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汕头市2013届高三模拟考试数学(文科)


汕头市 2013 届高三模拟考试 数学(文科)
一.选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的, 请将答案填在答题卷上。) 1.已知全集 U ? R ,集合 A ? x | ? 2 ≤ x≤ 3 , B ? ?x | x ? ?1或x ? 4? ,那么集合

?

?

A ? (CU B) 等于(
A. x | ?2 ≤ x ? 4



?

? ?

B. x | x ≤ 3或x ≥ 4 D. x | ?1 ≤ x ≤ 3 )

?

?

C. x | ?2 ≤ x ? ?1

?

?

?

2.若 sin ? ? 0 且 tan ? ? 0 是,则 ? 是( A.第一象限角 B.第二象限角

C.第三象限角

D.第四象限角

3.在复平面内,若 z ? m2 (1 ? i) ? m(4 ? i) ? 6i 所对应的点在第二象限,则实数 m 的取值 范围是( A. 0,3? ) B. ??, ?2?

?

?

C. ?2,0 ?

?

D. 3, 4 ? )

?

4.若等差数列 {an } 的前 5 项和 S5 ? 25 ,且 a2 ? 3 ,则 a7 ? ( A.12 B.13 C.14 D.15

5.给出下列四个函数:① f ( x) ? x ? 1 ,② f ( x) ? 在 (0, ??) 是增函数的有( A.0 个 B.1 个 ) C.2 个

1 2 ,③ f ( x) ? x ,④ f ( x) ? sin x ,其中 x

D.3 个

? y ≥ x, ? 6.设变量 x, y 满足约束条件: ? x ? 2 y ≤ 2, ,则 z ? x ? 3 y 的最小值( ? x ≥ ?2. ?
A. ?2 B. ?4 C. ?6 D. ?8



7.右图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该 几何体的表面积是( A.9π C.11π ) B.10π D.12π

8.甲校有 3600 名学生,乙校有 5400 名学生,丙校有 1800 名学生,为统计三校学生某方 面的情况,计划采用分层抽样法,抽取一个样本容量为 90 人的样本,应在这三校分别 抽取学生( )
1

A.30 人,30 人,30 人 C.20 人,30 人,40 人

B.30 人,45 人,15 人 D.30 人,50 人,10 人 )

9. 设直线过点(0,a),其斜率为 1, 且与圆 x2+y2=2 相切,则 a 的值为( A.± 2 B.± 2 C.± 2 2 D.± 4

1 x2 y 2 10 设椭圆 2 ? 2 ? 1(m ? 0,n ? 0) 的右焦点与抛物线 y 2 ? 8x 的焦点相同, 离心率为 , 2 m n
则此椭圆的方程为( )

A.

x2 y 2 ? ?1 12 16

B.

x2 y 2 ? ?1 16 12

C.

x2 y 2 ? ?1 48 64

D.

x2 y 2 ? ?1 64 48

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,满分 20 分.其中 14~15 题是选做题,考生 只需选做其中一题,两题全答的,只以第一小题计分. ) 11. 设平面向量 a ? ? 3,5? , b ? ? ?2,1? ,则 a ? 2b ? 12. 曲线 y ? x3 ? 2x ? 4 在点 (1 3) 处的切线的倾斜角为 , 13. 执行右边的程序框图,若 p ? 4 ,则输出的 S ?

?

?

?

?

. . .

开始 输入 p

n ? 0, S ? 0

★ (请考生在以下二个小题中任选一题作答,全答的以第一小题 计分)

n? p




14. 已知直线 l : x ? y ? 4 ? 0 与圆 C :

? xy?11?2cos?? ? ?2sin

n ? n ?1


输出 S 结束

S?S?

1 2n

则 C 上各点到 l 的距离的最小值为_______. 15.如图,△ABC 中, DE∥BC, DF∥AC,AE:AC=3:5,DE=6,则 BF=_______. 三.解答题(本大题共有 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过 程和演算步骤.) 16. (本小题满分 12 分) 口袋中有质地、大小完全相同的 5 个球,编号分别为 1,2,3,4,5,甲、乙两人玩一 种游戏: 甲先摸出一个球,记下编号,放回后乙再摸一个球,记下编号, 如果两个编号的和 为偶数算甲赢, 否则算乙赢. ⑴、甲、乙按以上规则各摸一个球,求事件“甲赢且编号的和为6”发生的概率; ⑵、这种游戏规则公平吗?试说明理由.

2

17.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2cos2 x ? 2sin x cos x ?1 . (Ⅰ )求函数 f ( x ) 的最小正周期; (Ⅱ )当 x ? [ ?

? ?

, ] 时,求函数 f (x) 的最大值,并指出此时 x 的值. 4 4

18. (本小题满分 14 分) 如图, 在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AC ? 3 ,

AB ? 5 , BC ? 4 ,点 D 是 AB 的中点,
⑴、求证: AC ? BC1 ; ⑵、求证: AC1 / / 平面CDB1 .

19.(本小题满分 14 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆心在第二象限、半径为 2 2 的圆 C1 与直线 y ? x 相切于 坐标原点O.椭圆

x2 y 2 ? ? 1 与圆 C1 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10. a2 9

(Ⅰ)求圆 C1 的方程;

3

(Ⅱ)记圆 C2 是以椭圆的右焦点 F 为圆心,线段 OF 的长为半径,试判断圆 C1 与圆 C2 交点 的个数,若有交点,请求出交点坐标.

20. (本题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ?

1 3 ax ? a 2 x 2 ? a 4 (a ? 0) 3

(Ⅰ)求函数 y ? f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)若函数 y ? f ( x) 的图像与直线 y ? 1 恰有三个交点,求 a 的取值范围.

21.(本小题满分 14 分) 在数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , an?1 ? 2an ? 2n . (Ⅰ)设 bn ?

an .证明:数列 ?bn ? 是等差数列; 2 n ?1

(Ⅱ)求数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ; (Ⅲ)证明存在 k ? N ,使得
?

an?1 ak ?1 ? ? 对任意 n ? N 均成立. an ak

4

参考答案
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分. 1 D 2 C 3 D 4 B 5 C 6 D 7 D 8 B 9 B 10 B

二、填空题: 本大题共 5 小题,考生做答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分, 11、 ? 7,3? 12、45° 13、

15 16

14、

2 2? 2

15、4

三、解答题:本大题共有 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 解: ⑴、设“甲胜且两数字之和为6”为事件A,事件A包含的基本事件为(1,5),(2,4) (3, 3),(4,2),(5,1),共5个. ………………………………………………2分

又甲、乙二人取出的数字共有5×5= 25( 个 ) 等 可 能 的 结 果 , ………………………4分 所以 P( A) ?

5 1 ? . 25 5

………………………………………………………………………5分

1 答:编号的和为6的概率为 . ………………………………………………………………6分 5
⑵、这种游戏规则不公平. …………………………………………………………8分

设“甲胜”为事件B,“乙胜”为事件C, …………………………………………………9分 则甲胜即两数字之和为偶数所包含的基本事件数为13个: (1, 1), (1, 3), (1, 5), (2, 2), (2, 4), (3, 1), (3, 3), (3, 5), (4, , 2) (4, 4), (5, , 1) (5,3), (5,5). 所以甲胜的概率P(B)=

13 13 12 ,从而乙胜的概率P(C)=1- = . ………11分 25 25 25

由于 P(B)≠P(C),所以这种游戏规则不公平. ……………………………………12 分 17.(本小题满分 12 分) 解: ) f ( x) ? 2cos x ? 2sin x cos x ?1 (Ⅰ
2

= cos 2 x ? sin 2 x = 2 (

∴ f (x) 的最小正周期 T ? ? . (Ⅱ )∵ ? ∴?

? 2 2 ? cos 2 x ? ? sin 2 x) = 2 sin( 2 x ? ) 4 2 2

……4 分

…………………………6 分

?
4

?x?

?
4

? 2x ?

? , 4 ? 3?
4 ? 4



…………9 分

5

∴ 2x ? 当

?
4

?

?
2

,即 x =

? 时, f (x) 有最大值 2 . 8

…………12 分

18.(本题满分 14 分) 证明:⑴ 、在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 ,∵ 底面三边长 AC ? 3 , AB ? 5 , BC ? 4 , ∴ AC ? BC , ……………………………………………………………………………2 分 又直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AC ? CC1 , 且 BC ? CC1 ? C , BC,CC1 ? 平面BCC1B1 ∴ AC ? 平面BCC1B1 ………………………4 分 ……6 分
C B D A1 E C1 B
1

而 BC1 ? 平面BCC1B1 ,∴AC ? BC1 ;

⑵ 、设 CB1 与 C1B 的交点为 E ,连结 DE ,…………8 分 ∵ D 是 AB 的中点, E 是 BC1 的中点,∴ DE / / AC1 ,

A

………………………10 分 ……………14 分

∵ DE ? 平面CDB1 , AC1 ? 平面CDB1 ,∴ AC1 / / 平面CDB1 .

19.(本小题满分 14 分) 解: (1)设圆 C1 的方程为 ( x ? s) ? ( y ? t ) ? 8
2
2 2 依题意 s ? t ? 8 ,

………………………1分 …………4分 …………………6分

| s ?t | ? 2 2 , s ? 0, t ? 0 2 解得 s ? ?2, t ? 2 ,故所求圆的方程为 ( x ? 2) ? ( y ? 2)2 ? 8
(2)由椭圆的第一定义可得 2a ? 10 ? a ? 5 ,故椭圆方程为 焦点 F (4, 0) 设 OF ? 4 ,依题意得圆 C2 的方程为 ( x ? 4)2 ? y 2 ? 16 ,

x2 y 2 ? ?1, 25 9
……………8分 ……10分 …………11分

两个圆的圆心距为 C1C2 ? 2 10 , r ? r2 ? 2 2 ? 4, r2 ? r ? 4? 2 2, 1 1

r2 ? r1 ? C1 C2 ? r1? ,故两圆相交,有两个交点,…………12分 r2
?( x ? 2) ? ( y ? 2)2 ? 8 4 12 ? 联立方程组可得 ? ,解得两个交点坐标 O (0, 0) Q( , ) ……14分 2 2 5 5 ?( x ? 4) ? y ? 16 ?
20. (本题满分 14 分) 解: (1)因为 f ?( x) ? ax ? 2a x ? ax( x ? 2a)
2 2

令 f ?( x) ? 0 得 x1 ? 0, x2 ? 2a

………………………2 分 ……………4 分

由 a ? 0 时, f ?( x ) 在 f ?( x) ? 0 根的左右的符号如下表所示
6

x f ?( x ) f ( x)

(??, 0) ?
递增

0 0
极大值

(0, 2a) ?
递减

2a 0
极小值

(2a, ??) ?
递增

所以 f ( x ) 的递增区间为 (??,0)与(2a, ??) ; f ( x ) 的递减区间为 (0,2a) …………6 分 (2)由(1)得到

1 f ( x)极小值 ? f (2a ) ? ? a 4 ? 0 , f ( x)极大值 ? f (0) ? a4 ? 0 ………………………9 分 3 4 要使 f ( x ) 的图像与直线 y ? 1 恰有三个交点,只要 a ? 1 , …………………13 分 即 a ? 1. …………………………14 分

21.(本小题满分 14 分) 解: (1) an?1 ? 2an ? 2n ,

an ?1 a ? nn 1 ? 1 , n 2 2?
………………………4 分

bn?1 ? bn ? 1 ,则 {bn } 为等差数列。
(2)因为 {bn } 为等差数列, b1 ? 1 , d ? 1 所以 bn ? n , an ? n2n?1 .

………………………6 分

Sn ? 1? 20 ? 2 ? 21 ? ?? (n ?1) ? 2n?2 ? n ? 2n?1 2Sn ? 1? 21 ? 2 ? 22 ? ?? (n ?1) ? 2n?1 ? n ? 2n
两式相减,得

Sn ? n ? 2n ?1? 20 ? 21 ? ?2n?1 ? n ? 2n ? 2n ? 1.
(3)证明:?

………………………10 分 ………12 分

an?1 (n ? 1) ? 2n 2(n ? 1) 2 ? ? ? 2 ? 是单调递减的, n ?1 an n?2 n n

因此,存在 k ? 1 ,使得

an ?1 a a ≤ k ?1 ? 2 对任意 n ? N * 均成立 ………………14 分 an ak a1

7


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