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2018版高中数学(人教A版)必修5同步教师用书:必修5 第1章 1.1.2 余弦定理


1.1.2 余弦定理 1.掌握余弦定理及其推论.(重点) 2.掌握正、余弦定理的综合应用.(难点) 3.能应用余弦定理判断三角形的形状.(易错点) [基础· 初探] 教材整理 1 余弦定理及其变形 阅读教材 P5~P6 完成下列问题. 1.三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的 夹角的余弦的积的两倍. 即 a2=b2+c2-2bccos_A,b2=a2+c2-2accos_B, c2=a2+b2-2abcos_C. 2.余弦定理的变形 b2+c2-a2 cos A= 2bc ; cos B= a2+c2-b2 ; 2ac a2+b2-c2 cos C= 2ab . 1.在△ABC 中,已知 a=4,b=6,C=120° ,则边 c=________. 【解析】 =76,c=2 19. 【答案】 2 19 根据余弦定理 c2=a2+b2-2abcos C=16+36-2×4×6cos 120° 2.在△ABC 中,a=1,b= 3,c=2,则 B=________. 【解析】 【答案】 教材整理 2 c2+a2-b2 4+1-3 1 cos B= 2ac = =2,B=60° . 4 60° 余弦定理及其变形的应用 阅读教材 P6~P7,完成下列问题. 1.利用余弦定理的变形判定角 在△ABC 中,c2=a2+b2?C 为直角;c2>a2+b2?C 为钝角;c2<a2+b2?C 为锐角. 2.应用余弦定理我们可以解决两类解三角形问题. (1)已知三边,求三角. (2)已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角. 1.在△ABC 中,若 a2=b2+bc+c2,则 A=________. 【解析】 ∵a2=b2+bc+c2, ∴b2+c2-a2=-bc, ∴cos A= b2+c2-a2 -bc 1 = =- 2bc 2bc 2, 又∵A 为△ABC 的内角, ∴A=120° . 【答案】 120° 2.以下说法正确的是________(填序号). ①在三角形中,已知两边及一边的对角,可用正弦定理解三角形,但不能用 余弦定理去解; ②余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系, 因此, 它适应于任何三角形; ③利用余弦定理,可解决已知三角形三边求角问题; ④在三角形中,勾股定理是余弦定理的一个特例. 【解析】 ①错误.由正、余弦定理的特征可知在三角形中,已知两边及一 边的对角,既可以用正弦定理,也可以用余弦定理求解. ②正确.余弦定理反映了任意三角形的边角关系,它适合于任何三角形. ③正确.结合余弦定理公式及三角函数知识可知正确. ④正确.余弦定理可以看作勾股定理的推广. 【答案】 ②③④ [小组合作型] 已知两边及一角解三角 形 在△ABC 中,已知 b=3,c=3 3,B=30° ,求角 A,角 C 和边 a. 【精彩点拨】 解答本题可先由正弦定理求出角 C,然后再求其他的边和 角.也可以由余弦定理列出关于边长 a 的方程,首先求出边长 a,再由正弦定理 求角 A,角 C. 【自主解答】 法一:由余弦定理 b2=a2+c2-2accos B, 得 32=a2+(3 3)2-2a×3 3×cos 30° , ∴a2-9a+18=0,得 a=3 或 6. 当 a=3 时,A=30° ,∴C=120° . asin B b = 3 =1. 1 6×2 当 a=6 时,由正弦定理 sin A= ∴A=90° ,∴C=60° . 1 3 3 法二:由 b<c,B=30° ,b>csin 30


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