 在(1,2)上恒成立,这时 f ( x) 在[1,2]上为增函数,

? f ( x)min ? f (1) ? a ? 1. …………………………………………………………………6
分 当 1 ? a ? 2 时,由 f '( x) ? 0 得, x ? a ? (1, 2) ,

? 对于 x ? (1, a) 有 f '( x) ? 0, f ( x) 在[1,a]上为减函数,
对于 x ? (a, 2) 有 f '( x) ? 0, f ( x) 在[a,2]上为增函数,

? f ( x)min ? f (a) ? ln a . ……………………………………………………………8 分
当 a ? 2 时, f '( x) ? 0 在(1,2)上恒成立,这时 f ( x) 在[1,2]上为减函数,

? f ( x) min ? f (2) ? ln 2 ?
10 分

a ?1. …………………………………………………………… 2

于是,①当 0 ? a ? 1 时, f ( x)min ? a ? 1 ? 0 ;……………………11 分 ②当 1 ? a ? 2 时, f ( x)min ? ln a ,令 ln a ? ③当 2 ? a 时, f ( x) min 综上所述,a ?

1 ,得 a ? e ;……………………12 分 2 1 a ? ln 2 ? ? 1 ? ln 2 ? .……………………13 分 2 2

e .………………………………………………………………………

14分 21 .解: ( 1 )设 F1 , F2 的坐标分别为 (?c,0), (c,0) , 其中 c ? 0 ,由题意得 AB 的方程 为: y ?

3 ( x ? c)

因 F1 到直线 AB 的距离为 3 ,所以有

? 3c ? 3c 3 ?1

? 3 ,解得 c ? 3 ……………2 分

所以有 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 3 ……①由题意知: 联 立 ① ② 解 得 :

1 ? 2a ? 2b ? 4 ,即 ab ? 2 ……② 2

a ? 2, b ? 1 , 所 求 椭 圆 D 的 方 程 为

x2 ? y 2 ? 1 ………………………………4 分 4
(2)由(1)知椭圆 D 的方程为

??? ? ???? ? x2 ? y 2 ? 1 ,设 E ( x1 , y1 ) , C (0, m) ,由于 CE ? ? EM , 4






( x1 , y1 ? m) ? ? (?1 ? x1 ,? y1 )



? x1 ? ?

?
1? ?

, y1 ?

m ……………………………7 分 1? ?

又 E 是椭圆 D 上的一点,则

(?

?
1? ? 4

)2





(3? ? 2)(? ? 2) 2 m 2 ?0 ,所以 m ? ?( ) ?1 4 1? ? 2 ??? : 或 3

? ? ?2

……………………………………………………………8 分

(3)由 P (?2,0) , 设 Q ( x1 , y1 ) ,根据题意可知直线 l1 的斜率存在,可设直线斜率为 k ,则直 线 l1 的 方 程 为 y ? k ( x ? 2) , 把 它 代 入 椭 圆 D 的 方 程 , 消 去 y , 整 理 得 :

(1 ? 4k 2 ) x 2 ? 16k 2 x ? (16k 2 ? 4) ? 0
由韦达定理得 ? 2 ? x1 ? ? 所 以 线

4k 16k 2 2 ? 8k 2 , 则 , y1 ? k ( x1 ? 2) ? x ? 1 2 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 1 ? 4k



PQ













(?

2k 8k 2 ) ……………………………………………………10 分 , 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k
则 有 Q (2,0) , 线 段 PQ 垂 直 平 分 线 为 y 轴 , 于 是

(i) 当 k ? 0 时 ,

??? ? ???? NP ? ( ?2, ?t ), NQ ? (2, ?t )

由 NP ? NQ ? ?4 ? t 2 ? 4 ,解得: t ? ?2 2 ……………………………………………11 分 (ii) 当 k ? 0 时, 则线段 PQ 垂直平分线的方程为 y ?

2k 1 8k 2 ? ? ( x ? ) 1 ? 4k 2 k 1 ? 4k 2 6k 因为点 N (0, t ) 是线段 PQ 垂直平分线的一点,令 x ? 0 ,得: t ? ? , 1 ? 4k 2
于 是

??? ? ???? NP ? (?2, ?t ), NQ ? ( x1 , y1 ? t )





NP ? NQ ? ?2 x1 ? t ( y1 ? t ) ?

4(16k 4 ? 15k 2 ? 1) ? 4, (1 ? 4k 2 ) 2

解得: k ? ? 综 上 ,

6k 14 2 14 ,代入 t ? ? , 2 ,解得: t ? ? 1 ? 4k 7 5
满 足 条 件 的 实 数

t







t ? ?2 2



t??

2 14 . 5

……………………………………14 分


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