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山东省夏津一中2015-2016学年高一上学期期中考试数学试题(B层)


2015——2016 学年高一上学期期中考试 B 层数学试题
时间:120 分钟 满分:150 分 一.选择题(本大题共 12 个小题,每题 5 分共 60 分) 1、设集合 M ? x x ? 5 , a ? 5 ,则 ( A. a ∈M B. a ? M

?

?

) C. a =M D. a >M )



2.设集合 A ? x ?1 ? x ? 2 , B ? x 0 ? x ? 4 ,则 A ? B ? ( A. ?1, 4? B. ?1, 2? C. ? 0, 4? D.

?

?

?

?

?0, 2?
, 则集合 A

, y) ? (x 1 ? , y1 ) ? 3. 在映射 f : A ? B中 , A ? B ? {( x, y) | x, y ? R}, 且 f :( x
中的元素 ? ?1, 2? 对应的 B 中的元素为( A. (?3,1) B. (1,3) ) C. (?2,3) D. (3,1)

3 4. 当 a ? 0 时 ? ax ?

A. ? x ? ax 5. y ?

B. x ? ax )

C. x ax

D. ? x ax

2 x 的定义域是(

A. ?0, ??? 6.函数 y ? a x ?

B. ? 0, 2 ?

C. ? ??,0? )

D. R

1 (a ? 0, a ? 1) 的图象可能是( a

7.下列函数在区间 ?0,3? 上是增函数的是( A. y ?


?x

1 x

B. y ? x 2

1

C. y ? 3

D. y ? x ? 2 x ? 15
2

8.函数 f ( x) ? x ?

1 ( x ? 0) 是 x



) B.奇函数,且在(0,1)上是减函数 D.偶函数,且在(0,1)上是减函数

A.奇函数,且在(0,1)上是增函数 C.偶函数,且在(0,1)上是增函数

9.若函数 f ( x) ? x2 ? 4x ? 4 的定义域为 ?0, m? ,值域为 ? ?8, ?4? ,则实数 m 的取值范围是 ( ) B.

A. (0,2]

? 2, 4?

C.

? 2, 4?
)

D.

? 0, 4?

10.函数 f ( x) ? 2 x ? 3x 的零点所在的一个区间是( A. (1,2) B.(0,1)

C. (-2,-1)

D. (-1,0) )

11.函数 f ( x) ? x 2 ? (3a ?1) x ? 2a 在 (??, 4) 上为减函数,则实数 a 的取值范围是( A. a ? ?3 B. a ? 3 C. a ? 5 D. a ? ?3 )

12. 若函数 f ( x) ? 4 x ? x 2 ? a 有 4 个零点,则实数 a 的取值范围是(

A . (?4,0)

B. ?0,4?

C. (0,4)

D. ?? 4,0?

二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分)

? x 2 ( x ? 0) ? 13.已知 f ( x) ? ?2 ( x ? 0) ,则 f ? f ? ?1? ? = ?0 ( x ? 0) ?
14.若函数 f ( x) ? kx2 ? (k ?1) x ? 3 是偶函数,则 f ( x ) 的递减区间是 15. 函数 f ( x) ? a x ? 2(a ? 0且a ? 1) 恒过定点 16.函数 y ? . .

3 的值域是 2 ?2
x

三.解答题(17-21 题每题 12 分, 22 题 14 分,共 74 分) 17、已知全集 U ? R, 集合 A ? x x ? 2 , B ? x ?1 ? x ? 3

?

?

?

?

求: ?1? A ? B

, ? 2? CU B , ?3? CU A ? B

18.已知二次函数 f ( x ) 满足 f (0) ? 2 和 f ( x ? 1) ? f ( x) ? 2 x ? 1对任意实数 x 都 成立. (1)求函数 f ( x ) 的解析式; (2)当 t ?[?1,3] 时,求 g (t ) ? f (2t ) 的值域.

19. 已知函数 f ( x ) ?

2x ? 1 . x ?1

(1)判断函数在区间 ?1,??? 上的单调性,并用定义证明你的结论; (2)求该函数在区间 ?1,4? 上的最大值与最小值.

20.设 f ( x ) 为定义在 R 上的奇函数, 右图是函数图形的一部 分,当 0 #x

2 时,是线段

OA ;当 x > 2 时,图象是顶点为 P(3, 4) 的抛物线的
一部分.

(1)求函数 f ( x ) 在 (- ? , 2) 上的解析式; (2)写出函数 f ( x ) 的单调区间.

21. 设 f ( x ) 的定义域为 (0, ??) ,且在 (0, ??) 是递增的, f ( ) ? f ( x) ? f ( y ) (1)求证: f (1) ? 0, f ( xy) ? f ( x) ? f ( y) ; (2)设 f (4) ? 2 ,解不等式 f ( x) ? f ( x ? 3) ? 2 .

x y

22.某厂每月生产一种投影仪的固定成本为 0.5 万元,但每生产 100 台,需要加可变成本(即 另增加投入) 0.25 万元,市场对此产品的月需求量为 500 台,销售的收入函数为

R( x) ? 5 x ?

x2 (万元)(0 #x 2

5且x ? R) ,其中 x 是产品售出的数量(单位:百台)。

(1)求月销售利润 y (万元)关于月产量 x (百台)的函数解析式; (2)当月产量为多少时,销售利润可达到最大?最大利润为多少?

高一数学 B 参考答案: 1-5 BDCAD 13. 2 14. 6-10 DBBCD 11-12 DA

(??, 0)

15.

(0,3) 16. (??, ? ) ? (0, ??)

3 2

17.解: (1) ? 2,3? (2)

……………4 分 ……………4 分

(??, ?1] ?[3, ??)

(3) (?1, 2] ……………4 分

(2)∵ g (t ) ? f (2t ) ? (2t )2 ? 2 ? 2t ? 2 ? (2t ?1)2 ? 1 ………………………8 分 又∵当 t ?[?1,3] 时, 2 ? [ ,8] ,…………………………………………9 分
t

1 2

t 2 ∴ (2 ? 1) ? [? , 7] , (2 ?1) ?[0, 49]
t

1 2

∴ g (t ) ? [1,50] ………………………………………………………………11 分 即当 t ?[?1,3] 时,求 g (t ) ? f (2 ) 的值域为 [1,50] 。……………………12 分
t

19 解:任取 x1 , x2 ? ?1,??? ,且 x1 ? x2 ,…………………2 分

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?

2 x1 ? 1 2 x2 ? 1 ( x1 ? x2 ) ? ? x1 ? 1 x2 ? 1 ( x1 ? 1)(x2 ? 1)

…………………4 分

∵ x1 ? x2 ? 0 , ? x1 ?1?? x2 ?1? ? 0 , 所以, f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 0 , f ? x1 ? ? f ? x2 ? ,…………………7 分 所以函数 f ? x ? 在 ?1,??? 上是增函数. ………………8 分 所以函数 f ? x ? 在 ?1, 4? 上是增函数. 最大值为 f (4) ? ………………10 分

2? 4 ?1 9 2 ?1 ? 1 3 ? , 最小值为 f (1) ? ? . …………12 分 4 ?1 5 1?1 2

20.解: (1)当 x≥2 时,设 f(x)=a(x-3) +4 ∵f(x)的图象过点 A(2,2), ∴f(2)=a(2-3) +4=2,∴a=-2, ∴f(x)=-2(x-3) +4 设 x∈(-∞,-2),则-x>2, ∴f(-x)=-2(-x-3) +4. 又因为 f(x)在 R 上为奇函数, ∴ f ( ? x ) ? ? f ( x) ,
2
2 2 2 2

......2 分

.............5 分

∴ f ( x) ? 2(? x ? 3) ? 4 ,
2

即 f ( x) ? 2( x ? 3) ? 4 ,x∈(-∞,-2)

.........10 分

(2)单调减区间为(-∞,-3]和[3,+∞), 单调增区间为 [?3,3] .........12 分

21. (1)证明: f ( ) ? f ( x) ? f ( y ) ,令 x=y=1,则有:f(1)=f(1)-f(1)=0,…2 分

x y

x 1 f ( xy) ? f ( ) ? f ( x) ? f ( ) ? f ( x) ? [ f (1) ? f ( y )] ? f ( x) ? f ( y ) 。…………4 分 1 y y
2 (2)解: f ( x) ? f ( x ? 3) ? 2 等价于: f ( x ? 3x) ? f (4) ①, …………………………7 分

且 x>0,x-3>0[由 f(x)定义域为(0,+∞)可得]…………………………………10 分 ∵ x( x ? 3) ? x ? 3x ? 0 ,4>0,又 f(x)在(0,+∞)上为增函数,
2

∴① ? x ? 3x ? 4 ? ?1 ? x ? 4 。又 x>3,∴原不等式解集为:{x|3<x≤4}…12 分
2

22、解:(1)当 0 ? x ? 5 时,投影仪能售出 x 百台; 当 x ? 5 时,只能售出 5 百台,这时成本为 (0.5 ? 0.25x) 万元……………2 分

依题意可得利润函数为

y ? R( x) ? (0.5 ? 0.25x)

? x2 (5 x ? ) ? (0.5 ? 0.25 x), (0 ? x ? 5) ? ? 2 ………………………………………5 分 ?? 2 ? (5 ? 5 ? 5 ) ? (0.5 ? 0.25 x), ( x ? 5) ? ? 2



? x2 ?4.75 x ? ? 0.5, (0 ? x ? 5) 。 ………………………… …………………7 y?? 2 ? 12 ? 0.25 x, ( x ? 5) ?

分 (2)显然, y |x?5 ? y |x?5 ;………………………………………………………………8 分 又当 0 ? x ? 5 时, y ? ?

1 1 ( x ? 4.75) 2 ? ? 4.752 ? 0.5 …………………… …10 分 2 2 1 2 ∴当 x ? 4.75 (百台)时有 ymax ? ? 4.75 ? 0.5 ? 10.78125 (万元) 2
即当月产量为 475 台时可获得最大利润 10.78125 万元。……………………14 分


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