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第3篇 第5讲 两角和与差的正弦、余弦和正切


第5讲 两角和与差的正弦、余弦和正切
[最新考纲]

1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.
2 .能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦 、正切公 式. 3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正 切公式,导出二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们

的内在联系.

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r />
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知识梳理 1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin αcos β±cos αsin β sin(α±β)=_________________________. cos αcos β±sin αsin β cos(α?β)=_________________________.

tan α± tan β 1?tan αtan β tan(α±β)=____________________.

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2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 2sin αcos α sin 2α=______________. 2cos2α-1 = ___________. 1-2sin2α cos 2α= ______________ cos2α-sin2α = ___________

2tan α 2 1 - tan α tan 2α= ______________.

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3.有关公式的逆用、变形等

tan(α±β)(1?tan αtan β) (1)tan α± tan β=_________________________ .
1-cos 2α 1+cos 2α 2 (2)cos2α=__________ ,sin2α=__________. 2

(3)1+sin 2α=(sin α+cos α)2, 1-sin 2α=(sin α-cos α)2, sin α± cos α=
? π? ?. 2sin?α± ? 4?

4. 函数 f(α)=asin α+bcos α(a, b 为常数), 可以化为 f(α)= a2+b2 b sin(α+φ),其中 tan φ= . a
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辨 析 感 悟 1.对两角和与差的三角函数公式的理解 (1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角 α,β 是任意的. ( √ ) (2)存在实数 α,β,使等式 cos(α+β)=cos α+cos β. ( √ ) (3)(教材练习改编)cos 80° cos 20° -sin 80° sin 20° = 1 cos(80° -20° )=cos 60° =2.
?π ? 1-tan θ (4)(教材习题改编) =tan?4+θ?. 1+tan θ ? ?

(× ) (× )

(5)(2014· 湘潭月考改编)设 tan α, tan β 是方程 x2-3x+2=0 的 两根,则 tan(α+β)=-3.
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( √)
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2.对二倍角公式的理解 (6)cos θ=2cos 2-1=1-2sin 2.
2θ 2θ

( √)

α 3 1 (7)(2013· 江西卷改编)若 sin 2= 3 ,则 cos α=-3. ( × ) (8)y=sin 2xcos 2x 的最大值为 1. ( ×)
? π? 2 2 (9)(2013· 新课标全国Ⅱ卷改编)已知 sin 2α=3, 则 cos ?α+4?= ? ?

1 6.

( √ )

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[感悟·提升]

一个防范 运用公式时要注意审查公式成立的条件,要注
意和差、倍角的相对性,要注意升幂、降幂的灵活运用.

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考点一 三角函数式的化简、求值问题 sin 47° -sin 17° cos 30° 【例 1】 (1)(2012· 重庆卷) = cos 17° 3 A.- 2 1 C.2 1 B.-2 3 D. 2 ( ).

cos2α-sin2α (2) ?π ? ?π ?=________. 2tan?4-α?cos2?4-α? ? ? ? ?

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sin 47° -sin 17° cos 30° 解析 (1) cos 17° sin?30° +17° ?-sin 17° cos 30° = cos 17° sin 30° cos 17° +cos 30° sin 17° -sin 17° cos 30° = cos 17° sin 30° cos 17° 1 = =sin 30° = . cos 17° 2

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cos2α-sin2α (2)原式= ?π ? 2sin?4-α? ? ? ? ? 2 π cos ?4-α? ?π ?· ? ? ? ? cos 4-α ? ? cos2α-sin2α = ?π ? ?π ? 2sin?4-α?cos?4-α? ? ? ? ? cos 2α cos 2α = ? ?=cos 2α=1. π sin?2-2α? ? ?
答案 (1)C (2)1

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规律方法

(1)技巧:①寻求角与角之间的关系,化非特殊

角为特殊角;

②正确灵活地运用公式,通过三角变换消去或约去一些非
特殊角的三角函数值; ③一些常规技巧:“1”的代换、和积互化等. (2)常用方法:异名三角函数化为同名三角函数,异角化为 同角,异次化为同次,切化弦,特殊值与特殊角的三角函

数互化.

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【训练 1】 (1)化简: [2sin 50° +sin 10° (1+ 3tan 10° )]· 2sin280° =________; ?1+sin θ+cos (2)化简:
? (1)原式=? ?2sin ?
? θ??sin ?

2+2cos θ

θ θ? ? 2-cos 2? (0<θ<π)=________.

解析

? cos 10° + 3sin 10° ? 50° +sin 10° · ?· cos 10° ?

? 1 3 ? + 2 sin 10° ? ? 2cos 10° 2sin 80° =? · ? 2sin 50° +2sin 10° · cos 10° ? ? 2cos 10° =2 2[sin 50° · cos 10° +sin 10° · cos(60° -10° )] 3 =2 2sin(50° +10° )=2 2× 2 = 6.
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(2)原式=

? ?2sin ?

?? θ θ θ θ? 2θ cos +2cos ??sin -cos ? 2 2 2?? 2 2? 2θ 4cos 2

? θ? 2θ θ 2θ cos 2?sin 2-cos 2? cos 2· cos θ ? ? = =- ? ? θ? θ? . ?cos ? ?cos ? 2? 2? ? ?

θ π θ 因为 0<θ<π,所以 0<2<2,所以 cos 2>0, 所以原式=-cos θ.
答案 (1) 6 (2)-cos θ

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考点二

三角函数的给角求值与给值求角问题

? ?α ? 2 β? π 1 【例 2】 (1)已知 0<β<2<α<π, 且 cos?α-2?=-9, sin?2-β?=3, ? ? ? ?

求 cos(α+β)的值; 1 1 (2)已知 α,β∈(0,π),且 tan(α-β)= ,tan β=- ,求 2α 2 7 -β 的值.

π 解 (1)∵0<β<2<α<π, π α π π β ∴-4<2-β<2,4<α-2<π,
?α ? ∴cos?2-β?= ? ?

1-sin

2

?α ? ? -β?= ?2 ?

5 3,
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? β? sin?α-2?= ? ?

1-cos

2

? β? 4 5 ?α- ?= 2? 9 , ?

?? α+β β? ? α ? ? ∴cos 2 =cos??α-2?-?2-β?? ?? ? ? ?? ? ? ? β? ? α β? ? α ? =cos?α-2?cos?2-β?+sin?α-2?sin?2-β? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1? =?-9?× ? ?

5 4 5 2 7 5 + × = , 3 9 3 27
2α+β

∴cos(α+β)=2cos

49×5 239 -1=2× -1=- . 2 729 729

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tan?α-β?+tan β (2)∵tan α=tan[(α-β)+β]= 1-tan?α-β?tan β 1 1 - 2 7 1 = 1 1=3>0, 1+2×7 1 2×3 π 2tan α 3 ∴0<α<2,又∵tan 2α= = ?1? =4>0, 1-tan2α 1-?3?2 ? ? π ∴0<2α<2,

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3 1 tan 2α-tan β 4+7 ∴tan(2α-β)= = 3 1=1. 1+tan 2αtan β 1-4×7 1 π ∵tan β=-7<0,∴2<β<π,-π<2α-β<0, 3π ∴2α-β=- . 4

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规律方法

(1) 给值求值问题一般是正用公式将所求 “ 复

角”展开,看需要求相关角的哪些三角函数值,然后根据角 的范围求出相应角的三角函数值,代入展开式即可. (2)通过求所求角的某种三角函数值来求角,关键点在选取函 数,常遵照以下原则:①已知正切函数值,选正切函数;② 已知正、余弦函数值,选正弦或余弦函数;若角的范围是
? π? ?0, ?,选正、余弦皆可;若角的范围是(0,π),选余弦较好; 2? ? ? π π? 若角的范围为?-2,2?,选正弦较好. ? ?

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【训练 2】

1 13 π 已知 cos α= ,cos(α-β)= ,且 0<β<α< , 7 14 2

(1)求 tan 2α 的值; (2)求 β.

1 π 解 (1)∵cos α=7,0<α<2, 4 3 ∴sin α= , 7 ∴tan α=4 3, 2×4 3 2tan α 8 3 ∴tan 2α= = =- . 47 1-tan2α 1-48

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π π (2)∵0<β<α<2,∴0<α-β<2, 3 3 ∴sin(α-β)= 14 , ∴cos β=cos[α-(α-β)] =cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β) 1 13 4 3 3 3 1 =7×14+ 7 × 14 =2. π ∴β=3.

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考点三 【例 3】 已知

三角变换的简单应用

? ? 1 ? 2 π? ? π? f(x)=?1+tan x?sin x-2sin?x+4?· sin?x-4?. ? ? ? ? ? ?

(1)若 tan α=2,求 f(α)的值; (2)若
?π π? x∈?12,2?,求 ? ?

f(x)的取值范围.

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解 (1)f(x)=(sin x+sin xcos
? π? 1-cos cos?x+4?= 2 ? ?

2

? π? x)+2sin?x+4?· ? ?

2x

? π? 1 +2sin 2x+sin?2x+2? ? ?

1 1 = + (sin 2x-cos 2x)+cos 2x 2 2 1 1 = (sin 2x+cos 2x)+ . 2 2

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2sin αcos α 2tan α 4 由 tan α=2,得 sin 2α= 2 =5. 2 = 2 sin α+cos α tan α+1 cos2α-sin2α 1-tan2α 3 cos 2α= 2 2 = 2 =- . 5 sin α+cos α 1+tan α 1 1 3 所以,f(α)=2(sin 2α+cos 2α)+2=5.

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1 1 (2)由(1)得 f(x)=2(sin 2x+cos 2x)+2 π? 1 2 ? = 2 sin?2x+4?+2. ? ? 由
?π π? x∈?12,2?,得 ? ?

π ?5π 5π? 2x+4∈?12, 4 ?. ? ?

? 2+1 π? 2 ∴- 2 ≤sin?2x+4?≤1,∴0≤f(x)≤ 2 , ? ?

所以

? f(x)的取值范围是? ?0, ?

2+1? ? . 2 ? ?

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规律方法 (1)将 f(x)化简是解题的关键,本题中巧妙运用“1” 的代换技巧, 将 sin 2α, cos 2α 化为关于正切 tan α 的关系式, 为第(1)问铺平道路. (2)把形如 y=asin x+bcos x 化为 y= a2+b2sin(x+φ),可进 一步研究函数的周期、单调性、最值与对称性.

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【训练 3】 已知函数 f(x)=4cos (1)求 f(x)的最小正周期; (2)求

? π? x· sin?x+6?-1. ? ?

? π π? f(x)在区间?-6,4?上的最大值和最小值. ? ?

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解 (1)因为 f(x)=4cos =4cos
? x? ? ?

? π? xsin?x+6?-1 ? ?

? 3 1 ? sin x+ cos x?-1 2 2 ?

= 3sin 2x+2cos2x-1= 3sin 2x+cos 2x
? π? =2sin?2x+6?, ? ?

所以 f(x)的最小正周期为 π.

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π π π π 2π (2)因为- ≤x≤ ,所以- ≤2x+ ≤ . 6 4 6 6 3 π π 于是,当 2x+ = , 6 2 π 即 x=6时,f(x)取得最大值 2; π π π 当 2x+6=-6,即 x=-6时,f(x)取得最小值-1.

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1.重视三角函数的“三变”:“三变”是指“变角、变 名、变式 ” ;变角:对角的分拆要尽可能化成同名、同角、 特殊角;变名:尽可能减少函数名称;变式:对式子变形一

般要尽可能有理化、整式化、降低次数等.在解决求值、化
简、证明问题时,一般是观察角度、函数名、所求(或所证明) 问题的整体形式中的差异,再选择适当的三角公式恒等变 形.

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2 .已知和角函数值,求单角或和角的三角函数值的技 巧:把已知条件的和角进行加减或二倍角后再加减,观察是

不是常数角,只要是常数角,就可以从此入手,给这个等式 两边求某一函数值,可使所求的复杂问题简单化. 3.熟悉三角公式的整体结构,灵活变换.本节要重视公 式的推导,既要熟悉三角公式的代数结构,更要掌握公式中 角和函数名称的特征,要体会公式间的联系,掌握常见的公 式变形,倍角公式应用是重点,涉及倍角或半角的都可以利 用倍角公式及其变形.

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教你审题 3——三角函数求值中的变角问题 【典例】 (2012· 江苏卷)设 α 为锐角,若
? π? sin?2α+12?的值为________. ? ? ? π? 4 cos?α+6?=5,则 ? ?

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[审题]

? π? 4 一审条件:cos?α+6?= ,α ? ? 5

为锐角,

? π? 二审问题:sin?2α+12?=? ? ? ? π? π π π π 三找关系:2α+ =2α+ - =2?α+6?- ,解题变得明朗 12 3 4 ? ? 4

化!
解析 ∵α 为锐角且
? π? 4 cos?α+6?= , ? ? 5

π ?π 2π? ∴α+6∈?6, 3 ?, ? ?
? π? 3 ∴sin?α+6?= . ? ? 5

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? ? ? π? π? π? ? ∴sin?2α+12?=sin?2?α+6?-4? ? ? ? ? ? ? ?

=sin =

? π? 2?α+6?cos ? ?

? π? π π ? ? α+6 sin 4-cos 2? 4 ? ? ? π? 2? 2 ?2cos ?α+ ?-1? 6? 2? ? ?

? π? ? π? 2sin?α+6?cos?α+6?- ? ? ? ?

?4? ? 3 4 2? 2 = 2×5×5- 2 ?2×?5? -1? ? ? ? ?

12 2 7 2 17 2 = - = . 25 50 50
17 2 答案 50

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[反思感悟]

解题的关键是找出条件中的角与结论中的角的

联系,通过适当地拆角、凑角来利用所给条件.常见的变角 α+β ? β? ?α ? π π 技巧有: 2 =?α-2?-?2-β?; α=(α-β)+β 等; 4+α=2-
? ? ? ? ?π ? ? -α?;15° =45° -30° 等. 4 ? ?

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【自主体验】
? π? 1 1 已知 cos α= ,cos(α+β)=- ,且 α,β∈?0,2?,则 cos(α 3 3 ? ?

-β)的值为________.

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? π? 1 解析 ∵cos α=3,α∈?0,2?, ? ?

2 2 4 2 7 ∴sin α= 3 ,∴sin 2α= 9 ,cos 2α=-9. 1 2 2 又 cos(α+β)=- ,α+β∈(0,π),∴sin(α+β)= . 3 3 ∴cos(α-β)=cos[2α-(α+β)] =cos 2αcos(α+β)+sin 2αsin(α+β)
? 7? ? 1? 4 2 2 2 23 =?-9?×?-3?+ × = . 9 3 27 ? ? ? ?

23 答案 27
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