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河南省洛阳市2014-2015学年高二下学期期中数学试卷(文科) Word版含解析


河南省洛阳市 2014-2015 学年高二下学期期中数学试卷(文科)
一、选择题(共 12 小题,满分 60 分) 1. (5 分)设 z=3﹣4i,则复数的虚部是() A.3 B. 4 C.﹣4 2. (5 分)已知 x 与 y 之间的一组数据 x 0 1 2 3 y 1 3 5 7 则 y 与 x 的线性回归方程 =bx+ 必过点() A.(2,2) 3. (5 分)复数 A.2+i B.(1.5,4) 的共轭复数是() B.﹣2﹣i
*

D.﹣4i

C.(1.5,0)

D.(1,2)

C.﹣2+i

D.2﹣i
*

4. (5 分)设 f(n)>0(n∈N ) ,f(2)=4,并且对于任意 n2,n2∈N ,有 f(n1+n2)=f(n1) ?f(n2)成立,猜想 f(n)的表达式为() 2 n+1 n A.f(n)=n B.f(n)=2n C.f(n)=2 D.f(n)=2 5. (5 分)通过随机询问 110 名性别不同的大学生是否爱好某项运动,计算得 K 的观测值 k≈7.822: P(K ≥k) 0.050 0. 010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 参照附表,得到的正确结论是() A.在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别有关” B. 在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别无关” C. 有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” D.有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” 6. (5 分)下列表述正确的是() ①归纳推理是由部分到整体的推理; ②归纳推理是由一般到一般的 推理; ③演绎推理是由一般到特殊的推理; ④类比推理是由特殊到一般的推理; ⑤类比推理是由特殊到特殊的推理. A.①②③ B.②③④
2 2

C.①③⑤

D.②④⑤

7. (5 分)用反证法证明命题:“a,b,c,d∈R,a+b=1,c+d=1,且 ac+bd>1,则 a,b,c, d 中至少有一个负数”时的假设为() A.a,b,c ,d 全都大于等于 0 B. a,b,c,d 全为正数

C. a,b,c,d 中至少有一个正数
2

D.a,b,c,d 中至多有一个负数

8. (5 分)若复数 z=(x ﹣1)+(x﹣1)i 为纯虚数,则实数 x 的值为() A.﹣1 B. 0 C. 1 D.﹣1 或 1 9. (5 分)如图所示,程序执行后的输出结果为()

A.﹣1

B. 0

C. 1

D.2

10. (5 分)图 1 是一个水平摆放的小正方体木块,图 2,图 3 是由这样的小正方体木块叠放 而成的,按照这样的规律放下去,至第七个叠放的图形中,小正方体木块总数就是()

A.25

B.66

C.91

D.120

11. (5 分)若 a<b<0,则下列结论一定正确的是() A.
2



B.



C.ac <bc

2

2

D.(a+ ) >(b+ )

2

12. (5 分)关于函数 f(x)= f(x)有最大值 A.②

,下列叙述一定正确的序号为①是奇函数;②a>0 时,

;③函数图象经过坐标原点(0,0) () B.①② C.①③ D.①②③

二、填空题(共 4 小题,满分 20 分) 13. (5 分)若复数 z 满足(3﹣4i)z=|4+3i|,则 z 在复平面中所对应的点到原点的距离为.

14. (5 分)黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案:则第 n 个图案

中有白色地面砖块 15. (5 分)半径为 r 的圆的面积 S(r)=πr ,周长 C(r)=2πr,若将 r 看作(0,+∞)上的 2 变量,则(πr )′=2πr ①,①式可以用语言叙述为:圆的面积函数的导数等于圆的周长 函数.对于半径为 R 的球,若将 R 看作(0,+∞)上的变量,请你写出类似于①的式子: . 16. (5 分)下面四个命题: ①有一段演绎推理“有些有理数是真分数,整数是有理数,则整数是真分数”,结论显然错 误,是因为大前提错误; 2 ②在两个变量 y 与 x 的回归模型中,分别选择了四个不同的模型,它们的相关指数 R 分别 为: (1)0.976; (2)0.776, (3)0.076; (4)0.351,其中拟合效果最好的模型是(1) ; ③设 a,b,c∈(﹣∞,0) ,则 a+ ,b+ ,c+ 至少有一个不大于﹣2; ④如果一个直角三角形的两条边长分别是 6 和 8,另一个与它相似的直角三角形边长分别 是 3 和 4 及 x,那么 x 的值是 5. 其中所有正确命题的序号是.
2

三、解答题(共 6 小题,满分 70 分) 17. (10 分)已知|1﹣z|+z=10﹣3i(i 为虚数单位) . (1)求 z; (2)若 z +mz+n=1﹣3i,求实数 m,n 的值. 18. (12 分)已知实数 a,b,c 满足 a>b>c,求证: + + >0.
2

19. (12 分)在一次数学测验后,教师对选答题的选题情况进行了统计,如表: (单位:人) 几何证明选讲 坐标系与参数方程 不等式选讲 合计 男同学 12 4 6 22 女同学 0 8 12 20 合计 12 12 18 42 在统计结果中,如果把《几何证明选讲》和《坐标系与参数方程》称为几何类,把《不等式 选讲》称为代数类,请列出如下 2×2 列表: (单位:人) 几何类 代数类 总计 男同学 女同学 总计 据此判断是否有 95%的把握认为选做“几何类”或“代数类”与性别有关?

20. (12 分)在各项为正的数列{an}中,数列的前 n 项和 Sn 满足 Sn= (1)求 a1,a2,a3; (2)由(1)猜想数列{an}的通项公式; (3)求 Sn.



21. (12 分)已知某校 5 个学生的数学成绩和物理成绩如下表: 学生的编号 1 2 3 4 5 数学成绩 xi 80 75 70 65 60 物理成绩 yi 70 66 68 64 62 (1) 通过大量事实证明发现, 一个学生的数学成绩和物理成绩是具有很强的线性相关关系, 用 x 表示数学成绩,用 y 表示物理成绩,求 y 关于 x 的回归方程; (2)利用残差分析回归方程的拟合效果,若残差和在(﹣0.1,0.1)范围内,则称回归方程 为“优拟方程”,问:该回归方程是否为“优拟方程”? 参考公式:残差和公式为: ( ) ) .

22. (12 分)已知函数 f(x)=e (e 是自然对数的底数,e=2.71828…) (1)证明:对?x∈R,不等式 f(x)≥x+1 恒成立; (2)数列{ }(n∈N )的前 n 项和为 Tn,求证:Tn<
*

x



河南省洛阳市 2014-2015 学年高二下学期期中数学试卷 (文科)
参考答案与试题解析

一、选择题(共 12 小题,满分 60 分) 1. (5 分)设 z=3﹣4i,则复数的虚部是() A.3 B. 4 C.﹣4

D.﹣4i

考点: 复数的基本概念. 专题: 计算题;数系的扩充和复数. 分析: 由复数的定义可得答案. 解答: 解:∵z=3﹣4i, ∴由复数的定义,知复数的虚部为﹣4, 故选 C. 点评: 本题考查复数的有关概念,属基础题,熟记相关概念是解题管.

2. (5 分)已知 x 与 y 之间的一组数据 x 0 1 2 3 y 1 3 5 7 则 y 与 x 的线性回归方程 =bx+ 必过点() A.(2,2) B.(1.5,4) C.(1.5,0) D.(1,2)

考点: 线性回归方程. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: 先分别计算平均数,可得样本中心点,利用线性回归方程必过样本中心点,即可得 到结论. 解答: 解:由题意, = (0+1+2+3)=1.5, = (1+3+5+7)=4 ∴x 与 y 组成的线性回归方程必过点(1.5,4) 故选:B. 点评: 本题考查线性回归方程,解题的关键是利用线性回归方程必过样本中心点. 3. (5 分)复数 A.2+i 的共轭复数是() B.﹣2﹣i C.﹣2+i D.2﹣i

考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出. 解答: 解:复数 = = =﹣2﹣i 的共轭复数为﹣

2+i. 故选:C. 点评: 本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义,属于基础题. 4. (5 分)设 f(n)>0(n∈N ) ,f(2)=4,并且对于任意 n2,n2∈N ,有 f(n1+n2)=f(n1) ?f(n2)成立,猜想 f(n)的表达式为() 2 n+1 n A.f(n)=n B.f(n)=2n C.f(n)=2 D.f(n)=2 考点: 归纳推理. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 由 f(n1+n2)=f(n1)?f(n2)知,f(n)可以为指数型函数,从而得到答案. 解答: 解:由 f(n1+n2)=f(n1)?f(n2) , s t s+t 结合指数运算律:a ×a =a 知, f(n)可以 为指数型函数, 故排除 A,B; 而再由 f(2)=4 知, n f(n)=2 , 故选 D.
* *

点评: 本题考查了指数函数的应用,属于基础题. 5. (5 分)通过随机询问 110 名性别不同的大学生是否爱好某项运动,计算得 K 的观测值 k≈7.822: 2 P(K ≥k) 0.050 0. 010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 参照附表,得到的正确结论是() A.在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别有关” B. 在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别无关” C. 有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” D.有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” 考点: 独立性检验的应用. 专题: 规律型;概率与统计. 分析: 通过所给的观测值,同临界值表中的数据进行比较,发现 7.822>6.635,得到结论 . 解答: 解:∵由一个 2×2 列联表中的数据计算得 K 的观测值 k≈7.822, 则 7.822>6.635, ∴有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”, 故选:D. 点评: 本题考查独立性检验, 考查判断两个变量之间有没有关系, 一般题目需要自己做出 观测值,再拿着观测值同临界值进行比较,得到结论. 6. (5 分)下列表述正确的是() ①归纳推理是由部分到整体的推理; ②归纳推理 是由一般到一般的推理; ③演绎推理是由一般到特殊的推理; ④类比推理是由特殊到一般的推理; ⑤类比推理是由特殊到特殊的推理. A.①②③ B.②③④
2 2

C.①③⑤

D.②④⑤

考点: 类比推理;归纳推理. 专题: 综合题;推理和证明. 分析: 本题解决的关键是了解归纳推理、 演绎推理和类比推理的概念及它们间的区别与联 系.利用归纳推理就是从个别性知识推出一般性结论的推理,从而可对①②进行判断;由 类比推理是由特殊到特殊的推理,从而可对④⑤进行判断;对于③直接据演绎推 理即得. 解答: 解:所谓归纳推理,就是从个别性知识推出一般性结论的推理. 故①对②错; 又所谓演绎推理是由一般到特殊的推理. 故③对; 类比推理是根据两个或两类对象有部分属性相同,从而推出它们的其他属性也相同的推理. 故④错⑤对. 故选:C.

点评: 本题主要考查推理的含义与作用. 所谓归纳推理, 就是从个别性知识推出一般性结 论的推理.演绎推理可以从一般到一般;类比推理是根据两个或两类对象有部分属性相同, 从而推出它们的其他属性也相同的推理. 7. (5 分)用反证法证明命题:“a,b,c,d∈R,a+b=1,c+d=1,且 ac+bd>1,则 a,b,c, d 中至少有一个负数”时的假设为() A.a,b,c,d 全都大于等于 0 B. a,b,c,d 全为正数 C. a,b,c,d 中至少有一个正数 D.a,b,c,d 中至多有一个负数 考点: 反证法. 专题: 证明题;推理和证明. 分析: 用反证法证明数学命题时,应先假设结论的否定成立. 解答: 解:“a,b,c,d 中至少有一个负数”的否定为“a,b,c,d 全都大于等于 0”, 由用反证法证明数学命题的方法可得,应假设“a,b,c,d 全都大于等于 0”, 故选:A. 点评: 本题主要考查用反证法证明数学命题, 把要证的结论进行否定, 得到要证的结论的 反面,是解题的突破口,属于基础题. 8. (5 分)若复数 z=(x ﹣1)+(x﹣1)i 为纯虚数,则实数 x 的值为() A.﹣1 B. 0 C. 1 D.﹣1 或 1 考点: 复数的基本概念. 专题: 计算题. 2 分析: 复数 z=(x ﹣1)+(x﹣1)i 为纯虚数,复数的实部为 0 ,虚部不等于 0,求解即 可. 解答: 解:由复数 z=(x ﹣1)+(x﹣1)i 为纯虚数, 可得 x=﹣1 故选 A. 点评: 本题考查复数的基本概念,考查计算能力,是基础题. 9. (5 分)如图所示,程序执行后的输出结果为()
2 2

A.﹣1

B. 0

C. 1

D.2

考点: 程序框图. 专题: 图表型;算法和程序框图. 分析: 执行程序框图,依次写出每次循环得到的 s,n 的值,当 s=15 时不满足条件 s<15, 退出循环,输出 n 的值为 0. 解答: 解:执行程序框图,可得 n=5,s=0 满足条件 s<15,s=5,n=4 满足条件 s<15,s=9,n=3 满足条件 s<15,s=12,n=2 满足条件 s<15,s=14,n=1 满足条件 s<15,s=15,n=0 不满足条件 s<15,退出循环,输出 n 的值为 0. 故选:B. 点评: 本题主要考查了程序框图和算法, 正确判断退出循环时 n 的值是解题的关键, 属于 基础题. 10. (5 分)图 1 是一个水平摆放的小正方体木块,图 2,图 3 是由这样的小正方体木块叠放 而成的,按照这样的规律放下去,至第七个叠放的图形中,小正方体木块总数就是()

A.25

B.66

C.91

D.120

考点: 归纳推理. 专题: 综合题. 分析: 先分别观察给出正方体的个数为:1,1+5,1+5+9,…总结一 般性的规律,将一般 性的数列转化为特殊的数列再求解. 解答: 解:分别观察正方体的个数为:1,1+5,1+5+9,… 归纳可知,第 n 个叠放图形中共有 n 层,构成了以 1 为首项,以 4 为公差的等差数列 所以 ∴s7=2?7 ﹣7=91 故选 C. 点评: 本题主要考查归纳推理,其基本思路是先分析具体,观察,总结其内在联系,得到 一般性的结论,若求解的项数较少,可一直推理出结果,若项数较多,则要得到一般求解方 法,再求具体问题. 11. (5 分)若 a<b<0,则下列结论一定正确的是()
2

A.
2



B.



C.ac <bc

2

2

D.(a+ ) >(b+ )

2

考点: 不等式比较大小. 专题: 不等式. 分析: 对于 A,B 取值验证即可,对于 C,当 c=0 时不成立,对于 D,假设成立,最后推 出 ab>0,即 D 成立.. 解答: 解:∵a<b<0,令 a=﹣2,b=﹣1, 对于 A,﹣ < ,故 A 不正确,

对于 B, <1,故 B 不正确, 对于 C,当 c=0 时,不成立,故 C 不正确, 对于 D,若成立,则(a+ ) >(b+ ) ?a+ <b+ ?a b+a<b a+b?ab(a﹣b)<b﹣a?ab >0,∵a<b<0,∴ab>0 成立,故 D 正确. 点评: 本题考查了不等式的性质,通过性子来比较大小,属于基础题. 12. (5 分)关于函数 f(x)= f(x)有最大值 A.② 考点: 专题: 分析: 解答: ,下列叙述一定正确的序号为①是奇函数;②a>0 时,
2 2 2 2

;③函数图象经过坐标原点(0,0) () B.①② C.①③ D.①②③

函数奇偶性的判断;函数的最值及其几何意义. 函数的性质及应用. 根据函数解析式分析器奇偶性和最值等,得到正确选项. 解:由已知解析式得到函数定义域为 R, =﹣f(x) ;所以为奇函数;故①正确;

对于①,f(﹣x)=

对于②,a>0 时,f(x)=

,当且仅当 x= 时等号成立;故②正确;

对于③,只有 a≠0 时,函数图象经过坐标原点(0,0) ,故③错误; 故选 B. 点评: 本题考查了函数奇偶性的判断、最值求法等;将解析式适当变形是关键. 二、填空题(共 4 小题,满分 20 分) 13. (5 分)若复数 z 满足(3﹣4i)z=|4+3i|,则 z 在复平面中所对应的点到原点的距离为 1. 考点: 复数相等的充要条件. 专题: 计算题;数系的扩充和复数.

分析: (3﹣4i)z=|4+3i|可化为(3﹣4i)z=5,两边求模可得答案. 解答: 解:|4+3i|=5, ∴(3﹣4i)z= |4+3i|,即(3﹣4i)z=5, ∴|(3﹣4i)z|=5,即 5|z|=5,解得|z|=1, ∴z 在复平面中所对应的点到原点的距离为 1, 故答案为:1. 点评: 该题考查复数相等的充要条件、复数的模,考查学生的运算能力,属基础题. 14. (5 分)黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案:则第 n 个图案

中有白色地面砖 4n+2 块 考点: 归纳推理. 专题: 探究型. 分析: 通过已知的几个图案找出规律,可转化为求一个等差数列的通项公式问题即可. 解答: 解:第 1 个图案中有白色地面砖 6 块;第 2 个图案中有白色地面砖 10 块;第 3 个 图案中有白色地面砖 14 块;… 设第 n 个图案中有白色地面砖 n 块, 用数列{an}表示, 则 a1=6, a2=10, a3=14, 可知 a2﹣a1=a3 ﹣a2=4,… 可知数列{an}是以 6 为首项,4 为公差的等差数列,∴an=6+4(n﹣1)=4n+2. 故答案为 4n+2. 点评: 由已知的几个图案找出规律转化为求一个等差数列的通项公式是解题的关键. 15. (5 分)半径为 r 的圆的面积 S(r)=πr ,周长 C(r)=2πr,若将 r 看作(0,+∞)上的 2 变量,则(πr )′=2πr ①,①式可以用语言叙述为:圆的面积函数的导数等于圆的周长 函数.对于半径为 R 的球,若将 R 看作(0,+∞)上的变量,请你写出类似于①的式子: .
2

考点: 类比推理. 专题: 探究型. 分析: 圆的面积函数的导数等于圆的周长函数, 类比得到球的体积函数的导数等于球的表 面积函数,有二维空间推广到三维空间. 解答: 解:V 球= ,又

用语言叙述为“球的体积函数的导数等于球的表面积函数.” 类似于①的式子可填 故答案为 , ,

点评: 本题考查类比推理,解答本题的关键是: (1)找出两类事物:圆与球之间的相似性 或一致性; (2)用圆的性质去推测球的性质,得出一个明确的命题(猜想) .

16. (5 分)下面四个命题: ①有一段演绎推理“有些有理数是真分数,整数是有理数,则整数是真分数”,结论显然错 误,是因为大前提错误; 2 ②在两个变量 y 与 x 的回归模型中,分别选择了四个不同的模型,它们的相关指数 R 分别 为: (1)0.976; (2)0.776, (3)0.076; (4)0.351,其中拟合效果最好的模型是(1) ; ③设 a,b,c∈(﹣∞,0) ,则 a+ ,b+ ,c+ 至少有一个不大于﹣2; ④如果一个直角三角形的两条边长分别是 6 和 8,另一个与它相似的直角三角形边长分别 是 3 和 4 及 x,那么 x 的值是 5. 其中所有正确命题的序号是②③. 考点: 命题 的真假判断与应用. 专题: 简易逻辑. 分析: ①本题考查的知识点是演绎推理的基本方法及整数的, 在使用三段论推理证明中, 如果命题是错误的,则可能是“大前提”错误,也可能是“小前提”错误,也可能是推理形式错 误,我们分析的其大前提的形式:“有些…”,不难得到结论. ②相关指数 R 的值越大,模型拟合的效果越好,可得答案. ③利用反证法和均值不等式能求出结果. ④两条边长分别是 6 和 8 的直角三角形有两种可能,即已知边均为直角边或者 8 为斜边, 运用勾股定理分别求出第三边后, 和另外三角形构成相似三角形, 利用对应边成比例即可解 答. 解答: 解:对于①∵大前提的形式:“有些有理数是真分数”,不是全称命题, ∴不符合三段论推理形式, ∴推理形式错误,故①错, 对于②,根据相关指数 R 的值越大,模型拟合的效果越好, 比较(1) (2) (3) (4)选项,A 的相关指数最大,∴模型(1)拟合的效果最好. 故②对. 对于③,假设 a+ ,b+ ,c+ 都大于﹣2, 即 a+ >﹣2,b+ >﹣2,c+ >﹣2, 将三式相加,得 a+ +b+ +c+ >﹣6, 又因为 a,b,c∈(﹣∞,0) , 所以 a+ ≤﹣2,b+ ≤﹣2,c+ ≤﹣2, 三式相加,得 a+ +b+ +c+ ≤﹣6, 所以 a+ +b+ +c+ >﹣6 不成立.故③对. 对于④,根据题意,两条边长分别是 6 和 8 的直角三角形有两种可能, ∵当 6 和 8 为直角边时,根据勾股定理可知斜边为 10,
2 2

∴ = =

,解得 x=5; .

当 6 是直角边,而 8 是斜边,那么根据勾股定理可知另一条直角边为 2 ∴ = = ,解得 x= .

∴x=5 或 , 故④错, 故答案为:②③ 2 点评: 本题考查三段论、了回归分析思想,在两个变量的回归分析中,相关指数 R 的值 越大,模型拟合的效果越好.不等式的性质和应用,相似三角形的性质等知识点.属于简单 题型. 三、解答题(共 6 小题,满分 70 分) 17. (10 分)已知|1﹣z|+z=10﹣3i(i 为虚数单位) . (1)求 z; 2 (2)若 z +mz+n=1﹣3i,求实数 m,n 的值. 考点: 复数相等的充要条件. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: (1)设出复数 z,利用已知条件通过复数相等,列出方程组求解即可. (2)化简方程,利用复数相等求解即可. 解答: 解: (1)设复数 z=a+bi(a,b∈R) , 则|1﹣a﹣bi|+a+bi=10﹣3i. 即: ∴z=5﹣3i. (2)z +mz+n=1﹣3i,可得: (5﹣3i) +m(5﹣3i)+n=1﹣3i. 可得: ,解得 m=﹣9,n=30.
2 2

,解得 a=5,b=﹣3,

点评: 本题考查复数相等的充要条件,考查计算能力. 18. (12 分)已知实数 a,b,c 满足 a>b>c,求证: + + >0.

考点: 不等式的证明. 专题: 证明题;推理和证明. 分析: 利用条件可得 > ? >0,即可证明结论.

解答: 证明:∵实数 a,b,c 满足 a>b>c, ∴a﹣c>a﹣b>0,b﹣c>0, ∴ > ? >0,

∴ ∴

+ +

> +

, >0.

点评: 本题考查不等式的证明, 着重考查综合法的运用, 考查推理论证能力, 属于中档题. 19. (12 分)在一次数学测验后,教师对选答题的选题情况进行了统计,如表: (单位:人) 几何证明选讲 坐标系与参数方程 不等式选讲 合计 男同学 12 4 6 22 女同学 0 8 12 20 合计 12 12 18 42 在统计结果中,如果把《几何证明选讲》和《坐标系与参数方程》称为几何类,把《不等式 选讲》称为代数类,请列出如下 2×2 列表: (单位:人) 几何类 代数类 总计 男同学 女同学 总计 据此判断是否有 95%的把握认为选做“几何类”或“代数类”与性别有关? 考点: 独立性检验. 专题: 概率与统计. 分析: 根据所给的列联表得到求观测值所用的数据, 把数据代入观测值公式中, 做出观测 值,同所给的临界值表进行比较,得到所求的值所处的位置,得到百分数. 解答: 解: 几何类 代数类 总计 男同学 16 6 22 女同学 8 12 20 总计 24 18 42 …. . 由表中数据得 K 的观测值 k=
2

=

≈4.582>3.841.

所以,据此统计有 95%的把握认为选做“几何类”或“代数类”与性别有关. 点评: 本题考查独立性检验的应用, 考查根据列联表做出观测值, 根据所给的临界值表进 行比较,本题是一个基础题. 20. (12 分)在各项为正的数列{an}中,数列的前 n 项和 Sn 满足 Sn= (1)求 a1,a2,a3; (2)由(1)猜想数列{an}的通项公式; (3)求 Sn. 考点: 数列的求和;数列递推式. .

专题: 归纳猜想型;等差数列与等比数列. 分析: (1)由题设条件,分别令 n=1,2,3,能够求出 a1,a2,a3; (2)由(1)猜想数列{an}的通项公式: (3)由(2)可得:Sn=a1+a2+…+an=1+ 简即得. 解答: 解: (1)由题意得,Sn= 令 n=1 得, 令 n=2 得, 令 n=3 得, (2)根据(1)猜想: (3)由(2)可得: Sn=a1+a2+…+an=1+ + +…+ = . ,得 a1=1, 得 ,解得 a3= (n∈N*) ; ,解得 a2= ; 1, ,且 an>0, + (n∈N*) ; +…+ ,利用消去法化

点评: 本题主要考查归纳推理、数列递推关系式的应用、数列的求和等基础知识,考查运 算求解能力,属于中档题. 21. (12 分)已知某校 5 个学生的数学成绩和物理成绩如下表: 学生的编号 1 2 3 4

5

数学成绩 xi 80 75 70 65 60 物理成绩 yi 70 66 68 64 62 (1) 通过大量事实证明发现, 一个学生的数学成绩和物理成绩是具有很强的线性相关关系, 用 x 表示数学成绩,用 y 表示物理成绩,求 y 关于 x 的回归方程; (2)利用残差分析回归方程的拟合效果,若残差和在(﹣0.1,0.1)范围内,则称回归方程 为“优拟方程”,问:该回归方程是否为“优拟方程”? 参考公式:残差和公式为: ( ) ) .

考点: 线性回归方程. 专题: 应用题;概率与统计. 分析: (1)分别做出横标和纵标的平均数,利用最小二乘法做出 b 的值,再做出 a 的值, 写出线性回归方程,得到结果. (2)做出残差平方差,得到结果是 0,根据所给的残差平方和的范围,得到所求的线性回 归方程是一个优逆方程. 解答: 解: (1) =70, =66, b= =0.36,

a=40.8, ∴回归直线方程为 y=0.36x+40.8. (2)∵残差和公式为: ( )=0.4﹣1.8+2.0﹣0.2﹣0.4=0,

∵0∈(﹣0.1,0.1) , ∴回归方程为优逆方程. 点评: 本题考查变量间的相关关系,考查回归分析的应用,考查新定义问题,是一个基础 题,注意题目的数字运算不要出错. 22. (12 分)已知函数 f(x)=e (e 是自然对数的底数,e=2.71828…) (1)证明:对?x∈R,不等式 f(x)≥x+1 恒成立; (2)数列{ }(n∈N )的前 n 项和为 Tn,求证:Tn<
* x



考点: 数列的求和;函数恒成立问题. 专题: 导数的综合应用;等差数列与等比数列. x x 分析: (1)设 h(x)=f(x)﹣x﹣1=e ﹣x﹣1,h′(x)=e ﹣1.分别解出 h′(x)>0, x h′(x)<0,即可得出单调性极值与最值. (2)由(1)可得:对?x∈R,e ≥x+1 恒成立.令 x+1=n ,则 1≥lnn . 求和”即可证明. 解答: (1)证明:设 h(x)=f(x)﹣x﹣1=e ﹣x﹣1,h′(x)=e ﹣1. 当 x>0 时,h′(x)>0,函数 h(x)单调递增; 当 x<0 时,h′(x)<0,函数 h(x)单调递减. ∴当 x=0 时,函数 h(x)取得最小值,h(0)=0, ∴h(x)≥h(0)=0, ∴f(x)≥x+1. x (2)解:由(1)可得:对?x∈R,e ≥x+1 恒成立. 令 x+1=n ,则 ∴ ∴ =1﹣ =
2 x x 2 2

,可得 n ﹣ = .利用“裂项

2

,∴n ﹣1≥lnn . . = .

2

2

∴Tn

=



点评: 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、 不等式的性质、“放缩法”、 “裂 项求和”方法,考查了推理能力与计算能力,属于难题.


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