tceic.com
简单学习网 让学习变简单
当前位置:首页 >> 学科竞赛 >>

第二十四届全国高中生物理竞赛复赛试题及答案


2007 年第 24 届全国中学生物理竞赛复赛

第 24 届全国中学生物理竞赛复赛试卷
一、 (20 分)如图所示,一块长为 L ? 1.00 m 的光滑平板 PQ 固定在轻质弹簧上端,弹 簧的下端与地面固定连接。 平板被限制在两条竖直光滑的平行导轨之间 (图中未画出竖直导 轨) ,从而只能地竖直方向运动。平板与弹簧构成的振动系统的振动周期 T ?

2.00 s 。一小 球 B 放在光滑的水平台面上,台面的右侧边缘正好在平板 P 端的正上方,到 P 端的距离为 h ? 9.80 m 。平板静止在其平衡位置。水球 B 与平板 PQ 的质量相等。现给小球一水平向右 的速度 ? 0 ,使它从水平台面抛出。已知小球 B 与平板发生弹性碰撞,碰撞时间极短,且碰 撞过程中重力可以忽略不计。 要使小球与平板 PQ 发生一次碰撞而且只发生一次碰撞,? 0 的 值应在什么范围内?取 g ? 9.8m / s 2

二、 (25 分)图中所示为用三角形刚性细杆 AB、BC、CD 连成的平面连杆结构图。AB 和 CD 杆可分别绕过 A、D 的垂直于纸面的固定轴转动,A、D 两点位于同一水平线上。BC 杆的两端分别与 AB 杆和 CD 杆相连,可绕连接处转动(类似铰链) 。当 AB 杆绕 A 轴以恒 定的角速度 ? 转到图中所示的位置时,AB 杆处于竖直位置。BC 杆与 CD 杆都与水平方向 成 45°角,已知 AB 杆的长度为 l ,BC 杆和 CD 杆的长度由图给定。求此时 C 点加速度 ac 的大小和方向(用与 CD 杆之间的夹角表示)

三、 (20 分)如图所示,一容器左侧装有活门 K1 ,右侧装有活塞 B,一厚度可以忽略的隔 板 M 将容器隔成 a、b 两室,M 上装有活门 K 2 。容器、隔板、活塞及活门都是绝热的。隔 板和活塞可用销钉固定,拔掉销钉即可在容器内左右平移,移动时不受摩擦作用且不漏气。 整个容器置于压强为 P0、温度为 T0 的大气中。初始时将活塞 B 用销钉固定在图示的位置, 隔板 M 固定在容器 PQ 处,使 a、b 两室体积都等于 V0; K1 、 K 2 关闭。此时,b 室真空, a 室装有一定量的空气(容器内外气体种类相同,且均可视为理想气体) ,其压强为 4P0/5, 温度为 T0。已知 1mol 空气温度升高 1K 时内能的增量为 CV,普适气体常量为 R。

-1-

2007 年第 24 届全国中学生物理竞赛复赛

1.现在打开 K1 ,待容器内外压强相等时迅速关闭 K1 (假定此过程中处在容器内的气体 与处在容器外的气体之间无热量交换) ,求达到平衡时,a 室中气体的温度。 2.接着打开 K 2 ,待 a、b 两室中气体达到平衡后,关闭 K 2 。拔掉所有销钉,缓慢推动 CV ? R 活塞 B 直至到过容器的 PQ 位置。求在推动活塞过程中,隔板对 a 室气体所作的功。已知在 C 推动活塞过程中,气体的压强 P 与体积 V 之间的关系为 PV V =恒量。 四、 (25 分)图中 oxy 是位于水平光滑桌面上的直角坐标系,在 x ? 0 的一侧,存在匀 强磁场,磁场方向垂直于 oxy 平面向里,磁感应强度的大小为 B。在 x ? 0 的一侧,一边长 分别为 l1 和 l 2 的刚性矩形超导线框位于桌面上,框内无电流,框的一对边与 x 轴平行。线框 的质量为 m,自感为 L。现让超导线框沿 x 轴方向以初速度 v0 进入磁场区域,试定量地讨 论线框以后可能发生的运动情况及与初速度 v0 大小的关系。 (假定线框在运动过程中始终保 持超导状态)

五、 (25 分)地球赤道表面附近处的重力加速度为 g 0 ? 9.8m / s 2 ,磁场的磁感应强度 3 的大小 B0 ? 3.0 ?10?5 T ,方向沿经线向北。赤道上空的磁感应强度的大小与 r 成反比(r 为考察点到地心的距离) ,方向与赤道附近的磁场方向平行。假设在赤道上空离地心的距离 r ? 5Re ( Re 为地球半径)处,存在厚度为 10km 的由等数量的质子和电子的等离子层(层 内磁场可视为匀强磁场) ,每种粒子的数密度非常低,带电粒子的相互作用可以忽略不计。 ?27 已 知 电 子 的 质量 me ? 9.1?10?31 kg , 质 子 的 质 量 m p ? 1.7 ?10 kg , 电 子 电 荷 量为 ? 1.6 ? 10?19 C ,地球的半径 Re ? 6.4 ?106 m 。 1.所考察的等离子层中的电子和质子一方面作无规则运动, 另一方面因受地球引力和磁 场的共同作用会形成位于赤道平面内的绕地心的环行电流,试求此环行电流的电流密度。 2.现设想等离子层中所有电子和质子,它们初速度的方向都指向地心,电子初速度的大 2 4 小 ue ? 1.4 ?10 m / s ,质子初速度的大小 u P ? 3.4 ?10 m / s 。试通过计算说明这些电子 和质子都不可能到到达地球表面。

第 24 届全国中学生物理竞赛复赛试题参考解答
一、参考解答: 如果小球的水平速度比较大,它与平板的第一次碰撞正好发 生在平板的边缘 Q 处,这时 u 0 的值便是满足题中条件的最大值; 如果小球的水平速度 u 0 较小,在它与平板发生第一次碰撞后再次
-2-

B

u0

h

P

Q

2007 年第 24 届全国中学生物理竞赛复赛

接近平板时,刚好从平板的边缘 Q 处越过而不与平板接触,这时 u 0 的值便是满足题中条件 的最小值. 设小球从台面水平抛出到与平板发生第一次碰撞经历的时间为 t1 ,有

h?
若碰撞正好发生在 Q 处

1 2 gt1 2
(2)

(1)

L ? u0t1

从(1)(2)两式解得的 u 0 值便是满足题中条件的最大值,即 、

u0 max ? L
代入数据得 u0 max ? 0.71m/s (4)

g 2h

(3)

如果 u0 ? u0 max ,小球与平板的碰撞处将不在 Q 点.设小球第一次刚要与平板碰撞时在 竖直方向的速度为 v1 ,则有 v1 ? 2gh (5)

? 以 v1 、 V1? 分别表示碰撞结束时刻小球和平板沿竖直方向的速度,由于碰撞时间极短,在碰
撞过程中,小球和平板在竖直方向的动量守恒.设小球和平板的质量都是 m,则有

? mv1 = mv1 ? mV1? 因为碰撞是弹性的,且平板是光滑的,由能量守恒可得 1 2 1 2 1 1 1 2 ? mv1 ? mu0 = mv12 ? mV1?2 ? mu0 2 2 2 2 2
? 解(6)(7)两式,得 v1 ? 0 、
(8)

(6)

(7)

V1? = v1 ? 2gh
碰撞后,平板从其平衡位置以 V1? 为初速度开始作简谐振动.取固定坐标,其原点 O 与平板 处于平衡位置时板的上表面中点重合,x 轴的方向竖直向下,若以小球和平板发生碰撞的时 刻作为 t ? 0 ,则平板在 t 时刻离开平衡位置的位移

(9)

xPQ ? A cos ??t ? ? ?
式中 ? ?

(10) (11)

A 和 ? 是两个待定的常量,利用参考圆方法,在 t 时刻平板振动的速度

2π T

vPQ ? ? A? sin ??t ? ? ?
因 t ? 0 时, xPQ ? 0 . vPQ ? V ? ,由(9)(11)(12)式可求得 、 、

(12)

A?

2 gh T 2?

(13)

? ??
-3-

π 2

(14)

2007 年第 24 届全国中学生物理竞赛复赛

把(13)(14)式代入(10)式,得 、

xPQ ?

2 gh π? ? 2π T cos ? t ? ? 2π T 2? ?

(15)

碰撞后,小球开始作平抛运动.如果第一次碰撞后,小球再经过时间 t 2 与平板发生第二次碰 撞且发生在 Q 处,则在发生第二次碰撞时,小球的 x 座标为

1 2 xB ?t2 ? ? gt2 2
平板的 x 坐标为 xPQ ? t2 ? ?

(16)

2 gh π? ? 2π T cos ? t2 ? ? (17) 2π 2? ?T
(18)

在碰撞时,有 xB ? t2 ? ? xPQ ?t2 ? 由(16)(17)(18)式,代入有关数据得 、 、

π? ? 2 4.90t2 ? 4.41cos ? πt2 ? ? 2? ?
这便是 t 2 满足的方程式,通过数值计算法求解方程可得(参见数值列表)

(19)

t2 ? 0.771s
如果第二次碰撞正好发生在平板的边缘 Q 处,则有 L ? u0 ? t1 ? t2 ? 由(1)(20)和(21)式得 u0 ? 、 (21)

(20)

L ? 0.46m/s t1 ? t2

(22)

而满足题中要求的 u 0 的最小值应大于(22)式给出的值.综合以上讨论, u 0 的取值范围是

0.46m/s ? u0 ? 0.71m/s
附: (19)式的数值求解 用数值解法则要代入 t 2 不同数值,逐步逼近所求值,列表如下:

(23)

t2
xPQ ? 4.41cos ? πt2 ?
2 xB ? 4.90t2

0.730

0.750

0.760

0.765

0.770

0.771

0.772

0.775

0.780

0.790

0.810

? ?

π? 2?

?

3.31

3.12

3.02

2.96

2.91

2.91

2.90

2.86

2.81

2.70

2.48

2.61

2.76

2.83

2.87

2.91

2.91 0

2.91

2.94

2.98

3.06

3.21

xPQ ? xB

0.70

0.36

0.19

0.09

0

-0.01

-0.08

-0.17

-0.36

-0.73

二、参考解答:

-4-

2007 年第 24 届全国中学生物理竞赛复赛

解法一因为 B 点绕 A 轴作圆周运动,其速度的大小为 vB ? ?l B 点的向心加速度的大小为 aB ? ? l
2

(1)

(2)

因为是匀角速转动, 点的切向加速度为 0, aB 也是 B 点的加速度, B 故 其方向沿 BA 方向. 因 为 C 点绕 D 轴作圆周运动,其速度的大小用 vC 表示,方向垂直于杆 CD,在考察的时刻, 由图可知,其方向沿杆 BC 方向.因 BC 是刚性杆,所以 B 点和 C 点沿 BC 方向的速度必相 π 2 ?l 等,故有 vC ? vB cos ? (3) 4 2 2 vC 此时杆 CD 绕 D 轴按顺时针方向转动,C 点的法向加速度 aCn ? (4) ? CD vC C 2 2 ? aCn ? ?l 由 图 可 知 CD ? 2 2l , 由 ( 3 )、( 4 ) 式 得 vCB aCn aC t ? 8 (5)其方向沿 CD 方向. 下面来分析 C 点沿垂直于杆 CD 方向的加速度, 即切向加速度 a Ct . 因 为 BC 是刚性杆,所以 C 点相对 B 点的运动只能是绕 B 的转动,C 点相对 B 点的速度方向必垂直于杆 BC.令 vCB 表示其速度的大小,根据速度合成 ? ? ? 公式有 vCB ? vC ? vB 由几何关系得 B aC

? vB
D

A

vCB ?

2 2 vB ? vC ?

2 2 vB ? ?l 2 2
2 vCB CB

(6)

由于 C 点绕 B 作圆周运动,相对 B 的向心加速度 aCB ? 因为 CB ? 2l ,故有 其方向垂直杆 CD.

(7) (8)

aCB ?

2 2 ?l 4

由(2)式及图可知,B 点的加速度沿 BC 杆的分量为 ? aB ?BC ? aB cos 所以 C 点相对 A 点(或 D 点)的加速度沿垂直于杆 CD 方向的分量

π 4

(9)

aCt ? aCB ? ? aB ? BC ?

3 2 2 ?l 4

(10)

C 点的总加速度为 C 点绕 D 点作圆周运动的法向加速度 aCn 与切向加速度 aCt 的合加速度,

aC ?

a2C n ? a2 C t?

74 ? 8

2

l
(12)

(11)

aC 的方向与杆 CD 间的夹角 ? ? arctan
解法二:通过微商求 C 点加速度

aCt ? arctan 6 ? 80.54? aCn
y

以固定点 A 为原点作一直角坐标系 Axy, 轴与 AD Ax 重合, 与 AD 垂直. Ay 任意时刻 t, 连杆的位形如图所示, 此时各杆的位置分别用 ? ,? 和 ? 表示,且已知 AB ? l ,

C B

?

-5-

A ?

? D

x

2007 年第 24 届全国中学生物理竞赛复赛

BC ? 2l , CD ? 2 2l , AD ? 3l ,

d? ? ?? ,C 点坐标表示为 dt
xC ? l cos? ? 2l cos?
(1) (2)

yC ? l sin? ? 2l sin ? 将(1)(2)式对时间 t 求一阶微商,得 、
dxC d? d? ? ? ? ?l ? sin ? ? 2 sin ? ? dt dt dt ? ? dyC d? d? ? ? ? l ? cos? ? 2 cos ? ? dt dt dt ? ?
把(3)(4)式对时间 t 求一阶微商,得 、
2 2 ? d 2 xC d 2? d 2? ? ? d? ? ? d? ? ? ?l ?cos? ? ? sin ? 2 ? 2 cos ? ? ? 2 sin ? 2 ? ? ? dt 2 dt dt ? ? dt ? ? dt ? ? ? ? 2 2 ? d 2 yC d 2? d 2? ? ? d? ? ? d? ? ? l ? ? sin ? ? ? cos? 2 ? 2 sin ? ? ? 2 cos ? 2 ? ? ? dt 2 dt dt ? ? dt ? ? dt ? ? ? ?

(3)

(4)

(5)

(6)

根据几何关系,有

CD sin ? ? AB sin ? ? BC sin ? CD cos ? ? AB cos? ? BC cos ? ? 3l


2 2 sin ? ? sin? ? 2 sin ? 2 2 cos? ? 3 ? cos? ? 2cos?
将(7)(8)式平方后相加且化简,得 、

(7) (8)

2 sin? sin ? ? 2 cos? cos? ? 3cos? ? 3 2 cos? ? 2 ? 0
对(9)式对时间 t 求一阶微商,代入 ? ?

(9)

π π d? ,? ? , ? ?? ,得 2 4 dt d? 1 ? ? dt 2
d 2? 3 2 ? ? dt 2 8

(10)

对(9)式对时间 t 求二阶微商,并代入上述数据,得 (11)

将(10)(11)式以及 ? , ? , 、

d? 的数值代入(5)(6)式,得 、 dt d 2 xC 5 ? ? l? 2 2 dt 8 2 d yC 7 ? ? l? 2 2 dt 8

所以

-6-

2007 年第 24 届全国中学生物理竞赛复赛

? d2 x ? ? d2 y ? 74 2 aC ? ? 2C ? ? ? 2C ? ? l? 8 ? dt ? ? dt ?
由图知, aC 与 x 轴的夹角为 ?

2

2

(12)

? d2 y ? ? d2 x ? tan ? ? ? 2C ? ? 2C ? ? 1.4 ? dt ? ? dt ?
所以求得

(13)

? ? arctan1.4 ? 54.46?
这个夹角在第三象限,为 234.46? ,故 aC 与 CD 的夹角

? =80.54?
三、参考解答: 1.设 a 室中原有气体为? mol ,打开 K1 后,有一部分空气进入 a 室,直到 K1 关闭时, a 室中气体增加到? ? mol ,设 a 室中增加的 ?? ? ?? ? mol 气体在进入容器前的体积为 ? V ,气 体进入 a 室的过程中,大气对这部分气体所作的功为

(14)

A ? p0 ?V
用 T 表示 K1 关闭后 a 室中气体达到平衡时的温度,则 a 室中气体内能增加量为

(1) (2) (3)

?U ? ? ?CV ?T ?T0 ?
由热力学第一定律可知
?U ? A

由理想气体状态方程,有

4 p0V0 ? ? RT0 5
p0 ?V ? ?? ? ?? ? RT0
p0V0 ? ? ?RT
由以上各式解出

(4) (5) (6)

T?

5 ? CV ? R ? 5CV ? 4 R

T0

(7)

2.K2 打开后,a 室中的气体向 b 室自由膨胀,因系统绝热又无外界做功,气体内能不 变,所以温度不变(仍为 T ) ,而体积增大为原来的 2 倍.由状态方程知,气体压强变为

p?
关闭 K2,两室中的气体状态相同,即

1 p0 2

(8)

1 pa ? pb ? p , Ta ? Tb ? T , Va ? Vb ? V0 ,且? a ? ? b ? ? ? 2

(9)

-7-

2007 年第 24 届全国中学生物理竞赛复赛

拔掉销钉后,缓慢推动活塞 B,压缩气体的过程为绝热过程,达到最终状态时,设两室气体

? ? 的压强、体积和温度分别为 pa 、 pb 、 Va? 、 Vb? 、 Ta? 、 Tb? ,则有

paVa pbVb
由于隔板与容器内壁无摩擦,故有

CV ? R CV

? ? paVa? ? ? pbVb?

CV ? R CV

(10) (11)

CV ? R CV

CV ? R CV

? ? pa ? pb
由理想气体状态方程,则有

(12)

? paVa? ? ? a RTa? ? pbVb? ? ? b RTb?


(13) (14)

Va? ? Vb? ? V0
由(8)~(15)式可得

(15)

1 Va? ? Vb? ? V0 2
Ta? ? Tb? ? 2 T
在推动活塞压缩气体这一绝热过程中,隔板对 a 室气体作的功 W 等于 a 室中气体内能 的增加,即
R CV

(16) (17)

1 W ? ? ?CV ?Ta? ? T ? 2
由(6)(17)和(18)式得 、

(18)

W?
四、参考解答:

R ? CV ? CV ? 2 ? 1? p0V0 ? 2R ? ? ?

(19)

设某一时刻线框在磁场区域的深度为 x ? x ? l1 ? ,速度 为 v ,因线框的一条边切割磁感应线产生的感应电动势为

y

l1 v0

E ? vBl2 ,它在线框中引起感应电流,感应电流的变化又 v
引起自感电动势.设线框的电动势和电流的正方向均为顺 时针方向,则切割磁感应线产生的电动势 E 与设定的正方 v

l2

x O
-8-

x

2007 年第 24 届全国中学生物理竞赛复赛

向相反,自感电动势 E ? ? L L 有

?i 与设定的正方向相同.因线框处于超导状态,电阻 R ? 0 ,故 ?t E ? E ? ?L L v ?i ? vBl2 ? iR ? 0 ?t
(2)



L


?i ?x ? Bl2 ?0 ?t ?t
Bl2 ?x ? ? L?i

(3)



Bl ?i ?? 2 ?x L
可见 i 与 x 成线性关系,有

(4)

i??

Bl 2 x?C L Bl 2 x L

(5)

C 为一待定常数,注意到 x ? 0 时, i ? 0 ,可得 C ? 0 ,故有

i??

(6)

x ? 0 时 i ? 0 ,电流为负值表示线框中电流的方向与设定的正方向相反,即在线框进入磁场

区域时右侧边的电流实际流向是向上的.外磁场作用于线框的安培力

f ? Bl 2 i ? ?

2 B 2l2 x L

(7)

其大小与线框位移 x 成正比,方向与位移 x 相反,具有“弹性力”的性质.下面分两种情形 做进一步分析: (i)线框的初速度 v 0 较小,在安培力的作用下,当它的速度减为 0 时,整个线框未全 部进入磁场区,这时在安培力的继续作用下,线框将反向运动,最后退出磁场区.线框一进 一出的运动是一个简谐振动的半个周期内的运动,振动的圆频率

??
周期

2 B 2l2 Lm

(8)

T ? 2π

Lm 2 B 2l2

(9)

振动的振幅可由能量关系求得,令 xm 表示线框速度减为 0 时进入磁场区的深度,这时线框 的初始动能全部转换为“弹性力”的“弹性势能” ,由能量守恒可得
2 1 2 1 ? B 2l2 ? 2 mv0 ? ? ? xm 2 2? L ?

(10)

-9-

2007 年第 24 届全国中学生物理竞赛复赛



xm ?
故其运动方程为

2 Lmv0 2 B 2l2

(11)

x?

v0 Lm Lm ? Bl2 ? sin ? t?, t 从 0 到π Bl2 Bl2 ? Lm ?

(12)

半个周期后,线框退出磁场区,将以速度 v 0 向左匀速运动.因为在这种情况下 x m 的最大值 是 l1 ,即

1 1 B 2 l22 2 2 m v0 ? l1 2 2 L
由此可知,发生第(i)种情况时, v 0 的值要满足下式
2 1 2 1 ? B 2l2 ? 2 mv0 ? ? ? l1 2 2? L ?

(13)



v0 ?

Bl1l2 mL

(14)

(ii) 若线框的初速度 v 0 比较大, 整个线框能全部进入磁场区. 当线框刚进入磁场区时, 其速度仍大于 0,这要求 v 0 满足下式

v0 ?

Bl2 l1 mL

(15)

当线框的初速度满足(15)式时,线框能全部进入磁场区,在全部进入磁场区域以前, 线框的运动方程与(12)式相同,但位移区间是 x ? 0 到 x ? l1 ,所以时间间隔与(12)式不 同,而是从 0 到

t1 ?

Bl1l2 ? Lm ? ?arcsin ? 2 Bl2 ? Lmv0 ? ? ?

(16)

因为线框的总电动势总是为 0,所以一旦线框全部进入磁场区域,线框的两条边都切 割磁感应线,所产生的电动势之和为 0,因而自感电动势也为 0.此后线框中维持有最大的 电流 im ? ?

Bl2 l1 ,磁场对线框两条边的安培力的合力等于零,线框将在磁场区域匀速前进, L
2 1 1 1 B 2 l2 2 2 m v0 ? m v 2 ? l1 2 2 2 L

运动的速度可由下式决定

- 10 -

2007 年第 24 届全国中学生物理竞赛复赛

2 即 v ? v0 ?

2 B 2l12l2 Lm

(17)

五、参考解答: 解法一: 1.由于等离子层的厚度远小于地球的半径,故在所考察的等离子区域内的引力场和磁场 都可视为匀强场.在该区域内磁场的磁感应强度

3.0 ? 10 ?R ? B ? ? 0 ? B0 ? T ? 2.4 ? 10-7 T 125 ? r ?
引力加速度

3

?5

(1)

9.8 ?R ? g ? ? 0 ? g0 ? m/s2 ? 0.39m/s 2 r ? 25 ?
考察等离子层中的某一质量为 m、电荷量为 q、初速 度为 u 的粒子,取粒子所在处为坐标原点 O,作一直角坐 标系 Oxyz,Ox 轴指向地球中心,Oz 沿磁场方向,如图 1 所示.该粒子的初速度在坐标系中的三个分量分别为 ux、 uz v0 ux x
图1

2

(2)

z

uy 和 uz.因作用于粒子的引力沿 x 轴正方向,作用于粒子
的洛伦兹力与 z 轴垂直,故粒子在 z 轴方向不受力作用, 沿 z 轴的分速度保持不变. 现设想在开始时刻,附加给粒 子一沿 y 轴正方向大小为 v0 的速度, 同时附加给粒子一沿 y 轴负方向大小为 v0 的速度, 要求与其中一个 v0 相联系的 洛伦兹力正好与粒子所受的地球引力相平衡,即

O

uy

v0 v

uy ? v0

y

qv0 B ? mg
得 v0 ?

mg qB

(3)

用 v 表示 ux 与沿 y 轴的速度 u y ? v0 的合速度(对质子取正号,对电子取负号) ,有
2 v ? ux ? ? u y ? v0 ? 2

(4) 这样,所考察的粒子的速度可分为三部分: 沿 z 轴的分速度 u z .其大小和方向都保持不变,但对不同的粒子是不同的,属于等离 子层中粒子的无规则运动的速度分量. 沿 y 轴的速度 v0 .对带正电的粒子,速度的方向沿 y 轴的负方向,对带负电的粒子, 速度的方向沿 y 轴的正方向. 与这速度联系的洛伦兹力正好和引力抵消, 故粒子将以速率 v0 沿 y 轴运动.由(3)式可知, v0 的大小是恒定的,与粒子的初速度无关,且对同种的粒子 相同.

- 11 -

2007 年第 24 届全国中学生物理竞赛复赛

在 Oxy 平面内的速度 v .与这速度联系的洛伦兹力使粒子在 Oxy 平面内作速率为 v 的 匀速率圆周运动,若以 R 表示圆周的半径,则有

qvB ? m
得R?

v2 R

mv qB

(5)

由(4)(5)式可知,轨道半径不仅与粒子的质量有关,而且与粒子的初速度的 x 分量 ux 和 、 y 分量 uy 有关. 圆周运动的速度方向是随时间变化的, 在圆周运动的一个周期内的平均速度 等于 0. 由此可见,等离子层内电子和质子的运动虽然相当复杂,但每个粒子都具有由(3)式 给出的速度 v0 ,其方向垂直于粒子所在处的地球引力方向,对电子,方向向西,对质子, 方向向东.电子、质子这种运动称为漂移运动,对应的速度称为漂移速度.漂移运动是粒子 的定向运动,电子、质子的定向运动就形成了环绕地球中心的环形电流. 由(3)式和(1)(2)两式以及有关数据可得电子和质子的漂移速度分别为 、

v0e ? 9.2 ?10?6 m/s

(6) (7)

v0p ? 1.7 ?10?2 m/s

由于电子、质子漂移速度的方向相反,电荷异号,它们产生的电流方向相同,均为沿 纬度向东.根据电流密度的定义有

j ? nq ? v0p ? v0e ?
代入有关数据得

(8)

j ? 2.8 ?10?14 A/m2
电流密度的方向沿纬度向东. 2.上一小题的讨论表明,粒子在 Oxy 平面内作圆周运动,运动的速率由(4)式给出, 它与粒子的初速度有关.对初速度方向指向地心的粒子,圆周运动的速率为
2 2 v ? ux ? v0

(9)

(10)

由(1)、(2)、(3)、(5)、(10)各式并代入题给的有关数据可得电子、质子的轨道 半径分别为

Re ? 0.33m

(11) (12)

Rp ? 14.8m
以上的计算表明,虽然粒子具有沿引力方向的初速度,但由于粒子还受到磁场的作用, 电子和质子在地球半径方向的最大下降距离分别为 2 Re ? 0.66 m 和 2Rp ? 29.6 m ,都远小于 等离子层的厚度,所考察的电子和质子仍在等离子层内运动,不会落到地面上.
- 12 -

2007 年第 24 届全国中学生物理竞赛复赛

解法二:. 1.由于等离子层的厚度远小于地球半径,故在所考察等离子区域内的引力场和磁场都可 视为匀强场.在该区域内磁场的磁感应强度

3.0 ? 10 ?R ? B ? ? 0 ? B0 ? T ? 2.4 ? 10?? T r ? 125 ?
引力加速度

3

?5

(1)

9.8 ?R ? g ? ? 0 ? g0 ? m/s2 ? 0.39m/s 2 25 ? r ?
考察等离子层中的某一质量为 m,电荷量为 q、初速度为 u 的粒子, 取粒子所在处为坐标原点 O, 作一直角坐标系 Oxyz, Ox 轴指向地球中心,Oz 沿磁场方向,如图 1 所示.该粒子的初 速度在坐标系中的三个分量分别为 ux、uy 和 uz. 若以 vx 、vy 、 y vz 表示粒子在任意时刻 t 的速度 v 在 x 方向、 方向和 z 方向的 分速度,则带电粒子在引力和洛伦兹力的共同作用下的运动方 程为 x O vx vz z

2

(2)

vy y
图1

m

? dvx mg ? ? mg ? qv y B ? qB ? v y ? ? dt qB ? ?
(3) dv y m ? ?qvx B dt

(4)

m

dvz ?0 dt

(5) (5)式表明,所考察粒子的速度在 z 轴上的分量保持不变,即

vz ? u z
作变量代换,令

(6)

Vx ? v x
其中

Vy ? v y ? v0

(7)

v0 ?
把(7)(8)式代入(3)(4)式得 、 、

mg qB

(8)

dVx ? qBVy dt dV y m ? ? qVx B dt m
由(9) 、(10) 两式可知,作用于粒子的力 F 在 x 和 y 方向的分量分别为

(9) (10)

- 13 -

2007 年第 24 届全国中学生物理竞赛复赛

Fx ? qBVy Fy ? ?qBVx
若用 ? 1 表示 F 的方向与 x 轴的夹角, ? 2 表示 V 的方向与 x 轴的夹角,而 V ? Vx2 ? Vy2 ,则 有

tan ?1 ?

Fy Fx

??

Vx Vy

tan ? 2 ?

Vy Vx

可见 tan ?1 ? tan ?2 ? ?1 ,表明 F 的方向与 V 的方向垂直,粒子将在 F 的作用下在 Oxy 平面 内作速率为 V 的匀速圆周运动.若以 R 表示圆周的半径,则有

qVB ? m

V2 R
(11)

R?

mV qB

在匀速圆周运动中,V 的大小是不变的,任何时刻 V 的值也就是 t ? 0 时刻 V 的值,由(7) 式和已知条件在 t ? 0 时刻有

Vx ? ux Vy ? u y ? v0
2 故有 V ? ux ? u y ? v0

?

?

2

(12)

以上讨论表明,粒子的运动可分成三部分: 根据(6)式 vz ? uz ,可知粒子沿 z 轴的分速度大小和方向都保持不变,但对不同的粒 子是不同的,属于等离子层中粒子的无规则运动的速度分量. 根据(7)式可得 vx ? Vx , vy ? Vy ? v0 ,表明粒子在 Oxy 平面内以速率 V 作圆周运动 的同时,又以速度 v0 沿 y 轴运动.Vx 、Vy 是圆周运动速度的 x 分量和 y 分量.圆周运动的 轨道半径不仅与粒子的质量有关,而且与粒子的初速度的 x 分量 ux 和 y 分量 uy 有关.圆周 运动的速度方向是随时间变化的,在圆周运动的一个周期内的平均速度等于 0. 沿 y 轴的速度 v0 由(8)式给出,其大小是恒定的,与粒子的初速度无关,同种粒子 相同,但对带正电的粒子,其方向沿 y 轴的负方向,对带负电的粒子,其方向沿 y 轴的正方 向. 由此可见,等离子层内电子和质子虽然相当复杂,但每个粒子都具有由(8)式给出的 速度 v0 ,其方向垂直于粒子所在处的地球引力,对电子,方向向西,对质子,方向向东.电 子、质子这种运动称为漂移运动,对应的速度称为漂移速度.漂移运动是粒子的定向运动,

- 14 -

2007 年第 24 届全国中学生物理竞赛复赛

电子、质子的定向运动就形成了环绕地球中心的环形电流. 由(8)式和(1)(2)两式以及有关数据可得电子和质子的漂移速度分别为 、

v0e ? 9.2 ?10?6 m/s

(13) (14)

v0p ? 1.7 ?10?2 m/s
由于电子、质子漂移速度的方相反,电荷异号,它们产生的电流方向相同,均为沿纬 度向东.根据电流密度的定义有

j ? nq ? v0p ? v0e ?
代入有关数据得

(15)

j ? 2.8 ?10?14 A/m2
电流密度的方向沿纬度向东.

(16)

2.上一小题的讨论表明,粒子在 Oxy 平面内作圆周运动,运动的速率由(12)式给出, 它与粒子的初速度有关.对初速度方向指向地心的粒子,圆周运动的速率为
2 2 V ? ux ? v0

(17)

因题给出的电子与质子的初速度 ux 是不同的,电子、质子的质量又是不同的,故电子、质 子在 Oxy 平面内作圆周运动的半径也是不同的.由(1)、(2)、(8)、(11)、(12) 各式并代入有关数据可得电子、质子的轨道半径分别为

Re ? 0.33m

(18) (19)

Rp ? 14.8m

以上的计算表明,虽然粒子具有沿引力方向的初速度,但由于粒子还受到磁场的作用, 电子和质子在地球半径方向的最大下降距离分别为 2Re ? 0.66m 和 2Rp ? 29.6m ,都远小于 电离层的厚度,所考察的电子和质子仍在等离子层内运动,不会落到地面上.

- 15 -


推荐相关:

第二十四届全国中学生物理竞赛复赛试题及答案

第二十四届全国中学生物理竞赛复赛试题及答案_学科竞赛_高中教育_教育专区。第 24 届全国中学生物理竞赛复赛试卷 (本题共七大题,满分 160 分) 本题共七大题,一...


第二十四届全国高中生物理竞赛复赛试题及答案

第二十四届全国高中生物理竞赛复赛试题及答案_学科竞赛_高中教育_教育专区。2007 年第 24 届全国中学生物理竞赛复赛 第 24 届全国中学生物理竞赛复赛试卷一、 (20...


第28届全国中学生物理竞赛复赛试题及答案

第28届全国中学生物理竞赛复赛试题及答案_初三理化生_理化生_初中教育_教育专区。高中物理竞赛复赛 第28 届全国中学生物理竞赛复赛试题(2011) 一、(20 分)如图所示...


第27届全国中学生物理竞赛复赛试题及答案

第27届全国中学生物理竞赛复赛试题及答案_学科竞赛_初中教育_教育专区。高中物理竞赛复赛 第27 届全国中学生物理竞赛复赛试卷本卷共九题,满分 160 分.计算题的解答...


第二十届全国高中生物理竞赛复赛试题及答案

第二十届全国高中生物理竞赛复赛试题及答案_高一理化生_理化生_高中教育_教育专区。金中物理在线 第二十届全国中学生物理竞赛复赛试卷题号 得分 复核人 一二三四...


第二十一届全国中学生物理竞赛复赛试题及答案

第二十届全国中学生物理竞赛复赛试题本卷共七题,满分 140 分. 一、(20 分)薄膜材料气密性能的优劣常用其透气系数来加以评判.对于均匀薄膜材料,在一定温度下,...


2014年第31届全国中学生物理竞赛复赛试题及答案(全Word版)

2014年第31届全国中学生物理竞赛复赛试题及答案(全Word版)_学科竞赛_高中教育_教育专区。2014年 第31届全国中学生物理竞赛复赛试题及答案(全Word版) 原版无水印第...


2014年第二十四届全国初中应用物理竞赛试题及答案

2014年第二十四届全国初中应用物理竞赛试题及答案_学科竞赛_初中教育_教育专区。2014年第二十四届全国初中应用物理竞赛试题及答案2014 年第二十四届全国初中应用物理...


第26届全国中学生物理竞赛复赛试题及答案

第26届全国中学生物理竞赛复赛试题及答案 2009年2009年第26届全国中学生物理竞赛复赛试题2009年2009年第26届全国中学生物理竞赛复赛试题隐藏>> 2009年第26届全国中学生...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 简单学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com