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直线与圆知识点及经典例题(含答案)


圆的方程、直线和圆的位置关系
【知识要点】 一、 圆的定义:平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆 (一)圆的标准方程

( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2

这个方程叫做圆的标准方程。

新疆

王新敞
学案

说 明:1、若圆心在坐标原点上,这时 a ? b ? 0 ,则圆的方程就是 x ? y ? r 。 2、圆的标准方程的两个基本要素:圆心坐标和半径;圆心和半径分别确定了圆的位置和大小,从而确定了
2 2 2

圆,所以,只要 a, b, r 三个量确定了且 r >0,圆的方程就给定了。 就是说要确定圆的方程,必须具备三个独立的条件 确定 a, b, r ,可以根据条件,利用待定系数法来解决。 (二)圆的一般方程
新疆

王新敞
学案

将圆的标准方程 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r ,展开可得 x ? y ? 2ax ? 2by ? a ? b ? r ? 0 。可见,任何一个
2 2 2 2 2 2 2 2

圆的方程都可以写成 : x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0
2 2

问题:形如 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 的方程的曲线是不是圆?
2 2

将方程 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 左边配方得:
2 2

(x ?

D 2 E D2 ? E 2 ? 4F ) ? ( x ? )2 ? 2 2 2
D E

2 2 (? , ? ) 2 2 (1)当 D ? E ? 4 F >0 时,方程(1)与标准方程比较,方程 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 表示以 2 2 为圆

D2 ? E 2 ? 4F 2 心,以 为半径的圆。

,

(3)当 D 2 ? E 2 ? 4 F <0 时,方程 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 没有实数解,因而它不表示任何图形。
2 2

圆的一般方程的定义:
2 2 当 D ? E ? 4 F >0 时,方程 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 称为圆的一般方程. 圆的一般方程的特点:

2

2

(1) x 和 y 的系数相同,不等于零; (2)没有 xy 这样的二次项。 (三)直线与圆的位置关系 1、直线与圆位置关系的种类 (1)相离---求距离; (2)相切---求切线; (3)相交---求焦点弦长。 2、直线与圆的位置关系判断方法: 几何方法主要步骤: (1)把直线方程化为一般式,利用圆的方程求出圆心和半径 (2)利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离 (3)作判断: 当 d>r 时,直线与圆相离;当 d=r 时,直线与圆相切;当 d<r 时,直线与圆相交。 代数方法主要步骤: (1)把直线方程与圆的方程联立成方程组 (2)利用消元法,得到关于另一个元的一元二次方程 (3)求出其 Δ 的值,比较 Δ 与 0 的大小: (4)当 Δ<0 时,直线与圆相离;当 Δ=0 时,直线与圆相切 ;当 Δ>0 时,直线与圆相交。 【典型例题】 类型一:圆的方程
2

2

例 1 求过两点 A(1 , 4) 、 B(3 , 2) 且圆心在直线 y ? 0 上的圆的标准方程并判断点 P(2 , 4) 与圆的关系. 变式 1:求过两点 A(1 , 4) 、 B(3 , 2) 且被直线 y ? 0 平分的圆的标准方程.
1

变式 2:求过两点 A(1 , 4) 、 B(3 , 2) 且圆上所有的点均关于直线 y ? 0 对称的圆的标准方程. 分析:欲求圆的标准方程,需求出圆心坐标的圆的半径的大小,而要判断点 P 与圆的位置关系,只须看点 P 与圆心 的距离和圆的半径的大小关系,若距离大于半径,则点在圆外;若距离等于半径,则点在圆上;若距离小于半径, 则点在圆内. 解法一: (待定系数法) 设圆的标准方程为 ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 .∵圆心在 y ? 0 上,故 b ? 0 .∴圆的方程为 ( x ? a) 2 ? y 2 ? r 2 . 又∵该圆过 A(1 , 4) 、 B(3 , 2) 两点.∴ ?
2 2 ? ?(1 ? a ) ? 16 ? r 2 2 ? ?(3 ? a ) ? 4 ? r

解之得: a ? ?1 , r ? 20.
2

所以所求圆的方程为 ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 20 . 解法二: (直接求出圆心坐标和半径) 因为圆过 A(1 , 4) 、 B(3 , 2) 两点,所以圆心 C 必在线段 AB 的垂直平分线 l 上,又因为 k AB ?

4?2 ? ?1 ,故 l 1? 3

的斜率为 1,又 AB 的中点为 (2 , 3) ,故 AB 的垂直平分线 l 的方程为: y ? 3 ? x ? 2 即 x ? y ? 1 ? 0 . 又知圆心在直线 y ? 0 上,故圆心坐标为 C (?1 , 0) ∴半径 r ? AC ?

(1 ? 1) 2 ? 42 ? 20 .

故所求圆的方程为 ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 20 .又点 P(2 , 4) 到圆心 C (?1 , 0) 的距离为

d ? PC ? (2 ? 1) 2 ? 4 2 ? 25 ? r .∴点 P 在圆外.
例 2:求过三点 O(0,0) ,M(1,1) ,N(4,2)的圆的方程,并求出这个圆的圆心和半径。 解:设圆的方程为:x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0,将三个点的坐标代入方程

?F ? 0 ? ?D ? E ? F ? 2 ? 0 ?4 D ? 2 E ? F ? 20 ? 0 ? ? F = 0, D = ?8, E = 6 ? 圆方程为:x2 + y2 ?8x + 6y = 0 配方: ( x ?4 )2 + ( y + 3 )2 = 25 ? 圆心: ( 4, ?3 ) , 半径 r = 5
例 3 求经过点 A(0 , 5) ,且与直线 x ? 2 y ? 0 和 2 x ? y ? 0 都相切的圆的方程. 分析:欲确定圆的方程.需确定圆心坐标与半径,由于所求圆过定点 A ,故只需确定圆心坐标.又圆与两已知 直线相切,故圆心必在它们的交角的平分线上. 解:∵圆和直线 x ? 2 y ? 0 与 2 x ? y ? 0 相切,∴圆心 C 在这两条直线的交角平分线上, 又圆心到两直线 x ? 2 y ? 0 和 2 x ? y ? 0 的距离相等.∴

x ? 2y 5

?

x ? 2y 5

.∴两直线交角的平分线方程是

x ? 3 y ? 0 或 3x ? y ? 0 .又∵圆过点 A(0 , 5) ,∴圆心 C 只能在直线 3x ? y ? 0 上.
设圆心 C (t , 3t ) ∵ C 到直线 2 x ? y ? 0 的距离等于 AC ,∴

2t ? 3t 5

? t 2 ? (3t ? 5) 2 .

2 化简整理得 t ? 6t ? 5 ? 0 .解得: t ? 1 或 t ? 5 ∴圆心是 (1 , 3) ,半径为 5 或圆心是 (5 , 15) ,半径为 5 5 .

2

∴所求圆的方程为 ( x ?1) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 5 或 ( x ? 5) 2 ? ( y ?15) 2 ? 125. 说明:本题解决的关键是分析得到圆心在已知两直线的交角平分线上,从而确定圆心坐标得到圆的方程,这是 过定点且与两已知直线相切的圆的方程的常规求法. 类型二:切线方程、切点弦方程、公共弦方程 例 4 已知圆 O:x 2 ? y 2 ? 4 ,求过点 P?2, 4? 与圆 O 相切的切线. 解:∵点 P?2, 4? 不在圆 O 上,∴切线 PT 的直线方程可设为 y ? k ?x ? 2? ? 4 根据 d ? r ∴

? 2k ? 4 1? k 2

? 2 .解得 k ?

3 3 所以 y ? ? x ? 2 ? ? 4 即 3x ? 4 y ? 10 ? 0 4, 4 ,

因为过圆外一点作圆得切线应该有两条,可见另一条直线的斜率不存在.易求另一条切线为 x ? 2 . 说明:上述解题过程容易漏解斜率不存在的情况,要注意补回漏掉的解. 本题还有其他解法,例如把所设的切线方程代入圆方程,用判别式等于 0 解决(也要注意漏解) .还可以运用

x0 x ? y0 y ? r 2 ,求出切点坐标 x0 、 y0 的值来解决,此时没有漏解.
例 5 两圆 C1:x 2 ? y 2 ? D1 x ? E1 y ? F1 ? 0 与 C2:x 2 ? y 2 ? D2 x ? E2 y ? F2 ? 0 相交于 A 、 B 两点,求它们的公 共弦 AB 所在直线的方程. 分析:首先求 A 、 B 两点的坐标,再用两点式求直线 AB 的方程,但是求两圆交点坐标的过程太繁.为了避免 求交点,可以采用“设而不求”的技巧. 解:设两圆 C1 、 C2 的任一交点坐标为 ( x0 , y0 ) ,则有:

x0 ? y0 ? D1x0 ? E1 y0 ? F1 ? 0

2

2



x0 ? y0 ? D2 x0 ? E2 y0 ? F2 ? 0

2

2



①-②得: ( D1 ? D2 ) x0 ? ( E1 ? E2 ) y0 ? F1 ? F2 ? 0 . ∵ A 、 B 的坐标满足方程 ( D1 ? D2 ) x ? ( E1 ? E2 ) y ? F1 ? F2 ? 0 . ∴方程 ( D1 ? D2 ) x ? ( E1 ? E2 ) y ? F1 ? F2 ? 0 是过 A 、 B 两点的直线方程.又过 A 、 B 两点的直线是唯一的. ∴两圆 C1 、 C2 的公共弦 AB 所在直线的方程为 ( D1 ? D2 ) x ? ( E1 ? E2 ) y ? F1 ? F2 ? 0 . 说明:上述解法中,巧妙地避开了求 A 、 B 两点的坐标,虽然设出了它们的坐标,但并没有去求它,而是利用 曲线与方程的概念达到了目标.从解题的角度上说,这是一种“设而不求”的技巧,从知识内容的角度上说,还体现 了对曲线与方程的关系的深刻理解以及对直线方程是一次方程的本质认识.它的应用很广泛. 例 6、求过点 M (3,1) ,且与圆 ( x ? 1) ? y ? 4 相切的直线 l 的方程.
2 2

解:设切线方程为 y ? 1 ? k ( x ? 3) ,即 kx ? y ? 3k ? 1 ? 0 ,∵圆心 (1, 0) 到切线 l 的距离等于半径 2 , ∴

| k ? 3k ? 1| k 2 ? ? ?1?
2

3 3 ? 2 ,解得 k ? ? , ∴切线方程为 y ? 1 ? ? ( x ? 3) ,即 3x ? 4 y ? 13 ? 0 , 4 4

当过点 M 的直线的斜率不存在时,其方程为 x ? 3 ,圆心 (1, 0) 到此直线的距离等于半径 2 ,故直线 x ? 3 也适合题 意。 所以,所求的直线 l 的方程是 3x ? 4 y ? 13 ? 0 或 x ? 3 . 类型三:弦长、弧问题
2 2 例 7、求直线 l : 3x ? y ? 6 ? 0 被圆 C : x ? y ? 2 x ? 4 y ? 0 截得的弦 AB 的长.

3

例 8、直线 3x ? y ? 2 3 ? 0 截圆 x ? y ? 4 得的劣弧所对的圆心角为
2 2

解:依题意得,弦心距 d ? 圆心角为 ?AOB ?

3 ,故弦长 AB ? 2 r 2 ? d 2 ? 2 ,从而△ OAB 是等边三角形,故截得的劣弧所对的

?
3

.

例 9、求两圆 x 2 ? y 2 ? x ? y ? 2 ? 0 和 x 2 ? y 2 ? 5 的公共弦长

类型四:直线与圆的位置关系 例 10、已知直线 3x ? y ? 2 3 ? 0 和圆 x ? y ? 4 ,判断此直线与已知圆的位置关系.
2 2

例 11、若直线 y ? x ? m 与曲线 y ? 解: ∵曲线 y ? 或m ? 2 2 .

4 ? x 2 有且只有一个公共点,求实数 m 的取值范围.

∴利用数形结合法, 可得实数 m 的取值范围是 ? 2 ? m ? 2 4 ? x 2 表示半圆 x 2 ? y 2 ? 4( y ? 0) ,

例 12、圆 ( x ? 3) ? ( y ? 3) ? 9 上到直线 3x ? 4 y ? 11 ? 0 的距离为 1 的点有几个?
2 2

分析:借助图形直观求解.或先求出直线 l1 、 l 2 的方程,从代数计算中寻找解答.
2 2 解法一:圆 ( x ? 3) ? ( y ? 3) ? 9 的圆心为 O1 (3 , 3) ,半径 r ? 3 .设圆心 O1 到直线

3x ? 4 y ? 11 ? 0 的距离为 d ,则 d ?

3 ? 3 ? 4 ? 3 ? 11 32 ? 4 2

? 2 ? 3 .如图,在圆心 O1 同

侧,与直线 3x ? 4 y ? 11 ? 0 平行且距离为 1 的直线 l1 与圆有两个交点,这两个交点符 合题意.又 r ? d ? 3 ? 2 ? 1 .∴与直线 3x ? 4 y ? 11 ? 0 平行的圆的切线的两个切点中 有一个切点也符合题意.∴符合题意的点共有 3 个. 解法二:符合题意的点是平行于直线 3x ? 4 y ? 11 ? 0 ,且与之距离为 1 的直线和圆的交点.设所求直线为

3x ? 4 y ? m ? 0 ,则 d ?

m ? 11 32 ? 42

? 1 ,∴ m ? 11 ? ?5 ,即 m ? ?6 ,或 m ? ?16 ,也即

l1: 3x ? 4 y ? 6 ? 0 ,或 l2: 3x ? 4 y ? 16 ? 0 .
4

设圆 O1: ( x ? 3)2 ? ( y ? 3)2 ? 9 的圆心到直线 l1 、 l 2 的距离为 d1 、 d 2 , 则 d1 ?

3? 3 ? 4 ? 3 ? 6 32 ? 42

? 3 , d2 ?

3 ? 3 ? 4 ? 3 ? 16 32 ? 42

? 1.

∴ l1 与 O1 相切,与圆 O1 有一个公共点; l 2 与圆 O1 相交,与圆 O1 有两个公共点.即符合题意的点共 3 个. 类型五:圆与圆的位置关系 例 13、判断圆 C1 : x 2 ? y 2 ? 2x ? 6 y ? 26 ? 0 与圆 C2 : x 2 ? y 2 ? 4 x ? 2 y ? 4 ? 0 的位置关系,

例 14:圆 x ? y ? 2 x ? 0 和圆 x ? y ? 4 y ? 0 的公切线共有
2 2 2 2

条。

2 2 2 2 解:∵圆 ( x ? 1) ? y ? 1 的圆心为 O1 (1,0) ,半径 r1 ? 1 ,圆 x ? ( y ? 2) ? 4 的圆心为 O2 (0,?2) ,半径 r2 ? 2 ,

∴ O1O2 ?

5, r1 ? r2 ? 3, r2 ? r1 ? 1 .∵ r2 ? r1 ? O1O2 ? r1 ? r2 ,∴两圆相交.共有 2 条公切线。

类型六:圆中的最值问题 例 15:圆 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 4 y ? 10 ? 0 上的点到直线 x ? y ? 14 ? 0 的最大距离与最小距离的差是 解:∵圆 ( x ? 2) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 18 的圆心为(2,2) ,半径 r ? 3 2 ,∴圆心到直线的距离 d ?

10 2

? 5 2 ? r ,∴

直线与圆相离,∴圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是 (d ? r ) ? (d ? r ) ? 2r ? 6 2 . 例 16 (1)已知圆 O1: ( x ? 3)2 ? ( y ? 4)2 ? 1 , P( x , y) 为圆 O 上的动点,求 d ? x 2 ? y 2 的最大、最小值.

(2)已知圆 O2: ( x ? 2)2 ? y 2 ? 1 , P( x , y) 为圆上任一点.求

y?2 的最大、最小值,求 x ? 2 y 的最大、最小值. x ?1
'

分析:(1)、(2)两小题都涉及到圆上点的坐标,可考虑用圆的参数方程或数形结合解决. 解:(1)圆上点到原点距离的最大值 d 1 等于圆心到原点的距离 d 1 加上半径 1,圆上点到原点距离的最小值 d 2 等 于圆心到原点的距离 d 1 减去半径 1.所以 d1 ? 32 ? 42 ? 1 ? 6 . d 2 ? 32 ? 42 ? 1 ? 4 . 所以 dmax ? 36 . d min ? 16 . (2)设
'

y?2 ? k ,则 kx ? y ? k ? 2 ? 0 .由于 P( x , y) 是圆上点,当直 x ?1 y?2 3? 3 3? 3 .所以 的最大值为 , x ?1 4 4

线与圆有交点时,如图所示, 两条切线的斜率分别是最大、最小值. 由d ?

? 2k ? k ? 2 1? k 2

? 1 ,得 k ?

5

最小值为

?2?m 3? 3 .令 x ? 2 y ? t ,同理两条切线在 x 轴上的截距分别是最大、最小值.由 d ? ? 1 ,得 4 5

m ? ?2 ? 5 .所以 x ? 2 y 的最大值为 ?2 ? 5 ,最小值为 ?2 ? 5 .
例 17:已知 A(?2,0) , B(2,0) ,点 P 在圆 ( x ? 3) ? ( y ? 4) ? 4 上运动,则 PA ? PB 的最小值是
2 2

2

2

.

解:设 P ( x, y ) ,则 PA ? PB

2

2

? ( x ? 2) 2 ? y 2 ? ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 2( x 2 ? y 2 ) ? 8 ? 2 OP ? 8 . 设圆心为 C (3,4) ,则
2 2

2

2 OP min ? OC ? r ? 5 ? 2 ? 3 ,∴ PA ? PB 的最小值为 2 ? 3 ? 8 ? 26 .

6


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