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福建省泉州市泉港五中2014-2015学年高一上学期期中数学试卷 Word版含解析


2014-2015 学年福建省泉州市泉港五中高一(上)期中数学试卷
一、选择题(本大题共 12 小题,每题 5 分,计 60 分,每题只有一个答案是正确的) 1. (5 分)已知全集 U={1,2,3,4,5},集合 A={1,2},B={2,3,4},则(?UA)∩B=() A.{2} B.{3,4} C.{1,4,5} D.{2,3,4,5}
0

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2. (5 分)函数 f(x)=(1+x) ﹣ A.{x|x≤﹣1} 3. (5 分)已知点 A.f(x)=x B.{x|x≥﹣1}

的定义域为() C.{x|x≥﹣1,且 x≠0} D.{x|x>﹣1,且 x≠0}

在幂函数 f(x)的图象上,则 f(x)的表达式为() B.f(x)=x C.f(x)=x
2

D.f(x)=x

﹣2

4. (5 分)下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)单调递增的是() A.y=x
3

B.y=﹣x +1
x

2

C.y=|x|+1

D.y=2

﹣|x|

5. (5 分)函数 f(x)=2 +3x 的零点所在的一个区间是() A.(﹣2,﹣1) B.(﹣1,0) C.(0,1)

D.(1,2)

6. (5 分)下表显示出函数 y 随自变量 x 变化的一组数据,由此可判断它最可能的函数模型为 () x﹣2 ﹣1 0 1 2 3 y\frac{1}{16}0.261.113.9616.0563.98 A.一次函数模型 B.二次函数模型
2

C.指数函数模型

D.对数函数模型

7. (5 分)函数 f(x)=2x ﹣mx+3,在 x∈[﹣2,+∞)时为增函数,x∈(﹣∞,﹣2]时为减函 数,则 f(1)等于() A.﹣3 B.13 C. 7 D.由 m 的值而定 8. (5 分)函数 y=2 的图象是()
|x|

A.

B.

C.

D.

9. (5 分)函数 f(x)=

的图象()

A.关于原点对称 C. 关于 x 轴对称
0.3

B. 关于直线 y=x 对称 D.关于 y 轴对称

10. (5 分)设 a=3 ,b=logπ3,c=log0.32 则 a,b,c 的大小关系是() A.a<b<c B.c<b<a C.b<a<c D.c<a<b

11. (5 分)已知 f(x)= A.2 B.

,那么 f(﹣3)等于() C. D.8

12. (5 分)若一系列函数的解析式相同,值域相同,但定义域不同,则称这些函数为“孪生函 2 数”,那么解析式为 y=2x ﹣1,值域为{1,7}的“孪生函数”的所有函数值的和等于() A.32 B.64 C.72 D.96

二、填空题(本大题共 4 题,每题 4 分,计 16 分) 13. (4 分)已知 f(x+1)=2x﹣1,则 f(﹣3)=. 14. (4 分)计算:0.25
﹣0.5

﹣log525=.

15. (4 分)函数 f(x)=loga(x+1)﹣2(a>0,a≠1)的图象恒过定点 P,则 P 点的坐标是. 16. (4 分)已知 f(x)是定义在(﹣2,2)上的减函数,并且 f(m﹣1)﹣f(1﹣2m)>0, 则实数 m 的取值范围为.

三、解答题(共 6 题,满分 74 分) 17. (12 分)设集合 A={x|﹣1≤x<3},B={x|2x﹣4≥x﹣2},C={x|x≥a﹣1}. (1)求 A∩B、?RA; (2)若 B∪C=C,求实数 a 的取值范围. 18. (12 分)探究函数 f(x)=2x+ ﹣3,x∈(0,+∞)上的最小值,并确定取得最小值时 x 的值.列表如下: x … 0.5 1 y … 14 7

1.5 1.7 1.9 2 5.34 5.11 5.01 5

2.1 2.2 2.3 3 4 5.01 5.04 5.08 5.67 7

5 8.6

7 … 12.14 …

(1)观察表中 y 值随 x 值变化趋势特点,请你直接写出函数 f(x)=2x+ ﹣3,x∈(0,+∞) 的单调区间,并指出当 x 取何值时函数的最小值为多少; (2)用单调性定义证明函数 f(x)=2x+ ﹣3 在(0,2)上的单调性.

19. (12 分)已知函数 f(x)=2 +2

x

ax+b

,且





(1)求 a、b 的值; (2)判断 f(x)的奇偶性并证明. 20. (12 分)已知 a>0,a≠1 且 loga3>loga2,若函数 f(x)=logax 在区间[a,3a]上的最大值 与最小值之差为 1. (1)求 a 的值; 2 (2)若 1≤x≤3,求函数 y=(logax) ﹣loga +2 的值域. 21. (12 分)有一个自来水厂,蓄水池有水 450 吨. 水厂每小时可向蓄水池注水 80 吨,同时 蓄水池又向居民小区供水,t 小时内供水量为 160 吨. 现在开始向池中注水并同时向居 民供水. 问多少小时后蓄水池中水量最少?并求出最少水量. 22. (14 分)定义在[﹣1,﹣1]上的偶函数 f(x) ,当 x∈[﹣1,0]时,f(x)= (1)写出 f(x)在[0,1]上的解析式; (2)求出 f(x)在[0,1]上的最大值; (3)若 f(x)是[0,1]上的增函数,求实数 a 的取值范围. (a∈R) .

2014-2015 学年福建省泉州市泉港五中高一(上)期中数 学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 12 小题,每题 5 分,计 60 分,每题只有一个答案是正确的) 1. (5 分)已知全集 U={1,2,3,4,5},集合 A={1,2},B={2,3,4},则(?UA)∩B=() A.{2} B.{3,4} C.{1,4,5} D.{2,3,4,5} 考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 集合. 分析: 先求出 A 的补集,再求出(?UA)∩B 即可. 解答: 解:∵ ={3,4,5},

∴(?UA)∩B={3,4}, 故选:B. 点评: 本题考查了集合的运算,是一道基础题
0

2. (5 分)函数 f(x)=(1+x) ﹣ A.{x|x≤﹣1} B.{x|x≥﹣1}

的定义域为() C.{x|x≥﹣1,且 x≠0} D.{x|x>﹣1,且 x≠0}

考点: 函数的定义域及其求法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 要使函数有意义,只需 1+x≠0 且 1+x≥0 且 x≠0,解之可得. 解答: 解:要使函数有意义,只需 1+x≠0 且 1+x≥0 且 x≠0, 解得 x>﹣1 且 x≠0, ∴函数 f(x)的定义域为{x|x>﹣1 且 x≠0}, 故选 D. 点评: 本题考查了函数求定义域,求定义域关键是求使得解析式有意义的变量的取值范围, 注意要表示成区间或集合形式,属于基础题.

3. (5 分)已知点 A.f(x)=x

在幂函数 f(x)的图象上,则 f(x)的表达式为() B.f(x)=x C.f(x)=x
2

D.f(x)=x

﹣2

考点: 幂函数的概念、解析式、定义域、值域. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 用待定系数法,设出幂函数 f(x)的解析式,由图象经过点 的值即可. α 解答: 解:设幂函数 f(x)=x (α∈R) , ∵它的图象经过点 ∴2 =
α

,求出 α

, ; .

解得:α=﹣ ∴f(x)=x

故选 B. 点评: 本题考查了用待定系数法求幂函数的解析式的问题,解题时应设出幂函数的解析式, 从而求出答案,是容易题. 4. (5 分)下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)单调递增的是() A.y=x
3

B.y=﹣x +1

2

C.y=|x|+1

D.y=2

﹣|x|

考点: 函数奇偶性的判断;函数单调性的判断与证明. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 分别判断每个函数的奇偶性和单调性. 3 解答: 解:A.函数 y=x 为奇函数,在(0,+∞)上单调递增,所以 A 不合适. 2 B.函数 y=﹣x +1 为偶数,但在(0,+∞)上单调递减,所以 B 不合适. C.函数 y=|x|+1 为偶函数,在(0,+∞)上单调递增,所以 C 合适. D.函数 y=2
﹣|x|

为偶函数,在(0,+∞)上单调递减,所以 D 不合适.

故选 C. 点评: 本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断,要求熟练掌握常见基本函数的奇偶性和 单调性. 5. (5 分)函数 f(x)=2 +3x 的零点所在的一个区间是() A.(﹣2,﹣1) B.(﹣1,0) C.(0,1)
x

D.(1,2)

考点: 函数的零点与方程根的关系;函数零点的判定定理. 专题: 函数的性质及应用. x 分析: 根据函数零点的判定定理求得函数 f(x)=2 +3x 的零点所在的一个区间. 解答: 解:由 ,以及及零点定理知,f(x)的零点在

区间(﹣1,0)上, 故选 B. 点评: 本题主要考查函数零点的概念与零点定理的应用,属于容易题. 6. (5 分)下表显示出函数 y 随自变量 x 变化的一组数据,由此可判断它最可能的函数模型为 () x﹣2 ﹣1 0 1 2 3 y\frac{1}{16}0.261.113.9616.0563.98 A.一次函数模型 B.二次函数模型 C.指数函数模型 D.对数函数模型

考点: 函数模型的选择与应用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由表格可知:无论 x<0,x=0,x>0,都有 y>0,故最有可能的是指数函数类型.设
x x

y=f(x)=ca (a>0 且 a≠1) ,由

,解得

.可得 f(x)=4 .再

进行验证即可. 解答: 解:由表格可知:无论 x<0,x=0,x>0,都有 y>0,故最有可能的是指数函数类 型.
x

设 y=f(x)=ca (a>0 且 a≠1) ,由
x

,解得



∴f(x)=4 . ﹣1 3 验证:f(﹣1)=4 =0.25 接近 0.26;f(0)=1 接近 1.11;f(1)=4 接近 3.96;f(3)=4 =64 接近 63.98. x 由上面验证可知:取函数 f(x)=4 .与所给表格拟合的较好. 故选 C. 点评: 本题考查了根据函数的性质和实际问题恰当选择函数模型解决实际问题,属于难题.

7. (5 分)函数 f(x)=2x ﹣mx+3,在 x∈[﹣2,+∞)时为增函数,x∈(﹣∞,﹣2]时为减函 数,则 f(1)等于() A.﹣3 B.13 C. 7 D.由 m 的值而定 考点: 二次函数的性质. 专题: 计算题. 分析: 根据题意,分析可得,对称轴方程与 x=﹣2 相等,求出 m 再代入计算 f(1)即可. 解答: 解:因为二次函数单调区间的分界点为其对称轴方程,所以 x= =﹣2,∴m=﹣8?f (1)=2×1 ﹣(﹣8)×1+3=13. 故选 B 点评: 本题考查二次函数图象的对称性,是基础题.二次函数是在中学阶段研究最透彻的 函数之一,二次函数的图象是抛物线,在解题时要会根据二次函数的图象分析问题,如二次函 数的对称轴方程,顶点坐标等. 8. (5 分)函数 y=2 的图象是()
|x| 2

2

A.

B.

C.

D.

考点: 指数函数的图像变换. 专题: 数形结合. 分析: 由已知中函数的解析式,结合指数函数的图象和性质及函数图象的对折变换法则, 我们可以判断出函数的奇偶性,单调性,及特殊点,逐一分析四个答案中的图象,即可得到答 案. 解答: 解:∵f(﹣x)=2 =2 =f(x) |x| ∴y=2 是偶函数, |x| 又∵函数 y=2 在[0,+∞)上单调递增,故 C 错误. 且当 x=0 时,y=1;x=1 时,y=2,故 A,D 错误 故选 B 点评: 本题考查的知识点是指数函数的图象变换,其中根据函数的解析式,分析出函数的 性质,进而得到函数的形状是解答本题的关键.
|﹣x| |x|

9. (5 分)函数 f(x)= A.关于原点对称 C. 关于 x 轴对称

的图象() B. 关于直线 y=x 对称 D.关于 y 轴对称

考点: 函数的图象. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据奇函数的定义和性质即可得到答案.

解答: 解:∵f(x)=

的定义域为 R,

∵f(x)= ∴f(﹣x)=

=2 ﹣
x

x


x

﹣2 =﹣(2 ﹣

)=﹣f(x) ,

∴f(x)为奇函数, 故图象关于原点对称, 故选:A 点评: 本题主要考查了函数的图象和性质,属于基础题. 10. (5 分)设 a=3 ,b=logπ3,c=log0.32 则 a,b,c 的大小关系是() A.a<b<c B.c<b<a C.b<a<c D.c<a<b 考点: 对数函数的单调性与特殊点. 专题: 函数的性质及应用. 0.3 分析: 根据指数函数、对数函数的单调性和特殊点可得 a=3 >1,b=logπ3<1,c=log0.32> 0,从而得到 a,b,c 的大小关系. 解答: 解:由于 a=3 >3 =1,b=logπ3<logππ=1,c=log0.32>log0.31=0, 故有 c<b<a, 故选 B. 点评: 本题主要考查指数函数、对数函数的单调性和特殊点,属于中档题.
0.3 0 0.3

11. (5 分)已知 f(x)= A.2 B.

,那么 f(﹣3)等于() C. D.8

考点: 函数的值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由已知得 f(﹣3)=f(﹣1)=f(1)=f(3)= = .

解答: 解:∵f(x)= ∴f(﹣3)=f(﹣1)=f(1)=f(3)=



= .

故选:C. 点评: 本题考查函数值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意分段函数的性质的合 理运用.

12. (5 分)若一系列函数的解析式相同,值域相同,但定义域不同,则称这些函数为“孪生函 数”,那么解析式为 y=2x ﹣1,值域为{1,7}的“孪生函数”的所有函数值的和等于() A.32 B.64 C.72 D.96 考点: 函数的值. 专题: 计算题;新定义. 分析: 根据已知中若一系列函数的解析式相同,值域相同,但定义域不同,则称这些函数 为“孪生函数”,再由函数解析式为 y=2x ﹣1,值域为{1,7},由 y=1 时,x=±1,y=7 时,x=±2, 2 我们用列举法,可以得到函数解析式为 y=2x ﹣1,值域为{1,7}的所有“孪生函数”,进而得到 答案. 2 解答: 解:由题意可得,当函数解析式为 y=2x ﹣1,值域为{1,7}时, 函数的定义域可能为:{﹣2,﹣1},{﹣2,1},{2,﹣1},{2,1},{﹣2,﹣1,1},{﹣2, ﹣1,2},{﹣1,1,2},{﹣2,1,2},{﹣2,﹣1,1,2},共 9 个 ∴所有的函数值的和为(7+1)×9=72 故选 C 点评: 本题考查的知识点是新定义,函数的三要素,基本用列举法,是解答此类问题的常 用方法,但列举时,要注意一定的规则,以免重复和遗漏. 二、填空题(本大题共 4 题,每题 4 分,计 16 分) 13. (4 分)已知 f(x+1)=2x﹣1,则 f(﹣3)=﹣9. 考点: 函数的值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由已知条件利用函数的性质得 f(﹣3)=f(﹣4+1)=2×(﹣4)﹣1=﹣9. 解答: 解:∵f(x+1)=2x﹣1, ∴f(﹣3)=f(﹣4+1)=2×(﹣4)﹣1=﹣9. 故答案为:﹣9. 点评: 本题考查函数值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意函数性质的合理运用. 14. (4 分)计算:0.25
﹣0.5

2

2

﹣log525=0.

考点: 对数的运算性质;有理数指数幂的化简求值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用指数幂的运算法则和对数的运算法则即可得出. 解答: 解:原式= =2﹣2=0.

故答案为 0. 点评: 本题考查了指数幂的运算法则和对数的运算法则,属于基础题. 15. (4 分)函数 f(x)=loga(x+1)﹣2(a>0,a≠1)的图象恒过定点 P,则 P 点的坐标是(0, ﹣2) . 考点: 对数函数的图像与性质. 专题: 计算题;函数的性质及应用.

分析: 由于函数 y=logax 的图象恒过定点(1,0) ,将 y=logax 的图象先向左平移 1 个单位, 再下平移 2 个单位,即可得到函数 f(x)的图象,进而得到定点. 解答: 解:由于函数 y=logax 的图象恒过定点(1,0) , 将 y=logax 的图象先向左平移 1 个单位,再下平移 2 个单位, 即可得到函数 f(x)=loga(x+1)﹣2(a>0,a≠1)的图象, 则恒过定点(0,﹣2) . 故答案为: (0,﹣2) . 点评: 本题考查对数函数的图象的特征,考查函数图象的变换规律,属于基础题. 16. (4 分)已知 f(x)是定义在(﹣2,2)上的减函数,并且 f(m﹣1)﹣f(1﹣2m)>0, 则实数 m 的取值范围为 .

考点: 函数单调性的性质. 专题: 计算题;转化思想. 分析: 由题设条件知,可先将不等式 f(m﹣1)﹣f(1﹣2m)>0 可变为 f(m﹣1)>f(1 ﹣2m) ,再利用函数是减函数的性质将此抽象不等式转化为关于 m 的不等式组,解不等式组 即可得到 m 的取值范围. 解答: 解:由题意,不等式 f(m﹣1)﹣f(1﹣2m)>0 可变为 f(m﹣1)>f(1﹣2m) 又 f(x)是定义在(﹣2,2)上的减函数



,解之得

故答案为 点评: 本题函数单调性的性质,对不等式进行移项,方便使用函数的单调性转化是解题的 关键,本题考查了转化的思想及变形的能力. 三、解答题(共 6 题,满分 74 分) 17. (12 分)设集合 A={x|﹣1≤x<3},B={x|2x﹣4≥x﹣2},C={x|x≥a﹣1}. (1)求 A∩B、?RA; (2)若 B∪C=C,求实数 a 的取值范围. 考点: 交集及其运算;并集及其运算;补集及其运算. 专题: 计算题. 分析: (1) 求出集合 B 中不等式的解集确定出 B, 求出 A 与 B 的交集, 根据全集 R 求出 A 的补集即可; (2)根据 B∪C=C,得到 B 为 C 的子集,由 B 与 C 列出 a 的不等式,求出不等式的解集即可 确定出 a 的范围. 解答: 解: (1)由题意知,B={x|x≥2}, ∵A={x|﹣1≤x<3}, ∴A∩B={x|2≤x<3}, ∵全集 R,∴CRA={x|x<﹣1 或 x≥3};

(2)∵B∪C=C,∴B?C, ∴a﹣1≤2,即 a≤3. 点评: 此题考查了交、并、补集及其运算,熟练掌握各自的定义是解本题的关键. 18. (12 分)探究函数 f(x)=2x+ ﹣3,x∈(0,+∞)上的最小值,并确定取得最小值时 x 的值.列表如下: x … 0.5 1 y … 14 7

1.5 1.7 1.9 2 5.34 5.11 5.01 5

2.1 2.2 2.3 3 4 5.01 5.04 5.08 5.67 7

5 8.6

7 … 12.14 …

(1)观察表中 y 值随 x 值变化趋势特点,请你直接写出函数 f(x)=2x+ ﹣3,x∈(0,+∞) 的单调区间,并指出当 x 取何值时函数的最小值为多少; (2)用单调性定义证明函数 f(x)=2x+ ﹣3 在(0,2)上的单调性.

考点: 函数单调性的判断与证明;函数的值域. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)根据表格数据的变化,确定函数的单调区间和函数的最小值点. (2)利单调性的定义证明函数的单调性. 解答: 解(1)由表中可知 f(x)在 (0,2]为减函数,[2,+∞)为增函数. 并且当 x=2 时 f(x)min=5. (2)证明:设 0<x1<x2<2, ∵ = =

, ∵0<x1<x2<2, ∴x1﹣x2<0,0<x1x2<4,x1x2﹣4<0, ∴f(x1)﹣f(x2)>0, 即 f(x1)>f(x2) . ∴f(x)在(0,2)为减函数. 点评: 本题主要考查函数单调性的判断,利用单调性的定义是解决函数单调性的基本方法.
x ax+b

19. (12 分)已知函数 f(x)=2 +2

,且





(1)求 a、b 的值; (2)判断 f(x)的奇偶性并证明. 考点: 函数奇偶性的判断. 专题: 函数的性质及应用.

分析: (1)直接根据



建立方程组,然后根据指数方程的求解方法

可求出 a、b 的值; (2)由(1)得 f(x)的解析式,然后求出函数的定义域,看其是否关于原点对称,然后根 据奇偶性的定义进行判定即可. 解答: 解: (1)∵f(x)=2 +2
x ax+b

,且











解得:


x
﹣x

(2)由(1)得 f(x)=2 +2 , ﹣x x ∵f(x)的定义域为 R,关于原点对称,且 f(﹣x)=2 +2 =f(x) , ∴f(x)为偶函数. 点评: 本题主要考查了指数方程的求解,以及函数奇偶性的判定,同时考查了运算求解的 能力,属于基础题. 20. (12 分)已知 a>0,a≠1 且 loga3>loga2,若函数 f(x)=logax 在区间[a,3a]上的最大值 与最小值之差为 1. (1)求 a 的值; (2)若 1≤x≤3,求函数 y=(logax) ﹣loga
2

+2 的值域.

考点: 二次函数在闭区间上的最值;函数的值域. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)由 ,可得 a>1,再根据 loga3a﹣logaa=1,求得 a 的值. ,利

(2)先求得 0≤log3x≤1,根据为 用二次函数的性质求得它的值域. 解答: 解: (1)∵ ,

∴a>1. 又∵y=logax 在[a,3a]上为增函数, ∴loga3a﹣logaa=1, 即 loga3=1,∴a=3. (2)∵1≤x≤3, ∴0≤log3x≤1, 由于函数 可化为 ,

故当 log3x= 时,函数 y 取得最小值为 当 log3x=1 时,函数 y 取得最大值为 , ∴所求函数的值域为 .



点评: 本题主要考查对数函数的定义域和值域,二次函数的性质应用,属于中档题. 21. (12 分)有一个自来水厂,蓄水池有水 450 吨. 水厂每小时可向蓄水池注水 80 吨,同时 蓄水池又向居民小区供水,t 小时内供水量为 160 吨. 现在开始向池中注水并同时向居 民供水. 问多少小时后蓄水池中水量最少?并求出最少水量. 考点: 函数模型的选择与应用. 专题: 应用题. 分析: 先根据题意设 t 小时后蓄水池内水量为 y 吨,得出蓄水池中水量 y 关于 t 的函数关系 式,再利用换元法求出此函数的最小值即可.本题解题过程中可设 ,从而 .转化成二次函数的最值问题求解. 解答: 解:设 t 小时后蓄水池内水量为 y 吨, (1 分) 根据题意,得 = = = (10 分) (5 分)

当 ,即 t=5 时,y 取得最小值是 50. (11 分) 答:5 小时后蓄水池中的水量最少,为 50 吨. (12 分) 点评: 本小题主要考查建立函数关系、二次函数的性质等基础知识,解决实际问题通常有 四个步骤: (1)阅读理解,认真审题; (2)引进数学符号,建立数学模型; (3)利用数学的方 法,得到数学结果; (4)转译成具体问题作出解答,其中关键是建立数学模型. 22. (14 分)定义在[﹣1,﹣1]上的偶函数 f(x) ,当 x∈[﹣1,0]时,f(x)= (1)写出 f(x)在[0,1]上的解析式; (2)求出 f(x)在[0,1]上的最大值; (3)若 f(x)是[0,1]上的增函数,求实数 a 的取值范围. 考点: 二次函数在闭区间上的最值;函数解析式的求解及常用方法;函数单调性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)设 x∈[0,1],则﹣x∈[﹣1,0],由条件可得 f(﹣x)的解析式.再由 f(﹣x) =f(x) ,可得 f(x)的解析式. (a∈R) .

(2)令 t=2 ,则 t∈[1,2],故有 f(x)=g(t)=t ﹣at= 的性质求得 g(t)的最大值. (3)由于 f(x)是[0,1]上的增函数,可得 g(t)=t ﹣at= 递增,故有 ≤1,由此求得实数 a 的取值范围.
2

x

2



,再利用二次函数



在[1,2]上单调

解答: 解: (1)设 x∈[0,1],则﹣x∈[﹣1,0],由题意可得 f(﹣x)= 再由 f(x)为偶函数,可得 f(﹣x)=f(x) , x x 故有 f(x)=4 ﹣a?2 ,x∈[0,1]. (2)令 t=2 ,∵x∈[0,1],∴t∈[1,2],故有 f(x)=g(t)=t ﹣at= 显然,g(t)是二次函数,对称轴为 t= ,图象开口向上. 当 ≤ 时,即 a≤3 时,g(t)的最大值为 g(2)=4﹣2a; 当 > 时,即 a>3 时,g(t)的最大值为 g(1)=1﹣a.
x 2



=4 ﹣a?2 .

x

x





综上可得,a≤3 时,g(t)的最大值为 4﹣2a;a>3 时,g(t)的最大值为 1﹣a. (3)由于 f(x)是[0,1]上的增函数,故 g(t)=t ﹣at= 增, 故有 ≤1,解得 a≤2,故实数 a 的取值范围为(﹣∞,2]. 点评: 本题主要考查求函数的解析式,求二次函数在闭区间上的最值,函数的单调性的应 用,体现了分类讨论的数学思想,属于中档题.
2



在[1,2]上单调递


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