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2015西城数学二模


北京市西城区 2015 年初三二模试卷

数  学

2015 . 6

考 2. 在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号? 生 3. 试题答案一律填涂或书写在答题卡上?在试卷上作答无效? 须 知 4. 在答题卡上?选择题、作图题用 2B 铅笔作答?其他试题用黑色字迹签字笔作答? 5. 考试结束?将本试卷、答题

卡和草稿纸一并交回? 一、选择题( 本题共 30 分?每小题 3 分)

1. 本试卷共 6 页?共五道大题?29 道小题?满分 120 分? 考试时间 120 分钟?

1. 2015 年羊年除夕夜的 10 点半?在央视春晚送红包的活动中? 微信 “ 摇一摇 ” 峰值的摇动次数达 到 8. 1 亿次 / 分钟?送出微信红包 120 000 000 个. 将 120 000 000 用科学记数法表示应为 A. 0. 12 × 10 9         B. 1. 2 × 10 7         C. 1. 2 × 10 8         D. 12 × 10 7 ∠DEC 等于 A. 75° C. 100°

下面各题均有四个选项?其中只有一个是符合题意的.

2. 如图? BD ∥ AC ?AD 与 BC 交于点 E ?如果 ∠BCA = 50°?∠D = 30°?那么 B. 80°

3. 64 的立方根是 4. 函数 y = A. ± 8

D. 120° B. ± 4 C. 8 D. 4 D. x ≥ - 2

5. 如图?△ABC 中?D?E 两点分别在 AB ?AC 边上?且 DE ∥ BC ?如果 AC = 6?那么 AE 的长为 A. 3 B. 4 C. 9

A. x ≠ 2

x - 2 中?自变量 x 的取值范围是 B. x ≥ 2

C. x > 2

AD 2 = ? AB 3 D. 12

6. 某居民小区开展节约用电活动? 该小区 100 户家庭 4 月份的节电情况如 下表所示. 节电量( 千瓦时) 户数( 户) 20 20 30 30 40 30 D. 20 D. 2 3 50 20

那么 4 月份这 100 户家庭的节电量( 单位:千瓦时) 的平均数是 7. 若一个正六边形的半径为 2?则它的边心距等于 A. 2 B. 1 C. A. 35 B. 26 C. 25 3

初三二模  数学试卷  第 1 页( 共 6 页)

8. 如图? △ABC 的边 AC 与 ☉O 相交于 C ?D 两点? 且经过圆心 O? 边 AB 与 ☉O 相切?切点为 B. 如果 ∠A = 34 ° ?那么 ∠C 等于 A. 28° C. 34° B. 33° D. 56°

9. 如图? 将正方形 OABC 放在平面直角坐标系 xOy 中?O 是原点?若点 A 的 坐标为(1? 3 ) ?则点 C 的坐标为 A. ( 3 ?1) C. ( - 3 ?1) B. ( - 1? 3 )

10. 在平面直角坐标系 xOy 中?点 M 的坐标为( m?1) . 如果以原点为圆心?半 径为 1 的 ☉O 上存在点 N?使得 ∠OMN = 45°?那么 m 的取值范围是 A. - 1 ≤ m ≤ 1 C. 0 ≤ m ≤ 1 B. - 1 < m < 1 D. 0 < m < 1 n -1 = 0 则m -n = . .

D. ( - 3 ? - 1)

11. 若 ( m + 2) 2 +

二、填空题( 本题共 18 分?每小题 3 分)

12 . 若一个凸 n 边形的内角和为 1080 ° ?则边数 n =

13 . 两千多年前?我国的学者墨子和他的学生做了小孔成像的实验.

他的做法是:在一间黑暗的屋子里? 一面墙上开一个小孔? 小孔 对面的墙上就会出现外面景物的倒像. 小华在学习了小孔成像 的原理后?利用如下装置来验证小孔成像的现象. 已知一根点 燃的蜡烛距小孔 20 cm?光屏在距小孔30 cm 处?小华测量了蜡烛 的火焰高度为2 cm?则光屏上火焰所成像的高度为 的表达式: . cm.

14 . 请写出一个图象的对称轴是直线 x = 1?且经过(0?1) 点的二次函数 15 . 如图? 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中? 直 线 y = 3 x 与 双 曲 线 y = 看出?满足3 x > 答: n x

( n ≠ 0) 在第一象限的公共点是 P (1?m) . 小明说:“ 从图象上可以 . 理由是 .

n 的 x 的取值范围是 x > 1 . ” 你同意他的观点吗? x

16 . 如图?在平面直角坐标系 xOy 中?点 D 为直线 y = 2 x 上且在第一象限 内的任意一点?DA1 ⊥ x 轴于点 A1 ?以 DA1 为边在 DA1 的右侧作正方形 A1 B1 C1 D? 直线 OC1 与边 DA1 交于点 A2 ?以 DA2 为边在 DA2 的右侧作正 方形 A2 B2 C2 D?直线 OC2 与边 DA1 交于点 A3 ?以 DA3 为边在 DA3 的右 侧作正方形 A3 B3 C3 D??按这种方式进行下去?那么直线 OC1 对应 的函数表达式为 ?直线 OC3 对应的函数表达式为 . 初三二模  数学试卷  第 2 页( 共 6 页)

17 . 如图?△ABC 是等边三角形? D?E 两点分别在 AB ?BC 的延长线上? BD = CE ?连接 AE ?CD. 求证:∠E = ∠D. 18 . 计算:2cos30° +

三、解答题( 本题共 30 分?每小题 5 分)

(1 ) 3

-1

+ 1 - 3 - (3 - π) 0 .

19 . 已知 x2 - 5 x - 4 = 0?求代数式( x + 2) ( x - 2) - (2 x - 1) ( x - 2) 的值. 20 . 解方程: 3 1 2 - = 2 . x -3 x x - 3x

21 . 列方程( 组) 解应用题:

某超市的部分商品账目记录显示内容如下: 时间 商品 牙膏( 盒) 牙刷( 支) 求第三天卖出牙膏多少盒. 营业额( 元) 第一天 7 第二天 14 187 15 第三天 ?

121

13

124

12

22 . 已知关于 x 的函数 y = mx2 + ( m - 3) x - 3 .

(1) 求证:无论 m 取何实数?此函数的图象与 x 轴总有公共点?

(2) 当 m > 0 时?如果此函数的图象与 x 轴公共点的横坐标为整数?求正整数 m 的值. 四、解答题( 本题共 20 分?每小题 5 分) 痕为 EF ?连接 CF.

23 . 如图?将平行四边形纸片 ABCD 按如图方式折叠?使点 C 与点 A 重合?点 D 的落点记为点 D′ ?折 (1) 求证:四边形 AFCE 是菱形?

(2) 若 ∠B = 45°?∠FCE = 60°?AB = 6 2 ?求线段 D′F 的长.

初三二模  数学试卷  第 3 页( 共 6 页)

24 . 1949 年以来?北京市人口结构变迁经历了 5 个阶段?从 2001 年至今已进入第五个阶段 — — —人 口膨胀增长阶段. 以下是根据北京市统计局 2015 年 1 月的相关数据制作的统计图.

根据以上信息解决下列问题: (1) 以下说法中? 正确的是 有正确说法的序号) 逐年下降?

( 请填写所

① 从 2011 年至 2014 年?全市常住人口数在 ②2010 年末全市常住人口数达到近年来的最高值?

③2014 年末全市常住人口比 2013 年末增加 36 . 8 万人? (2) 补全“2014 年末北京市常住人口分布 图” ?并回答:2014 年末朝阳、丰台、石 景山、 海淀四区的常住人口数总数已 (3) 水资源缺乏制约着北京市的人口承载 能力?为控制人口过快增长?到2015 年 底?北京市要将全市常住人口数控制 在 2180 万以内( 即不超过 2180 万) . 为 经达到多少万人?

④ 从 2011 年到 2014 年全市常住人口的年增长率连续递减.

实现这一目标?2015 年的全市常住人口的年增长率应不超过 G ?在 CD 的延长线上取一点 P ?使 PF = PG.

. ( 精确到 0. 1% )

25 . 如图 1?AB 为 ☉O 的直径?弦 CD ⊥ AB 于点 E ?点 F 在线段 ED 上. 连接 AF 并延长交 ☉O 于点 (1) 依题意补全图形?判断 PG 与 ☉O 的位置关系?并证明你的结论?

(2) 如图 2?当 E 为半径 OA 的中点?DG ∥ AB ?且 OA = 2 3 时?求 PG 的长.

初三二模  数学试卷  第 4 页( 共 6 页)

26 . (1) 小明遇到下面一道题:

且 ∠CDE = ∠ACB. 如果 AB = 1?求 CD 边的长. 段 CD 与线段 为 CD = 的长度相等?

如图 1?在四边形 ABCD 中?AD ∥ BC ?∠ABC = 90 ° ?∠ACB = 30 ° ?BE ⊥ AC 于点 E ? 小明在解题过程中发现?图 1 中?△CDE 与 △ 相似?CD 的长度等于 ?线

他进一步思考:如果 ∠ACB = α( α 是锐角) ?其他条件不变?那么 CD 的长度可以表示 ?( 用含 α 的式子表示)

(2) 受以上解答过程的启发?小明设计了如下的画图题:

在 Rt△OMN 中?∠MON = 90 ° ?OM < ON?OQ ⊥ MN 于点 Q?直线 l 经过点 M?且l ∥ ON. 请在直线 l 上找出点 P 的位置?使得 ∠NPQ = ∠ONM. 图痕迹?不要求证明) 请写出你的画图步骤?并在答题卡上完成相应的画图过程. ( 画出一个即可? 保留画

27 . 已知一次函数 y1 = kx + b( k ≠ 0) 的图象经过(2?0)?(4?1) 两点? 二次函数 y2 = x2 - 2ax + 4 ( 其中 a > 2) . (1) 求一次函数的表达式及二次函数图象的顶点坐标( 用含 a 的代数式表示) ? (2) 利用函数图象解决下列问题: ①若a = 5 ?求当 y1 > 0 且 y2 ≤ 0 时?自变量 x 的取值范围? 2

五、解答题( 本题共 22 分?第 27 题 7 分?第 28 题 7 分?第 29 题 8 分)

② 如果满足 y1 > 0 且 y2 ≤ 0 时的自变量 x 的取值范围内恰有一个整数?直接写出 a 的取 值范围.

初三二模  数学试卷  第 5 页( 共 6 页)

28 . 正方形 ABCD 的边长为 3 . 点 E ?F 分别在射线 DC ?DA 上运动?且 DE = DF. 连接 BF ?作 EH ⊥ BF 所在直线于点 H?连接 CH. (1) 如图 1?若点 E 是 DC 的中点?CH 与 AB 之间的数量关系是 若不成立?说明理由? ?

(2) 如图 2?当点 E 在 DC 边上且不是 DC 的中点时?(1) 中的结论是否成立?若成立给出证明? (3) 如图 3?若点 E ?F 分别在射线 DC ?DA 上运动时?连接 DH?过点 D 作直线 DH 的垂线?交直线 BF 于点 K ?连接 CK ?请直接写出线段 CK 长的最大值.

29 . 对于平面直角坐标系 xOy 中的点 P 和图形 G?给出如下定义:在图形 G 上若存在两点 M?N?使 △PMN 为正三角形?则称图形 G 为点 P 的 τ 型线?点 P 为图形 G 的 τ 型点?△PMN 为图形 G 关 于点 P 的 τ 型三角形. ☉O 的 τ 型点是 (1) 如图 1?已知点 A(0? - 3 ) ?B (3?0) ?以原点 O 为圆心的 ☉O 的半径为 1 . 在 A?B 两点中? (2) 如图 2?已知点 E (0?2) ?点 F ( m?0) ( 其中 m > 0) . 若线段 EF 为原点 O 的 τ 型线?且线段 4 3 EF 关于原点 O 的 τ 型三角形的面积为 ?求 m 的值? 9 ?画出并回答 ☉O 关于该 τ 型点的 τ 型三角形?( 画出一个即可)

(3) 若 H(0? - 2) 是抛物线 y = x2 + n 的 τ 型点?直接写出 n 的取值范围.

初三二模  数学试卷  第 6 页( 共 6 页)

北京市西城区 2015 年初三二模

数学试卷参考答案及评分标准
一、选择题( 本题共 30 分?每小题 3 分) 题号 答案 C 1 B 2 D 3 4 5 6 7 8 9

2015 . 6
10 A

二、填空题( 本题共 18 分?每小题 3 分) 11 12 8 13 3 14



B 15







C 16 y = 2 x 3

-3

y = x2 - 2 x + 1 ( 答案不唯一)

不同意

x 的取值范围是 - 1 < x < 0 或 x > 1( 或其他正确结论)

y =

14 x 15

17 . 证明:如图 1 .

三、解答题( 本题共 30 分?每小题 5 分) ∵ △ABC 是等边三角形? ∴ AC = BC ?∠ACB = ∠ABC = 60 °. …………………… 1 分 ∵ D?E 两点分别在 AB ?BC 的延长线上? ∴ ∠ACE = ∠CBD = 120 °. 在 △ACE 和 △CBD 中? AC = CB ? ……………………………… 2 分

{

∠ACE = ∠CBD? …………………………………………… 3 分 CE = BD?

∴ △ACE ≌ △CBD. …………………………………………………………………… 4 分 18 . 解: 2cos30° + = 2 × ∴ ∠E = ∠D.

图1

19 . 解: ( x + 2) ( x - 2) - (2 x - 1) ( x - 2) = x2 - 4 - 2 x2 + 5 x - 2 ∵ x - 5 x - 4 = 0?


= 2 3 + 1.

3 + 3 + 3 - 1 - 1 ……………………………………………………………… 4 分 2 ……………………………………………………………………………… 5 分

(1 ) 3

-1

+ 1 - 3 - (3 - π) 0

………………………………………………………………………… 5 分

= x2 - 4 - (2 x2 - 5 x + 2) ……………………………………………………………… 2 分 = - x2 + 5 x - 6 . ………………………………………………………………………… 3 分

∴ x2 - 5 x = 4 . …………………………………………………………………………… 4 分 ∴ 原式 = - ( x2 - 5 x) - 6 = - 4 - 6 = - 10 . ………………………………………… 5 分 初三二模  数学试卷参考答案及评分标准  第 1 页( 共 6 页)

20 . 解:去分母?得 3 x - ( x - 3) = 2 . …………………………………………………………… 1 分 去括号?得 3 x - x + 3 = 2 . …………………………………………………………………… 2 分 整理?得 2 x = - 1 . ……………………………………………………………………………… 3 分 解得 x = - 1 . ………………………………………………………………………………… 4 分 2 1 是原方程的解. 2 1 . 2 …………………………………………………………… 5 分

经检验?x = -

所以原方程的解是 x = -

21 . 解:设牙膏每盒 x 元?牙刷每支 y 元. ………………………………………………………… 1 分 由题意?得 解得 8? ……………………………………………………………………………… 3 分 { xy = = 5. …………………………………………………………………… 5 分 x + 13 y = 121? …………………………………………………………… 2 分 {7 14 x + 15 y = 187 .

22 . 解:(1) 当 m = 0 时?该函数为一次函数 y = - 3 x - 3?它的图象与 x 轴有公共点. ……… 1 分 当 m ≠ 0 时?二次函数 y = mx2 + ( m - 3) x - 3 . ∴ 方程 mx2 + ( m - 3) x - 3 = 0 有两个实数根. (2) ∵ m > 0? x = Δ = ( m - 3) 2 - 4 m × ( - 3) = m2 - 6 m + 9 + 12 m = m2 + 6 m + 9 = ( m + 3) 2 . ∵ 无论 m 取何实数?总有( m + 3) 2 ≥ 0?即 Δ ≥ 0? ∴ 此时函数 y = mx2 + ( m - 3) x - 3 的图象与 x 轴有公共点. ………………… 2 分 综上所述?无论 m 取何实数?该函数的图象与 x 轴总有公共点. ∴ 该函数为二次函数?它的图象与 x 轴的公共点的横坐标为 - ( m - 3) ± ( m + 3) . 2m 3 . ………………………………………………………………… 3 分 m

答:第三天卖出牙膏 8 盒.

(124 - 12 × 5) = 8( 盒) . ………………………………………………………………… 4 分 8

∴ x1 = - 1?x2 =

∵ 此抛物线与 x 轴公共点的横坐标为整数? 23 . (1) 证明:如图 2 . 四、解答题( 本题共 20 分?每小题 5 分) ∴ ∠1 = ∠2?AE = EC. ∴ AD ∥ BC. ∴ ∠3 = ∠2 .

∴ 正整数 m = 1 或 3 . ……………………………………………………………… 5 分

∵ 点 C 与点 A 重合?折痕为 EF ? ∵ 四边形 ABCD 为平行四边形? 图2

初三二模  数学试卷参考答案及评分标准  第 2 页( 共 6 页)

∴ ∠1 = ∠3 . ∴ AF = EC.

∴ AE = AF. ……………………………………………………………………………… 1 分 又 ∵ AF ∥ EC ? 又 AE = AF ? ∴ 四边形 AFCE 是平行四边形. ………………………………………………………… 2 分 (2) 解:如图 3?作 AG ⊥ BE 于点 G ?则 ∠AGB = ∠AGE = 90 °. ∵ 点 D 的落点为点 D′ ?折痕为 EF ? ∵ 四边形 ABCD 为平行四边形? ∴ AD = BC. 又 ∵ AF = EC ? ∴ 四边形 AFCE 为菱形. ………………………………………………………………… 3 分 ∴ D′F = DF. …………………………………………… 4 分

∴ AD - AF = BC - EC ?即 DF = BE. ∴ AG = GB = 6 . ∴ AE ∥ FC.

图3

∵ 在 Rt△AGB 中?∠AGB = 90 ° ?∠B = 45 ° ?AB = 6 2 ? ∵ 四边形 AFCE 为平行四边形? ∴ ∠4 = ∠5 = 60 °. ∴ GE = ∵ 在 Rt△AGE 中?∠AGE = 90 ° ?∠4 = 60 ° ? ∴ BE = BG + GE = 6 + 2 3 . AG = 2 3. tan60 °

24 . 解:(1) ③④. ………………………… 2 分 (2) 补全统计图见图 4 . ………… 3 分 (3)1 . 3 % . 1055 万人. ……………………… 5 分 ………………… 4 分 图4

∴ D′F = 6 + 2 3 . …………… 5 分

25 . 解:(1) 补全图形如图 5 所示. ……… 1 分 答:PG 与 ☉O 相切. ∵ PF = PG ? ∴ ∠1 = ∠2 . 证明:如图 6?连接 OG . 又 ∵ OG = OA? ∴ ∠3 = ∠A. ∵ CD ⊥ AB 于点 E ? 又 ∵ ∠2 = ∠AFE ? ∴ ∠A + ∠AFE = 90 °.

图5

初三二模  数学试卷参考答案及评分标准  第 3 页( 共 6 页)

∴ ∠3 + ∠1 = 90 °. ………………………………………… 2 分 即 OG ⊥ PG. ∵ OG 为 ☉O 的半径? (2) 解:如图 7?连接 CG. ∴ ∠OEC = 90 °. ∵ DG ∥ AB ? ∴ PG 与 ☉O 相切. ∵ CD ⊥ AB 于点 E ? ∴ ∠GDC = ∠OEC = 90 °. ∴ CG 为 ☉O 的直径. ∴ OE = OA OC = . 2 2 ∵ E 为半径 OA 的中点? ∴ ∠OCE = 30 ° 即 ∠GCP = 30 °. ∴ PG = CG tan∠GCP = 4 3 × 26 . 解:(1) CAD? 3 ?BC. 图7 ………………………………………… 3 分 图6

∵ ∠GDC 是 ☉O 的圆周角?

又 ∵ ∠CGP = 90 ° ?CG = 2 OA = 4 3 ?

(2) 方法 1:如图 8?以点 N 为圆心?ON 为半径作圆?交直线 l 于点 P1 ?P2 ?则点 P1 ?P2 为符合 题意的点. ……………………………………………………………………………… 5 分 方法 2:如图 9?过点 N 画 NO 的垂线 m1 ?画 NQ 的垂直平分线 m2 ?直线 m1 与 m2 交于点 R ?以点 R 为圆心?RN 为半径作圆?交直线 l 于点 P1 ?P2 ?则点 P1 ?P2 为符合题意的点. ……………………………………………………………………………………… 5 分

1 . …………………………………………………………………………………… 4 分 tanα

………………………………………………………………………… 3 分

3 = 4 . ………………………………………… 5 分 3

图8 五、解答题( 本题共 22 分?第 27 题 7 分?第 28 题 7 分?第 29 题 8 分) ∴ k + b = 0? {2 4k + b = 1.

图9

27 . 解:(1) ∵ 一次函数 y1 = kx + b( k ≠ 0) 的图象经过(2?0) ?(4?1) 两点?

初三二模  数学试卷参考答案及评分标准  第 4 页( 共 6 页)

解得

{

k =

∴ y1 =

b = - 1.

1 ? 2 ………………………………………………………………………… 1 分

∵ y2 = x2 - 2 ax + 4 = ( x - a) 2 + 4 - a2 ? (2) ① 当 a = ∴ 二次函数图象的顶点坐标为( a?4 - a2 ) .

1 x - 1 . ……………………………………………………………………… 2 分 2 ……………………………………… 3 分

如图 10?因为 y1 > 0 且 y2 ≤ 0?由图象得 2 < x ≤ 4 .

5 时?y2 = x2 - 5 x + 4 . ………………………………………………… 4 分 2

28 . 解:(1) CH = AB.



…………………………………………………… 6 分 13 5 ≤ a < . ………………………………… 7 分 6 2 ……………………………………… 1 分 ……………………………………… 2 分 图 10

(2) 结论成立.

证明:如图 11?连接 BE. 在正方形 ABCD 中? ∵ DE = DF ? ∴ AF = CE. AB = CB ? AF = CE ?

AB = BC = CD = AD?∠A = ∠BCD = ∠ABC = 90 °. 在 △ABF 和 △CBE 中?

{

∠A = ∠BCE ? …………………………………………… 3 分

∴ △ABF ≌ △CBE. ∴ ∠1 = ∠2 . ∴ ∠3 = ∠2 . ∴ ∠3 = ∠1 .

∵ EH ⊥ BF ?∠BCE = 90 ° ?

∴ H?C 两点都在以 BE 为直径的圆上. ∵ ∠3 + ∠4 = 90 ° ?∠1 + ∠HBC = 90 ° ? ∴ ∠4 = ∠HBC.

图 11

∴ CH = CB. ………………………………………………………………………… 5 分 (3)3 2 + 3 . ∴ CH = AB. ………………………………………………………………………… 6 分 ……………………………………………………………………………… 7 分

29 . 解:(1) 点 A. …………………………………………………………………………………… 1 分 画图见图 12 . ( 画出一个即可) ……………………………………………………… 2 分 △AMN( 或 △AJK ) …………………………………………………………………… 3 分 初三二模  数学试卷参考答案及评分标准  第 5 页( 共 6 页) (2) 如图 13?作 OL ⊥ EF 于点 L.

∵ 线段 EF 为点 O 的 τ 型线?

∴ OL 即为线段 EF 关于点 O 的 τ 型三角形的高.

4 3 ∵ 线段 EF 关于点 O 的 τ 型三角形的面积为 ? 9 ∴ OL = ∴ EL = ∵ OE = 2?OF = m?

2 3 . ………………………………………………………………………… 4 分 3 OE2 - OL2 = EL 6 = . OE 3 ?2 3 ÷ ? 22 - ? è 3 ?




2 6 . 3

∴ cos∠1 = ∴ OF = (3) n ≤ -

∴ m = 2 . …………………………………………………………………………… 6 分 5 . ……………………………………………………………………………… 8 分 4

OL OL = = 2. cos∠2 cos∠1

      图 12

      图 13

初三二模  数学试卷参考答案及评分标准  第 6 页( 共 6 页)


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