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高中数学竞赛教材讲义 第六章 三角函数


第六章

三角函数

一、基础知识 定义 1 角,一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。若旋转方向为逆时针方向,则角 为正角,若旋转方向为顺时针方向,则角为负角,若不旋转则为零角。角的大小是任意的。 定义 2 角度制,把一周角 360 等分,每一等价为一度,弧度制:把等于半径长的圆弧所对的 圆心角叫做一弧度。360 度=2π 弧度。若圆

心角的弧长为 L,则其弧度数的绝对值|α |=

L , r

其中 r 是圆的半径。 定义 3 三角函数,在直角坐标平面内,把角α 的顶点放在原点,始边与 x 轴的正半轴重合, 在角的终边上任意取一个不同于原点的点 P,设它的坐标为(x,y) ,到原点的距离为 r,则正

y x y x ,余弦函数 cosα = ,正切函数 tanα = ,余切函数 cotα = ,正割函数 r r x y r r secα = ,余割函数 cscα = . x y 1 1 1 定理 1 同角三角函数的基本关系式, 倒数关系: α = tan ,sinα = , sα = co ; cot ? csc ? sec ? sin ? cos ? , cot ? ? 商数关系: α = tan ; 乘积关系: α ×cosα =sinα ,cotα ×sinα =cos tan cos ? sin ?
弦函数 sinα = α ;平方关系:sin α +cos α =1, tan α +1=sec α , cot α +1=csc α . 定理 2 诱导公式 (Ⅰ)in(α +π )=-sinα , cos(π +α )=-cosα , tan(π +α )=tanα , cot(π + s α )=cotα ;(Ⅱ)sin(-α )=-sinα , cos(-α )=cosα , tan(-α )=-tanα , cot(-α )=cotα ; (Ⅲ)sin(π -α )=sinα , cos(π -α )=-cosα , tan=(π -α )=-tanα , cot(π -α )=-cotα ; (Ⅳ)sin ?
2 2 2 2 2 2

?? ? ?? ? ?? ? ? ? ? =cosα , cos ? ? ? ? =sinα , tan ? ? ? ? =cotα (奇变偶不变,符号 ?2 ? ?2 ? ?2 ?

看象限) 。 定理 3 正弦函数的性质,根据图象可得 y=sinx(x∈R)的性质如下。单调区间:在区间

? 3 ? ? ?? ? ? ?2k? ? 2 ,2k? ? 2 ? 上为增函数,在区间 ?2k? ? 2 ,2k? ? 2 ? ? 上为减函数,最小正周期为 ? ? ? ? ? ? 2 ? . 奇偶数. 有界性:当且仅当 x=2kx+ 时,y 取最大值 1,当且仅当 x=3k ? - 时, y 取 2 2 ? 最小值-1。对称性:直线 x=k ? + 均为其对称轴,点(k ? , 0)均为其对称中心,值域为[-1, 2
1]。这里 k∈Z. 定理 4 余弦函数的性质,根据图象可得 y=cosx(x∈R)的性质。单调区间:在区间[2kπ , 2kπ +π ]上单调递减,在区间[2kπ -π , 2kπ ]上单调递增。最小正周期为 2π 。奇偶性:偶 函数。对称性:直线 x=kπ 均为其对称轴,点 ? k? ?

? ?

?

? ,0 ? 均为其对称中心。有界性:当且仅 2 ?

当 x=2kπ 时,y 取最大值 1;当且仅当 x=2kπ -π 时,y 取最小值-1。值域为[-1,1]。这里 k∈Z. 定理 5 正切函数的性质:由图象知奇函数 y=tanx(x ? kπ +

上为增函数, 最小正周期为 π ,值域为(-∞,+∞) ,点(kπ ,0)(kπ + ,

? ? ? )在开区间(kπ - , kπ + ) 2 2 2 ?
2

,0)均为其对

称中心。 定理 6 两角和与差的基本关系式: s(α ? β )=cosα cosβ ? sinα sinβ ,sin(α ? β )=sin co

用心 爱心 专心

-1-

α cosβ ? cosα sinβ ; tan(α ? β )= 定理 7 和差化积与积化和差公式:

(tan? ? tan ? ) . (1 ? tan? tan ? )

?? ? ? ? ?? ? cos ? ? 2 ? ? ?? ? ? ? ?? cosα +cosβ =2cos ? ? cos ? ? 2 ? ? 1 sinα cosβ = [sin(α +β )+sin(α 2 1 cosα cosβ = [cos(α +β )+cos(α 2
sinα +sinβ =2sin ?

?? 2 ?? 2

? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ,sinα -sinβ =2sin ? ? cos ? ?, ? ? 2 ? ? 2 ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? , cosα -cosβ =-2sin ? ? sin ? ?, ? ? 2 ? ? 2 ? 1 -β )],cosα sinβ = [sin(α +β )-sin(α -β )], 2 1 -β )],sinα sinβ =- [cos(α +β )-cos(α -β )]. 2
2 2 2 2

定理 8 倍角公式:sin2α =2sinα cosα , cos2α =cos α -sin α =2cos α -1=1-2sin α ,

tan2α =

2 tan? . (1 ? tan2 ? )

(1 ? cos? ) (1 ? cos? ) ?? ? ?? ? ,cos ? ? = ? , ?=? 2 2 ?2? ?2? sin ? (1 ? cos? ) (1 ? cos? ) ?? ? ? . tan ? ? = ? = sin ? (1 ? cos? ) (1 ? cos? ) ?2? ?? ? ?? ? 1 ? tan2 ? ? 2 tan? ? ?2?, ? 2 ? , cos? ? 定理 10 万能公式: sin ? ? ?? ? ?? ? 1 ? tan2 ? ? 1 ? tan2 ? ? ?2? ?2? ?? ? 2 tan? ? ?2? . tan? ? ?? ? 1 ? tan2 ? ? ?2? 2 2 定理 11 辅助角公式:如果 a, b 是实数且 a +b ? 0,则取始边在 x 轴正半轴,终边经过点(a, b a
定理 9 半角公式:sin ?

b)的一个角为β ,则 sinβ =

a2 ? b2

,cosβ =

a2 ? b2

,对任意的角α .

2 2 asinα +bcosα = (a ? b ) sin(α +β ).

定理 12 正弦定理:在任意△ABC 中有

a b c ? ? ? 2 R ,其中 a, b, c 分别是角 sin A sin B sin C

A,B,C 的对边,R 为△ABC 外接圆半径。 2 2 2 定理 13 余弦定理:在任意△ABC 中有 a =b +c -2bcosA,其中 a,b,c 分别是角 A,B,C 的对
边。 定理 14 图象之间的关系:y=sinx 的图象经上下平移得 y=sinx+k 的图象;经左右平移得

y=sin(x+ ? )的图象 (相位变换) 纵坐标不变, ; 横坐标变为原来的

1

?

, 得到 y=sin ?x ( ? ? 0 )

的图象 (周期变换) 横坐标不变, ; 纵坐标变为原来的 A 倍, 得到 y=Asinx 的图象 (振幅变换) ; y=Asin( ? x+ ? )( ? >0)的图象 (周期变换)横坐标不变, ; 纵坐标变为原来的 A 倍, 得到 y=Asinx 的图象(振幅变换) y=Asin( ? x+ ? )( ? , ? >0)(|A|叫作振幅)的图象向右平移 ;
用心 爱心 专心

? 个单位得 ?
-2-

到 y=Asin ? x 的图象。 定义 4 函数 y=sinx ? x ? ?? ?

? ?

? ? ? ?? , ? 的反函数叫反正弦函数,记作 y=arcsinx(x∈[-1, 1]), ? ? 2 2 ?? ?

函数 y=cosx(x∈[0, π ]) 的反函数叫反余弦函数,记作 y=arccosx(x∈[-1, 1]). 函数

y=tanx ? x ? ?? ?

? ?

? ? ? ?? , ? 的反函数叫反正切函数。记作 y=arctanx(x∈[-∞, +∞]). ? ? 2 2 ?? ?

y=cosx(x∈[0, π ])的反函数称为反余切函数,记作 y=arccotx(x∈[-∞, +∞]). n 定理 15 三角方程的解集,如果 a∈(-1,1),方程 sinx=a 的解集是{x|x=nπ +(-1) arcsina, n∈Z}。方程 cosx=a 的解集是{x|x=2kx ? arccosa, k∈Z}. 如果 a∈R,方程 tanx=a 的解集是
{x|x=kπ +arctana, k∈Z}。恒等式:arcsina+arccosa= 定理 16 若 x ? ? 0,

? ? ;arctana+arccota= . 2 2

? ?? ? ,则 sinx<x<tanx. ? 2?

二、方法与例题 1.结合图象解题。 例 1 求方程 sinx=lg|x|的解的个数。 【解】在同一坐标系内画出函数 y=sinx 与 y=lg|x|的图象(见图) ,由图象可知两者有 6 个交 点,故方程有 6 个解。 2.三角函数性质的应用。 例 2 设 x∈(0, π ), 试比较 cos(sinx)与 sin(cosx)的大小。 【解】 若 x ? ?

?? ? ? ? ? , ? ? ,则 cosx≤1 且 cosx>-1,所以 cos x ? ? ? ,0? , ? 2 ? ?2 ?

所以 sin(cosx) ≤0,又 0<sinx≤1, 所以 cos(sinx)>0, 所以 cos(sinx)>sin(cosx). 若 x ? ? 0,?

? ?

??
2? ?

,则因为

sinx+cosx= 2 ?

? 2 ? ? ? ? 2 sin x ? cos x ? ? 2 (sinxcos +sin cosx)= 2 sin(x+ )≤ ? 2 ? 4 4 4 2 ? ?

2<

? ? -cosx< , 2 2 ? 所以 cos(sinx)>cos( -cosx)=sin(cosx). 2
所以 0<sinx< 综上,当 x∈(0,π )时,总有 cos(sinx)<sin(cosx).

? , 2

? cos ? ? ? cos ? ? ? 例 3 已知α ,β 为锐角,且 x· +β - )>0,求证: ? (α ? sin ? ? ? ? sin ? ? ? 2. ? 2 ? ? ? ? ? ? ?
x

x

【证明】 若α +β > 所以 0<

? cos ? cos? <1,又 sinα >sin( -β )=cosβ , 所以 0< <1, 2 sin ? sin ?
x x 0 0

2

,则 x>0,由α >

2

-β >0 得 cosα <cos(

2

-β )=sinβ ,

? cos ? ? ? cos ? ? ? cos ? ? ? cos ? ? 所以 ? ? sin ? ? ? ? sin ? ? ? ? sin ? ? ? ? sin ? ? ? 2. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
用心 爱心 专心 -3-

? ? ? ? ,则 x<0,由 0<α < -β < 得 cosα >cos( -β )=sinβ >0, 2 2 2 2 ? cos ? cos? 所以 >1。又 0<sinα <sin( -β )=cosβ ,所以 >1, 2 sin ? sin ?
若α +β < 所以 ? ?

? cos ? ? ? cos ? ? ? cos ? ? ? cos ? ? ? ?? ? ?? ? ? sin ? ? ? ? sin ? ? ? 2 ,得证。 ? ? ? sin ? ? ? sin ? ? ? ? ?
x 0

x

0

注:以上两例用到了三角函数的单调性和有界性及辅助角公式,值得注意的是角的讨论。 3.最小正周期的确定。 例 4 求函数 y=sin(2cos|x|)的最小正周期。 【解】 首先,T=2π 是函数的周期(事实上,因为 cos(-x)=cosx,所以 co|x|=cosx) ;其次, 当且仅当 x=kπ +

所以若最小正周期为 T0,则 T0=mπ , m∈N+,又 sin(2cos0)=sin2 ? sin(2cosπ ),所以 T0=2π 。 4.三角最值问题。 例 5 已知函数 y=sinx+ 1? cos2 x ,求函数的最大值与最小值。 【解法一】 令 sinx= 2 cos? , 1 ? cos2 x ? 则有 y= 2 cos ? ? 因为

? 时,y=0(因为|2cosx|≤2<π ), 2

2 sin ? ? 2 sin(? ?

?
4

3 ? ?? 2 sin ? ? ? 0 ? ? ? , 4 ? ?4

).

?
4

?0?

3 ? ? ? ,所以 ? ? ? ? ? , 4 2 4

所以 0 ? sin(? ? 所以当 ? ?

?

3 ? ? ,即 x=2kπ - (k∈Z)时,ymin=0, 4 2

4

) ≤1,

当? ?

?
4

,即 x=2kπ +

? (k∈Z)时,ymax=2. 2
2

【解法二】 因为 y=sinx+ 1 ? cos x ? =2(因为(a+b) ≤2(a +b )) ,
2 2 2

2(sin 2 x ? 1 ? cos2 x) ,

且|sinx|≤1≤ 1? cos2 x ,所以 0≤sinx+ 1? cos2 x ≤2, 所以当 1? cos2 x =sinx,即 x=2kπ + 当 1? cos2 x =-sinx,即 x=2kπ 例 6 设 0< ? <π ,求 sin

?
2

? (k∈Z)时, ymin=0。 2

? (k∈Z)时, ymax=2, 2

(1 ? cos ? ) 的最大值。

? ? >0, cos >0. 2 2 2 2 ? ? ? ? 2? 2 ? 所以 sin (1+cos ? )=2sin ·cos = 2 ? 2 sin ≤ ? cos2 ? cos2 2 2 2 2 2 2
【解】因为 0< ? <π ,所以 0 ?

?

?

?

,所以 sin

用心 爱心 专心

-4-

? ?? ? 2 ? ? cos2 ? cos2 ? ? 2 sin 2 2 2 ? = 16 ? 4 3 . 2?? 3 27 9 ? ? ? ? ? ?
3

当且仅当 2sin

2

? ? ? 2 2 2? =cos , 即 tan = , ? =2arctan 时,sin (1+cos ? )取得最大值 2 2 2 2 2 2

4 3 。 9
例 7 若 A,B,C 为△ABC 三个内角,试求 sinA+sinB+sinC 的最大值。 【解】 因为 sinA+sinB=2sin

sinC+sin

?
3

? 2 sin

C? 2

?
3 cos

A? B A? B A? B ? 2 sin cos , ① 2 2 2

C? 2

?

3 ? 2 sin

C? 2

?

3,



A? B 又因为 sin ? sin 2

C? 2

?

4 ? ? 由①,②,③得 sinA+sinB+sinC+sin ≤4sin , 3 3 ? 3 3 所以 sinA+sinB+sinC≤3sin = , 3 2 ? 3 3 当 A=B=C= 时, inA+sinB+sinC)max= (s . 3 2

3 ? 2 sin

A? B ?C ?

?
3 cos

A? B ?C ? 4

?

3 ? 2 sin ? ,③ 3

注:三角函数的有界性、|sinx|≤1、|cosx|≤1、和差化积与积化和差公式、均值不等式、 柯西不等式、函数的单调性等是解三角最值的常用手段。 5.换元法的使用。

sin x cos x 的值域。 1 ? sin x ? cos x ? 2 ? 2 ? sin x ? cos x ? ? 2 sin(x ? ). 【解】 设 t=sinx+cosx= 2 ? ? 2 ? 2 4 ? ?
例8 求y? 因为 ? 1 ? sin( x ?

) ? 1, 4 所以 ? 2 ? t ? 2.
又因为 t =1+2sinxcosx,
2

?

x2 ?1 t 2 ?1 2 ? t ?1, 所以 sinxcosx= ,所以 y ? 1? t 2 2 ? 2 ?1 2 ?1 ? y? . 所以 2 2 t ?1 ? ?1 ,所以 y ? -1. 因为 t ? -1,所以 2

用心 爱心 专心

-5-

所以函数值域为 y ? ??

? ?

2 ?1 ? ? 2 ? 1? ,?1? ? ? ? 1, ?. ? ? 2 2 ? ? ?

例 9 已知 a0=1, an=

1 ? a n ?1 2 ? 1 a n ?1

(n∈N+),求证:an>

? . 2 n?2

【证明】 由题设 an>0,令 an=tanan, an∈ ? 0,

? ?? ? ,则 ? 2?

an=
因为

1 ? tan2 a n ?1 ? 1 tan a n ?1

?

sec a n ?1 ? 1 1 ? cos a n ?1 a ? ? tan n ?1 ? tan a n . 2 tan a n ?1 sin a n ?1
n

a n ?1 1 ? ?? ?1? ,an∈ ? 0, ? ,所以 an= a n ?1 ,所以 an= ? ? a0 . 2 2 ? 2? ?2?
n

? ? ?1? 又因为 a0=tana1=1,所以 a0= ,所以 a n ? ? ? · 。 4 4 ?2? ? ? ?
又因为当 0<x<

2

时,tanx>x,所以 a n ? tan

2 n?2

?

2 n?2

.

注:换元法的关键是保持换元前后变量取值范围的一致性。 另外当 x∈ ? 0,

? ?? ? 时,有 tanx>x>sinx,这是个熟知的结论,暂时不证明,学完导数后,证明 ? 2?

是很容易的。 6.图象变换:y=sinx(x∈R)与 y=Asin( ? x+ ? )(A, ? , ? >0). 由 y=sinx 的图象向左平移 ? 个单位,然后保持横坐标不变,纵坐标变为原来的 A 倍,然后再 保持纵坐标不变,横坐标变为原来的

1

?

,得到 y=Asin( ? x+ ? )的图象;也可以由 y=sinx 的

图象先保持横坐标不变,纵坐标变为原来的 A 倍,再保持纵坐标不变,横坐标变为原来的 最后向左平移

1

? 个单位,得到 y=Asin( ? x+ ? )的图象。 ? 例 10 例 10 已知 f(x)=sin( ? x+ ? )( ? >0, 0≤ ? ≤π )是 R 上的偶函数,其图象关于点 ? 3? ? ? ?? M ? ,0 ? 对称,且在区间 ?0, ? 上是单调函数,求 ? 和 ? 的值。 ? 4 ? ? 2? 【解】 由 f(x)是偶函数,所以 f(-x)=f(x),所以 sin( ? + ? )=sin(- ? x+ ? ),所以 cos ? sinx=0,对任意 x∈R 成立。 ? 又 0≤ ? ≤π ,解得 ? = , 2 3 3 ? 3? ? 因为 f(x)图象关于 M ? ,0 ? 对称,所以 f ( ? ? x) ? f ( ? ? x) =0。 4 4 ? 4 ? 3 ?? ? 3? 取 x=0,得 f ( ? ) =0,所以 sin ? ? ? ? ? 0. 4 2? ? 4 3? ? 2 ? ? k? ? (k∈Z),即 ? = (2k+1) (k∈Z). 所以 4 2 3

?



用心 爱心 专心

-6-

? ? )在[0, ]上是减函数; 2 2 ? ? 取 k=1 时, ? =2,此时 f(x)=sin(2x+ )在[0, ]上是减函数; 2 2 10 ? ? 取 k=2 时, ? ≥ ,此时 f(x)=sin( ? x+ )在[0, ]上不是单调函数, 3 2 2 2 综上, ? = 或 2。 3
又 ? >0,取 k=0 时,此时 f(x)=sin(2x+ 7.三角公式的应用。 例 11 已知 sin(α -β )= 求 sin2α ,cos2β 的值。

5 5 ?? ? ? 3? ? ,sin(α +β )=,且 α -β ∈ ? , ? ? ,α +β ∈ ? ,2? ? , 13 13 ?2 ? ? 2 ?

12 ?? ? , ? ? ,所以 cos(α -β )=- 1 ? sin 2 (? ? ? ) ? ? . 13 ?2 ? 12 ? 3? ? 又因为 α +β ∈ ? ,2? ? ,所以 cos(α +β )= 1 ? sin 2 (? ? ? ) ? . 13 ? 2 ?
【解】 因为 α -β ∈ ? 所以 sin2α =sin[(α +β )+(α -β )]=sin(α +β )cos(α -β )+cos(α +β )sin(α -β )=

120 , 169

cos2β =cos[(α +β )-(α -β )]=cos(α +β )cos(α -β )+sin(α +β )sin(α -β )=-1.
例 12 已知△ABC 的三个内角 A,B,C 成等差数列,且

cos

A?C 0 =cos(60 -C), 2 1 1 1 1 cos(1200 ? C ) ? cosC 又由于 ? ? ? ? cos A cosC cos(1200 ? C ) cosC cosC cos(1200 ? C )
【解】 因为 A=120 -C,所以 cos
0

A?C 的值。 2

1 1 2 ,试求 ? ?? cos A cosC cos B

=

2 cos600 cos(600 ? C )

1 1 [cos1200 ? cos(1200 ? 2C )] cos(1200 ? 2C ) ? 2 2 A?C 2 A?C ? 2 cos ? 3 2 =0。 所以 4 2 cos 2 2 A?C 3 2 A?C 2 解得 cos 或 cos 。 ?? ? 2 8 2 2 A?C A?C 2 又 cos >0,所以 cos 。 ? 2 2 2
例 13 求证:tan20 +4cos70 . 【解】 tan20 +4cos70 =
? ? ? ?

?

2 cos(600 ? C )

? ?2 2 ,

sin 20? ? +4sin20 cos20? sin 20? ? 4 sin 20? cos 20? sin 20? ? 2 sin 40? ? ? cos 20? cos 20? sin 20? ? sin 40? ? sin 40? 2 sin 30? cos10? ? sin 40? ? ? cos 20? cos 20?
用心 爱心 专心 -7-

?

sin 80? ? sin 40? 2 sin 60? cos 20? ? ? 3. cos 20? cos 20?

三、基础训练题 1.已知锐角 x 的终边上一点 A 的坐标为(2sin3, -2cos3),则 x 的弧度数为___________。

1 ? cos x 1 ? cos x ? ? -2cscx 的角的集合为___________。 1 ? cos x 1 ? cos x 3.给出下列命题: (1)若 α ? β ,则 sinα ? sinβ ; (2)若 sinα ? sinβ ,则 α ? β ; (3)
2.适合 若 sinα >0,则 α 为第一或第二象限角; (4)若 α 为第一或第二象限角,则 sinα >0. 上述 四个命题中,正确的命题有__________个。

1 (x∈(0, π )),则 cotx=___________。 5 ?? ?? ? ? 5.简谐振动 x1=Asin ? ?t ? ? 和 x2=Bsin ? ?t ? ? 叠加后得到的合振动是 x=___________。 3? 6? ? ? 6.已知 3sinx-4cosx=5sin(x+ ? 1)=5sin(x- ? 2)=5cos(x+ ? 3)=5cos(x- ? 4),则 ? 1, ? 2, ? 3, ? 4 分别是第________象限角。
4.已知 sinx+cosx= 7.满足 sin(sinx+x)=cos(cosx-x)的锐角 x 共有________个。 8.已知 ? ? x ? 2? ,则 9.

3 2

1 1 1 1 ? ? cos x =___________。 2 2 2 2
=___________。

cos 40? ? sin 50? (1 ? 3 tan10? ) sin 70? 1 ? cos 40?
? ? ? ?

10.cot15 cos25 cot35 cot85 =___________。

1 5 , sin(α +β )= ,求 cosβ 的值。 2 2 13 m ? 2 sin x ? ?? 12.已知函数 f(x)= 在区间 ? 0, ? 上单调递减,试求实数 m 的取值范围。 cos x ? 2?
11.已知 α ,β ∈(0, π ), tan

?

?

四、高考水平训练题 1.已知一扇形中心角是 a,所在圆半径为 R,若其周长为定值 c(c>0),当扇形面积最大时, a=__________. 2. 函数 f(x)=2sinx(sinx+cosx)的单调递减区间是__________.

2 ? sin x 的值域为__________. 2 ? cos x ?? ? 4. 方程 2 sin? 2 x ? ? ? lg x =0 的实根个数为__________. 6? ? ? ? ?? 5. 若 sina+cosa=tana, a ? ? 0, ? ,则 __________a(填大小关系). 3 ? 2?
3. 函数 y ? 6. (1+tan1 )(1+tan2 )…(1+tan44 )(1+tan45 )=__________.
? ? ? ?

? 且 tanx=3tany,则 x-y 的最大值为__________. 2 sin 7 ? ? cos15? ? sin 8? 8. =__________. cos7 ? ? sin 15? sin 8? ? 2 3 4 5 9. cos ·cos ? ·cos ? ·cos ? ·cos ? =__________. 11 11 11 11 11
7. 若 0<y≤x<
用心 爱心 专心 -8-

10. cos 71 +cos71 cos49 +cos 49 =__________. 11. 解方程:sinx+2sin2x=3+sin3x. 12. 求满足 sin(x+sinx)=cos(x-cosx)的所有锐角 x.

2

?

?

?

2

?

?1? 13. 已知 f(x)= ? ? ?2?

?k ? ? A sin ? x ? ? ?5 3?

(kA ? 0, k∈Z, 且 A∈R), 试求 f(x)的最大值和最小值; (1) (2)

若 A>0, k=-1,求 f(x)的单调区间; (3)试求最小正整数 k,使得当 x 在任意两个整数(包括 整数本身)间变化时,函数 f(x)至少取得一次最大值和一次最小值。 五、联赛一试水平训练题(一) 2 2 1.若 x, y∈R,则 z=cosx +cosy -cosxy 的取值范围是____________. 2.已知圆 x +y =k 至少盖住函数 f(x)= 3 sin
2 2 2

?x
k

的一个最大值点与一个最小值点,则实数 k

的取值范围是____________. 3.f( ? )=5+8cos ? +4cos2 ? +cos3 ? 的最小值为____________. 4.方程 sinx+ 3 cosx+a=0 在(0,2π )内有相异两实根 α ,β ,则 α +β =____________. 5.函数 f(x)=|tanx|+|cotx|的单调递增区间是____________. 6.设 sina>0>cosa, 且 sin

a a a >cos ,则 的取值范围是____________. 3 3 3

7.方程 tan5x+tan3x=0 在[0,π ]中有__________个解. 8.若 x, y∈R, 则 M=cosx+cosy+2cos(x+y)的最小值为____________. 9.若 0< ? <
?

? m 2m+1 , m∈N+, 比较大小:(2m+1)sin ? (1-sin ? )__________1-sin ? . 2
?

10.cot70 +4cos70 =____________.

?sin x ? sin y ? a ? 11. 在方程组 ?cos x ? cos y ? b 中消去 x, y,求出关于 a, b, c 的关系式。 ?cot x ? cot y ? c ?

? ?? 2 2 2 ? ,且 cos α +cos β +cos γ =1,求 tanα tanβ tanγ 的最小值。 ? 2? ? x sin 3? ? y sin ? ? a ? 13.关于 x, y 的方程组 ? x sin 3? ? y sin ? ? a 有唯一一组解,且 sinα , sinβ , sinγ 互不 ? x sin 3? ? y sin ? ? a ?
12.已知 α ,β ,γ ? ? 0, 相等,求 sinα +sinβ +sinγ 的值。 14.求满足等式 sinxy=sinx+siny 的所有实数对(x, y), x, y ? ? 0,

? ?? ?. ? 2?

联赛一试水平训练题(二) 1.在平面直角坐标系中,函数 f(x)=asinax+cosax(a>0)在一个最小正周期长的区间上的图象 与函数 g(x)= a 2 ? 1 的图象所围成的封闭图形的面积是__________. 2.若 x ? ?? __________. 3.在△ABC 中,记 BC=a, CA=b, AB=c, 若 9a +9b -19c =0,则
2 2 2

2? ? ?? ?? ? 5? ? ? ? ? ? ,? ? ,则 y=tan ? x ? ? -tan ? x ? ? +cos ? x ? ? 的最大值是 3 ? 6? 6? ? 12 3 ? ? ? ?
cot C =__________. cot A ? cot B

用心 爱心 专心

-9-

4.设 f(x)=x -π x, α =arcsin

2

1 5 ? 1? ? 5? , β =arctan , γ =arccos ? ? ? , δ =arccot ? ? ? , 将 3 4 ? 3? ? 4?

f(α ), f(β ), f(γ ), f(δ )从小到大排列为__________. 5.logsin1cos1=a, logsin1tan1=b, logcos1sin1=c, logcos1tan1=d。将 a, b, c, d 从小到大排列
为__________. 6.在锐角△ABC 中,cosA=cosα sinβ , cosB=cosβ sinγ , cosC=cosγ sinα ,则 tanα ·tanβ ·tanγ =__________. 7.已知矩形的两边长分别为 tan

? 和 1+cos ? (0< ? <π ),且对任何 x∈R, 2

f(x)=sin ? ·x2+ 4 3 ·x+cos ? ≥0,则此矩形面积的取值范围是__________. 8.在锐角△ABC 中,sinA+sinB+sinC 的取值范围是__________. 2 2 9.已知当 x∈[0, 1],不等式 x cos ? -x(1-x)+(1-x) sin ? >0 恒成立,则 ? 的取值范围是
__________. 2 2 2 10.已知 sinx+siny+sinz=cosx+cosy+cosz=0,则 cos x+ cos y+ cos z=__________. 11.已知 a1, a2, …,an 是 n 个实常数,考虑关于 x 的函数:f(x)=cos(a1+x)+ +

1 cos(a2+x) +… 2

1 2 n ?1

cos(an+x)。求证:若实数 x1, x2 满足 f(x1)=f(x2)=0,则存在整数 m,使得 x2-x1=mπ .

sin A ? sin B ? sin C ? ? 3 ,求证:此三角形中有一个内角为 。 cos A ? cos B ? cos C 3 8n 13.求证:对任意自然数 n, 均有|sin1|+|sin2|+…+|sin(3n-1)|+|sin3n|> . 5
12.在△ABC 中,已知 六、联赛二试水平训练题 1.已知 x>0, y>0, 且 x+y<π ,求证:w(w-1)sin(x+y)+w(sinx-siny)+siny>0①(w∈R).
?1 ? 1 ?? 1 ? 2. 已知 a 为锐角,n≥2, n∈N ,求证: ? ? 1?? ? 1? ≥2n-2 2 +1. n n ? sin a ?? cos a ?
+

n

3. 设 x1, x2,…, xn,…, y1, y2,…, yn,…满足 x1=y1= 3 , xn+1=xn+ 1 ? x n , yn+1=
2

yn
2 1 ? 1 ? yn



求证:2<xnyn<3(n≥2). 4.已知 α ,β ,γ 为锐角,且 cos α +cos β +cos γ =1,求证;
2 2 2

3 π <α +β +γ <π . 4

5.求实数 a 的取值范围,使得对任意实数 x 和任意 ? ? ?0, ? ,恒有 ? 2? (x+3+2sin ? cos ? ) +(x+asin ? +asin ? )2≥ .
2

? ??

1 8

6. 设 n, m 都是正整数,并且 n>m,求证:对一切 x ? ? 0,
n n n n

? ?? ? 都有 ? 2?

2|sin x-cos x|≤3|sin x-cos x|. 7.在△ABC 中,求 sinA+sinB+sinC-cosA-cosB-cosC 的最大值。 n 8.求的有的实数 a, 使 cosa, cos2a, cos4a, …, cos2 a, …中的每一项均为负数。

? ?? + 9.已知 ? i ? ? 0, ? ,tan ? 1tan ? 2…tan ? n=2 2 , n∈N , 若对任意一组满足上述条件的 ? 2? ? 1, ? 2,…, ? n 都有 cos ? 1+cos ? 2+…+cos ? n≤λ ,求 λ 的最小值。
n

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