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7.1.2平面向量的线性运算


一、平面向量的加法

创 设 情 境 兴 趣 导 入

王静同学从家中(A处)出发,向正南方向行走500 m到 达超市(B处),买了文具后,又沿着北偏东60°角方向行 走200 m到达学校(C处)(如 图).王静同学这两次位移的 总效果是从家(A处)到达了学 校(C处).
500m C 200m A

B

???? ???? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 位移 AC 叫做位移 AB 与位移 BC 的和,记作 AC ? AB ? BC.

1、向量加法的三角形法则

(1)图示:
动 脑 思 考 探 索 新 知
a

首尾相接,结果为“首尾”
B b a A b a+ b C

一般地,设向量 a 与向量 b 不共线,在平面上任取一点A

??? ? ??? ? ???? BC ? b,则向量 AC 叫做向量 a 与向量 b 的和, 依次作 AB ? a,
记作a+b 。

求向量的和的运算叫做向量的加法. 上述求向量的和的方法 叫做向量加法的三角形法则.

例题1、如图,已知向量 a 与向量 b ,求作: a+b
a b B b a+ b C

作法: 1、在平面内任取一点A; ??? ? ??? ? BC ? b, 2、作 AB ? a,

A

a

???? 3、则 AC = a+ b
试一试:教材P29页第1、2题

根据教材P29页第2题的图示,请画图验证下列式子是否成立?

可以验证,向量的加法具有以下的性质:

(1) a ?b ? b ?a

(2) (a ? b ) ? c ? a ? (b ? c ) (3) a ? 0 ? a (4) a ? (?a ) ? 0

如果向量 a 和向量 b 共线,如何画出它们的和向量?

归纳:三角形法则适用于两向量的任意位置关系

(2)算式: 字母相连,结果为“首尾”
探究:看图填空

AB ? BC ? AD ? DC ?

BD ? DC ?

A O

D

BD ? DB ?

B

C

试一试:(1)求下列各和向量:

OA ? AB ? BC ?

BA ? OC ? CB ?
(2)教材P29页第3题、第32页第2题

2、向量加法的平行四边形法则

特点:两向量与和向量共起点
A 如图所示,ABCD为平行四边形,由于
???? ??? ? AD ? BC, 根据三角形法则得

D B

C

??? ? ???? ??? ? ??? ? ???? AB ? AD ? AB ? BC ? AC.
???? ??? ? 这说明,在平行四边形ABCD中, AC 所表示的向量就是AB 与

???? AD 的和.这种求和方法叫做向量加法的平行四边形法则.

平行四边形法则不适用于共线向量。

例2 一艘船以12 km/h的速度航行,方向垂直于河岸,已知水流 速度为5 km/h,求该船的实际航行速度.

???? ??? ? AB 解 如图所示, 表示船速,AC 为水流

巩 固 知 识 典 型 例 题

速度,由向量加法的平行四边形法则,
???? AD 是船的实际航行速度,显然

D

B

???? AD ?

??? ? 2 ???? 2 AB ? AC

? 122 ? 52

=13.
tan ?CAD ? 12 5

C

A

利用计算器求得 ?CAD ? 67?23? 即船的实际航行速度大小是13km/h,其方向与河岸线的夹角约67?23?.

判断在单杠上悬挂身体时, 两臂成什么角度时, 双臂受力最小?
解 利用平行四边形法则,可以得到

f1 ? f2 ? 2 f1 cos? ? k , k 所以 f1 ? .(0? ? 2 cos ?

?<90?)
k
2
?

当? ? 0?时 cos 0? ? 1, f1 ?
当? ? 45 ?时 cos 45 ? ? 2 , f1 2

k
2
f2 f1

1 当? ? 60?时 cos 60? ? , f1 ? k 2

k





? 当a,b不共线时,a+b的方向与a、b都不同向,且 |a+b|<|a|+|b|. ? 当a与b共线时, 若a与b同向,则a+b的方向与a、b同向,且 |a+b|=|a|+|b|. 若a与b反向, 当|a|>|b|时,a+b的方向与a相同,且|a+b|=|a|-|b|; 当|a|<|b|时,a+b的方向与b相同,且|a+b|=|b|-|a|.

减去一个数等于加上这个数的相反数,向量
的减法是否也有类似的法则?

二、平面向量的减法

(1)算式: 起点相同,结果为“尾尾” 动 脑 思 考 探 索 新 知
与数的运算相类似,可以将向量 a 与向量 b 的负向量的和定义 为向量 a 与向量 b 的差.即 a- b = a+(- b)

设 a ? OA , b

??? ?

??? ? ? OB ,则

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? OA ? OB ? OA ? (?OB)= OA ? BO ? BO ? OA ? BA .



??? ? ??? ? ??? ? OA ? OB ? BA .

(7.2)

试一试::教材第30页练习7.1.3第1、2题。

(2)图示: 共起点,连终点
例4 已知如图所示向量a 、b ,请画出向量a ? b.

a
b

解 如图所示,以平面上任一点O
??? ? ??? ? 为起点,作 OA =a,OB =b,连接BA,

??? ? 则向量 BA 为所求,即

O a A

b

B

??? ? BA = a ? b .

观察图可以得到:起点相同的 两个向量 a , b 其差 a- b仍然是一

个向量,其起点是减向量 b 的终点, 终点是被减向量 a 思考:当a,b共线时,如何画出a-b? 试一试::练习册第22页第3题;第24页第3题。 的终点.

复习1:向量的加法
如图,已知向量a和向量b,作向量a+b.

1.向量加法三角形法则: b
a

o.
a+b A B

特点:首尾顺次连,起点 指终点 b a
O. B

a+b
A C

2.向量加法平行四边形法则: 特点:起点相同,对角为和
15

复习2:向量的减法
如图,已知向量a和向量b,作向量a-b.

b

a

b

a

o.
a-b A

B

向量减法三角形法则: 特点:平移同起点,方向指被减
16

探究新知:
? ? ? ? 已知非零向量 a ,作出 a ? a ? a ,你能发现什么 ? a ? ? ? ? ? ? ? 3a与 a 方向相同 a a a ? ? O 3a 且 3a A C B ?3a
? ? ? (?a) ? (?a) ? (?a) 类比上述结论,

? ?a

? ?a

? ?a

N

M

Q

P

? ?3a

又如何呢? ? ? 方向相反 ?3a 与 a ? ? 且 ?3a ? 3 a
17

一、向量数乘:
? 一般地,我们规定实数λ 与向量 a 的积是一个向量, ? 这种运算叫做向量的数乘,记作? a ,它的长度和方向
规定如下:

? ? (1) | ? a |?| ? || a |; ? a 的方向与 (2)当 ? ? 0时,?? ? a 的方向与 当? ? 0时,

a 的方向相反。 ? ? 特别的,当 ? ? 0 时, ? a ? 0.
18

? 的方向相同; a ?

(1) 根据定义,求作向量3(2a)和(6a) (a为非零向量),并进行比较。 (2) 已知向量 a,b,求作向量2(a+b)和2a+2b, 并进行比较。 ? ? 探 a

3(2a )

究 新 知

? b ? a

? ? 3(2a ) = 6 a
? ? a ?b

? ? 2a ? 2b

? ? ? ? 2(a ? b ) ? 2a ? 2b

? 2b
19

? 2a

二、向量的数乘运算运算律:

?,?是实数,

(1)( ? ? a ) ? ( ?? )a;

?

?

(2)( ? ? ? )a ? ? a ? ? a; (3)? ( a ? b ) ? ? a ? ? b .
? ? 特别地:(? ?) a ? ? ?a ? ? ? ? ? a ? b ? ? a ? ?b

?

?

?

?

?

?

?

?

?

? ?

向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算 20

例1、化简下列各式

? ? (1)(?3) ? 4a ? ?12a ? ? ? ? ? ? (2)3(a ? b ) ? 2(a ? b ) ? a ? 5b

? ? ? ? ? ? (3)(2a ? 3b ? c ) ? (3a ? 2b ? c )
? ? ? ? ?a ? 5b ? 2c

提示:向量式的化简要依照性质进行,可考虑首 先去括号再将共线的向量进行合并。 试一试:教材P31页练习7.1.4第1题

三、向量的线性组合及线性表示:
例2, 在平行四边形ABCD中,点O为两对角线的交点, ??? ? ? ???? ? ? ? ???? ??? ? ???? ???? AB= a, AD ? b, 试用a, b表示向量 AC , BD, AO, OD.
???? ??? ? ???? ??? ? ??? ? ???? 解: AC ? AB ? AD ? a ? b, DB ? AB ? AD ? a ? b, ???? 1 ???? 1 1 1 MA ? ? AC ? ? ? a ? b ? ? ? a ? b, 2 2 2 2 ???? 1 ???? 1 1 MB ? AC ? a ? b, 2 2 2 ???? ? ???? ? 1 ??? 1 1 MD ? ? MB ? ? DB ? ? a ? b. 2 2 2

? ? ? ? 一般地,? a ? ? b叫做a, b的一个线性组合, ? ? ? ? ? ? 如果l ? ? a ? ? b, 则称l可以用a, b线性表示。

试一试:教材P32页习题7.1. 第5题

探究新知:
思考: (1)若b ? ? a(a ? 0),则a, b位置关系如何 ?

? ? b // a
成立

(2)若b // a(a ? 0),则b ? ? a是否成立?

四、向量共线的充要条件:
? ? 非零向量a与b, 当? ? 0时,有

? ? a ?b

? ? b ? ?a

24


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