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2016届山东省潍坊一中、平邑一中等齐鲁名校联考高三(上)期末数学试卷(理科)(解析版)


2015-2016 学年山东省潍坊一中、平邑一中等齐鲁名校联考高三 (上)期末数学试卷(理科)
一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分) 1.已知平面向量| |=2,| |= , ? =3,则|2 ﹣ |=( ) A.4﹣ B. C. D.7 2.已知集合 A={﹣1,0,1,2},B={x|log2(x+1)>0},则 A∩B=( A.{﹣1,0}

B.{1,2} C.{0,2} D.{﹣1,1,2} 3.设 p: ( )x>1,q:﹣2<x<﹣1,则 p 是 q 成立的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 4.根据样本数据得到回归直线方程 = x+ ,其中 =9.1,则 =( x y A.9.4 4 49 C.9.6 2 26 D.9.7 ) (ω>0)的最小正周期为 4π,则( ,0)对称 对称 ) 3 39 ) 5 54 )



B.9.5

5.已知函数 f(x)=sin(2ωx﹣ A.函数 f(x)的图象关于点( B.函数 f(x)的图象关于直线 x= C.函数 f(x)的图象在( D.函数 f(x)的图象在(

,π)上单调递减 ,π)上单调递增

6.已知定义在 R 上的偶函数 f(x) ,当 x≤0 时,f(x)=



则 f(f(3) )=( ) A.﹣9 B.﹣1 C.1 7.若函数 f(x)=

D.9 )

在区间(﹣∞,2)上为单调递增函数,则实数 a 的取值范围是(

A.[0,+∞) B. (0,e] C. (﹣∞,﹣1] D. (﹣∞,﹣e) 8.如图为某几何体的三视图,该几何体的体积记为 V1,将俯视图绕其直径所在的直线旋转 一周而形成的曲面所围成的几何体的体积记为 V2,则 =( )

第 1 页(共 21 页)

A.

B.

C.

D.

9.设函数 y=f(x)满足 f(﹣x)+f(x)=0 且 f(x+1)=f(x﹣1) ,若 x∈(0,1)时,f (x)=log2 ,则 y=f(x)在(1,2)内是( )

A.单调增函数,且 f(x)<0 B.单调减函数,且 f(x)<0 C.单调增函数,且 f(x)>0 D.单调增函数,且 f(x)>0 10.已知 k∈R,直线 l1:x+ky=0 过定点 P,直线 l2:kx﹣y﹣2k+2=0 过定点 Q,两直线交 于点 M,则|MP|+|MQ|的最大值是( ) A.2 B.4 C.4 D.8 二、填空题(共 5 小题,每小题 5 分,满分 25 分) 11.已知双曲线 e= 12. (x2﹣ . )6 的二项展开式中 x2 的系数为 . (用数字表示) . ﹣ =1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为 x+y=0,则其离心率

13.不等式|x+3|﹣|x﹣2|≥3 的解集为

14.若 x,y 满足约束条件

,且目标函数 z=3x+y 取得最大值为 11,则

k= . 15.若函数 y=f(x)满足:对 y=f(x)图象上任意点 P(x1,f(x1) ) ,总存在点 P′(x2,f (x2) )也在 y=f(x)图象上,使得 x1x2+f(x1)f(x2)=0 成立,称函数 y=f(x)是“特殊 对点函数”,给出下列五个函数: ①y=x﹣1; ②y=log2x; ③y=sinx+1; ④y=ex﹣2; ⑤y= . (写出所有正确的序号)

其中是“特殊对点函数”的序号是 三、解答题(共 6 小题,满分 75 分)

第 2 页(共 21 页)

16.已知函数 f(x)=

sinxcosx+cos2x,x∈R. 个单位,得到函数 g(x)的图象,求 g(x)在[0,

(Ⅰ)把函数 f(x)的图象向右平移 ]上的最大值;

B, C 对应的三边分别为 a, b, c, b= (Ⅱ) 在△ABC 中, 角 A,

f =1, S△ ABC=3 , ( )



求 a 和 c 的值. 17.如图,已知斜三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,底面 ABC 是等边三角形,侧面 BB1C1C 是菱 形,∠B1BC=60°. (Ⅰ)求证:BC⊥AB1; (Ⅱ)若 AB=2,AB1= ,求二面角 C﹣AB1﹣C1(锐角)的余弦值.

18.公差不为零的等差数列{an}中,a1,a2,a5 成等比数列,且该数列的前 10 项和为 100, 数列{bn}的前 n 项和为 Sn,且满足 Sn=a (Ⅰ)求数列{an},{bn}的通项公式; (Ⅱ)记得数列{ }的前 n 项和为 Tn,求 Tn 的取值范围. ,n∈N*.

19.某高中学校在 2015 年的一次体能测试中,规定所有男生必须依次参加 50 米跑、立定跳 远和一分钟的引体向上三项测试,只有三项测试全部达标才算合格,已知男生甲的 50 米跑 和立定跳远的测试与男生乙的 50 米跑测试已达标,男生甲还需要参加一分钟的引体向上测 试, 男生乙还需要参加立定跳远和一分钟引体向上两项测试, 若甲参加一分钟引体向上测试 达标的概率为 p,乙参加立定跳远和一分钟引体向上的测试达标的概率均为 ,甲乙每一项 测试是否达标互不影响,已知甲和乙同时合格的概率为 . (Ⅰ)求 p 的值,并计算甲和乙恰有一人合格的概率; (Ⅱ)在三项测试项目中,设甲达标的测试项目项数为 x,乙达标的测试项目项数为 y,记 ξ=x+y,求随机变量 ξ 的分布列和数学期望.

第 3 页(共 21 页)

20.已知椭圆 E:

+

=1(a>b>0)的上、下焦点分别为 F1,F2,点 D 在椭圆上, ,离心率 e= ,抛物线 C:x2=2py(p>0)的准线 l

DF2⊥F1F2,△F1F2D 的面积为 2

经过 D 点. (Ⅰ)求椭圆 E 与抛物线 C 的方程; (Ⅱ)过直线 l 上的动点 P 作抛物线的两条切线,切点为 A,B,直线 AB 交椭圆于 M,N 两点,当坐标原点 O 落在以 MN 为直径的圆外时,求点 P 的横坐标 t 的取值范围. 21.已知函数 f(x)=lnx+ (a>0) . (Ⅰ)求函数 f(x)在[1,+∞)上的最小值; (Ⅱ)若存在三个不同的实数 xi(i=1,2,3)满足 f(x)=ax. (i)证明:? a∈(0,1) ,f( )> ;

(ii)求实数 a 的取值范围及 x1?x2?x3 的值.

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2015-2016 学年山东省潍坊一中、 平邑一中等齐鲁名校联 考高三(上)期末数学试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分) 1.已知平面向量| |=2,| |= , ? =3,则|2 ﹣ |=( A.4﹣ B. C. D.7 【考点】平面向量数量积的运算. 【分析】根据向量模的计算即可求出. 【解答】解:∵| |=2,| |= , ? =3, ∴|2 ﹣ |2=4| |2+| |2﹣4 ? =4×4+3﹣4×3=7, ∴|2 ﹣ |= , 故选:B.



2.已知集合 A={﹣1,0,1,2},B={x|log2(x+1)>0},则 A∩B=( A.{﹣1,0} B.{1,2} C.{0,2} D.{﹣1,1,2} 【考点】交集及其运算. 【分析】求出 B 中不等式的解集确定出 B,找出 A 与 B 的交集即可. 【解答】解:由 B 中不等式变形得:log2(x+1)>0=log21,即 x+1>1, 解得:x>0,即 B={x|x>0}, ∵A={﹣1,0,1,2}, ∴A∩B={1,2}, 故选:B. 3.设 p: ( )x>1,q:﹣2<x<﹣1,则 p 是 q 成立的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.





【分析】由 p: ( )x>1,解得 x<0.可得 q? p,反之不成立,即可判断出结论. 【解答】解:由 p: ( )x>1,解得 x<0. q:﹣2<x<﹣1, 可得 q? p,反之不成立. ∴p 是 q 成立的必要不充分条件, 故选:B.

4.根据样本数据得到回归直线方程 = x+ ,其中 =9.1,则 =( x 4 2
第 5 页(共 21 页)

) 5

3

y A.9.4

B.9.5

49 C.9.6

26 D.9.7

39

54

【考点】线性回归方程. 【分析】利用公式求出 b,a,即可得出结论. 【解答】解:样本平均数 =3.5, =42, ∵样本数据中心点必在回归直线上,回归直线方程 = x+ ,其中 =9.1, ∴ =9.4, 故选:A.

5.已知函数 f(x)=sin(2ωx﹣ A.函数 f(x)的图象关于点( B.函数 f(x)的图象关于直线 x= C.函数 f(x)的图象在( D.函数 f(x)的图象在(

) (ω>0)的最小正周期为 4π,则( ,0)对称 对称



,π)上单调递减 ,π)上单调递增

【考点】三角函数的周期性及其求法. 【分析】根据三角函数的周期性求出 ω,结合三角函数的图象和性质进行判断即可. 【解答】解:∵函数 f(x)的最小正周期为 4π, ∴T= =4π,即 ω= , )=sin( x﹣ )=sin(﹣ ) , )≠±1, 不对称,

则函数 f(x)=sin(2× x﹣ 则 f( )=sin( × ﹣

)≠0,且 f(

则函数 f(x)的图象关于点( 当 <x<π 时, < x<

,0)不对称,且关于直线 x= , < x﹣ <

,此时函数 f(x)为增函数,

故选:D.

6.已知定义在 R 上的偶函数 f(x) ,当 x≤0 时,f(x)=



则 f(f(3) )=( ) A.﹣9 B.﹣1 C.1

D.9

【考点】分段函数的应用.

第 6 页(共 21 页)

【分析】根据已知中函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,当 x≤0 时,f(x)

=

,可得 f(3)=f(﹣3)=1,则 f(f(3) )=f(1)=f(﹣1) ,

代入可得答案. 【解答】解:∵函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,当 x≤0 时,f(x)

=



∴f(3)=f(﹣3)=(﹣3+2)2=1, ∴f(f(3) )=f(1)=f(﹣1)= 故选:C. =1,

7.若函数 f(x)= A.[0,+∞)

在区间(﹣∞,2)上为单调递增函数,则实数 a 的取值范围是( B. (0,e] C. (﹣∞,﹣1] D. (﹣∞,﹣e)



【考点】函数单调性的判断与证明. 【分析】根据题意得出 f′(x)>0 在区间(﹣∞,2)上恒成立,化为 1﹣x﹣a>0 在区间(﹣ ∞,2)上恒成立,求出 a 的取值范围即可. 【解答】解:∵函数 f(x)= ,

∴f′(x)=

=

>0 在区间(﹣∞,2)上恒成立,

即 1﹣x﹣a>0 在区间(﹣∞,2)上恒成立, ∴a<1﹣x 在区间(﹣∞,2)上恒成立; 又在区间(﹣∞,2)上 1﹣x>﹣1, ∴实数 a 的取值范围是 a≤﹣1. 故选:C. 8.如图为某几何体的三视图,该几何体的体积记为 V1,将俯视图绕其直径所在的直线旋转 一周而形成的曲面所围成的几何体的体积记为 V2,则 =( )

第 7 页(共 21 页)

A.

B.

C.

D.

【考点】由三视图求面积、体积. 【分析】几何体为圆柱,底面半径为 2,高为 2,将俯视图绕其直径旋转后得到的几何体为 半径为 2 的球. 【解答】解:几何体为圆柱,底面半径为 2,高为 2,将俯视图绕其直径旋转后得到的几何 体为半径为 2 的球. ∴V1=π×22×2=8π,V2= 故选 C. 9.设函数 y=f(x)满足 f(﹣x)+f(x)=0 且 f(x+1)=f(x﹣1) ,若 x∈(0,1)时,f (x)=log2 ,则 y=f(x)在(1,2)内是( ) = .∴ = .

A.单调增函数,且 f(x)<0 B.单调减函数,且 f(x)<0 C.单调增函数,且 f(x)>0 D.单调增函数,且 f(x)>0 【考点】抽象函数及其应用. 【分析】 根据条件判断函数的奇偶性和周期性, 结合函数奇偶性和单调性之间的关系进行判 断即可. 【解答】解:∵f(﹣x)+f(x)=0,∴f(﹣x)=﹣f(x) , f x 即函数 ( )是奇函数, ∵f(x+1)=f(x﹣1) , ∴f(x+2)=f(x) ,即函数 f(x)是周期为 2 的函数, 设 t= ,则函数在 x∈(0,1)上为增函数,y=log2t 为增函数,则函数 f(x)为增函数,

则函数 f(x)在(﹣1,0)上为增函数, ∵函数的周期是 2, ∴函数 f(x)在(1,2)上为增函数, 若 x∈(﹣1,0) ,则﹣x∈(0,1) , 则 f(﹣x)=log2 , =﹣f(x) ,

∵f(x)是奇函数,∴f(﹣x)=log2 即 f(x)=﹣log2 =log2(x+1) ,

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当 x∈(﹣1,0) ,则 x+1∈(0,1) ,则 f(x)<0, 即函数 y=f(x)在(1,2)内是单调增函数,且 f(x)<0, 故选:A 10.已知 k∈R,直线 l1:x+ky=0 过定点 P,直线 l2:kx﹣y﹣2k+2=0 过定点 Q,两直线交 于点 M,则|MP|+|MQ|的最大值是( ) A.2 B.4 C.4 D.8 【考点】恒过定点的直线. 【分析】直线 l1:kx+y=0 过定点 P(0,0) ,由 kx﹣y﹣2k+2=0 化为 k(x﹣2)+(2﹣y)=0, l kx y 2k 2=0 Q 2 可得直线 2: ﹣ ﹣ + 过定点 ( ,2) .可以判定两条直线相互垂直.利用 2 2 2 2 (|MP| +|MQ| )≥(|MP|+|MQ|) ,即可得出. 【解答】解:直线 l1:kx+y=0 过定点 P(0,0) , 由 kx﹣y﹣2k+2=0 化为 k(x﹣2)+(2﹣y)=0,令 直线 l2:kx﹣y﹣2k+2=0 过定点 Q(2,2) . 2 2 2 ∴|PQ| =2 +2 =8. 当 k≠0 时,两条直线的斜率满足 ×k=﹣1,此时两条直线相互垂直; ,解得 .

当 k=0 时,两条直线分别化为:x=0,y﹣2=0,此时两条直线相互垂直. 综上可得:两条直线相互垂直. ∴|MP|2+|MQ|2=|PQ|2=8. ∴16=2(|MP|2+|MQ|2)≥(|MP|+|MQ|)2, 解得|MP|+|MQ|≤4,当且仅当|MP|=|MQ|=2 时取得等号. 则|MP|+|MQ|的最大值是 4. 故选:B. 二、填空题(共 5 小题,每小题 5 分,满分 25 分) 11.已知双曲线 ﹣ =1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为 x+y=0,则其离心率 e=

2 . 【考点】双曲线的简单性质. 【分析】利用双曲线的渐近线求出 ab 关系,然后求解双曲线的离心率. 【解答】解:双曲线 ﹣ =1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为 x+y=0,

可得 =







解得 e=2. 故答案为:2.
第 9 页(共 21 页)

12. (x2﹣

)6 的二项展开式中 x2 的系数为 15 (用数字表示) .

【考点】二项式系数的性质. 【分析】根据二项展开式的通项公式 Tr+1,令 x 项的次数为 2,求出 r 的值,再计算含 x2 的 系数. 【解答】解: (x2﹣ ?(x2)6﹣r? )6 的二项展开式的通项公式为: =(﹣1)r?

Tr+1=

?



令 12﹣2r﹣ =2, 解得 r=4; 所以展开式中 x2 的系数为(﹣1)4? 故答案为:15. 13.不等式|x+3|﹣|x﹣2|≥3 的解集为 {x|x≥1} . 【考点】绝对值不等式. 【分析】首先分析不等式|x+3|﹣|x﹣2|≥3,含有两个绝对值号,故不能直接去绝对值需要 分类讨论,当 x<﹣3 时,当﹣3≤x≤2 时,当 x>2 时,三种的情况综合起来即可得到答案. 【解答】解:当 x<﹣3 时,因为原不等式|x+3|﹣|x﹣2|≥3 去绝对值号得:﹣(x+3)+(x ﹣2)≥3 可推出﹣5≥3,这显然不可能, 当﹣3≤x≤2 时,因为原不等式|x+3|﹣|x﹣2|≥3 去绝对值号得: (x+3)+(x﹣2)≥3 可 推出,x≥1,故当 1≤x≤2 不等式成立. 当 x>2 时,因为原不等式|x+3|﹣|x﹣2|≥3 去绝对值号得: (x+3)﹣(x﹣2)≥3 可推出 5≥3,这显然恒成立. 故综上所述,不等式的解集为 x|x≥1, 故答案为{x|x≥1}. =15.

14. y 满足约束条件 若 x,

, 且目标函数 z=3x+y 取得最大值为 11, 则 k= ﹣1 .

【考点】简单线性规划. 【分析】先画出满足条件的平面区域,由 z=3x+z 得:y=﹣3x+z,显然直线 y=﹣3x+z 过(3 ﹣k,k)时 z 取到最大值 11,代入求出 k 的值即可. 【解答】解:画出满足条件的平面区域,如图示:

第 10 页(共 21 页)





,解得:



由 z=3x+z 得:y=﹣3x+z, 显然直线 y=﹣3x+z 过(3﹣k,k)时 z 取到最大值 11, 故 z=9﹣3k+k=11,解得:k=﹣1, 故答案为:﹣1. 15.若函数 y=f(x)满足:对 y=f(x)图象上任意点 P(x1,f(x1) ) ,总存在点 P′(x2,f (x2) )也在 y=f(x)图象上,使得 x1x2+f(x1)f(x2)=0 成立,称函数 y=f(x)是“特殊 对点函数”,给出下列五个函数: ①y=x﹣1; ②y=log2x; ③y=sinx+1; ④y=ex﹣2; ⑤y= .

其中是“特殊对点函数”的序号是 ③④⑤ (写出所有正确的序号) 【考点】命题的真假判断与应用. =0 即 ⊥ 【分析】根据条件 x1x2+f(x1)f(x2)=0,得到 ? ,转化为和 垂 直的向量 和函数 f(x)有交点,利用数形结合进行判断即可 【解答】解:∵P(x1,f(x1) ) ,点 P′(x2,f(x2) ) , =0,即 ⊥ ∴若 x1x2+f(x1)f(x2)=0,则等价为 ? . ①当 P(1,1)时,满足 ⊥ 的 P′(﹣1,1)不在 f(x)的图象上,故①不是“特殊 对点函数”,

第 11 页(共 21 页)

②当 P(1,0)时,满足



的 P′不在 f(x)的图象上,故②不是“特殊对点函数”,

③作出函数 y=sinx+1 的图象,由图象知,满足 图象上,则③是“特殊对点函数”,



的点 P′(x2,f(x2) )都在 y=f(x)

④作出函数 y=ex﹣2 的图象,由图象知,满足 图象上,则④是“特殊对点函数”,



的点 P′(x2,f(x2) )都在 y=f(x)

第 12 页(共 21 页)

⑤作出函数 y=

的图象,由图象知,满足



的点 P′(x2,f(x2) )都在 y=f

(x)图象上,则⑤是“特殊对点函数”.

故答案为:③④⑤ 三、解答题(共 6 小题,满分 75 分) 16.已知函数 f(x)= sinxcosx+cos2x,x∈R. (Ⅰ)把函数 f(x)的图象向右平移 ]上的最大值; B, C 对应的三边分别为 a, b, c, b= (Ⅱ) 在△ABC 中, 角 A, 求 a 和 c 的值. 【考点】正弦定理;两角和与差的正弦函数. 【分析】 (Ⅰ)由三角函数恒等变换的应用化简可得 f(x)=sin(2x+ 换可得 g(x)=sin(2x﹣ )+ .由 x∈[0, ],可得 2x﹣ )+ .利用平移变 , ],利用 f =1, S△ ABC=3 , ( ) , 个单位,得到函数 g(x)的图象,求 g(x)在[0,

∈[﹣

正弦函数的图象和性质即可得解. =1, (Ⅱ) 由f ( ) 可得 sin (B+ = , ) 结合范围 0<B<π 可求 B= , 由 S△ ABC=3 ,

可解得:ac=12.又由余弦定理可得:a2+c2=25.联立方程即可解得 a,c 的值. 【解答】 (本题满分为 12 分) 解:由已知可得:f(x)= sinxcosx+cos2x= sin2x+ cos2x+ =sin(2x+ )+ . )+ ]+ =sin

(Ⅰ)把函数 f(x)的图象向右平移 (2x﹣ )+ . ],∴2x﹣ = ∈[﹣ ,

个单位,可得 g(x)=sin[2(x﹣

∵x∈[0, ∴当 2x﹣

],

时,即 x=

,g(x)取得最大值 …6 分

(Ⅱ)∵f( )=1,
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∴f( )=sin(B+ ∵0<B<π, ∴B+ = <B+ ,B= , =3

)+ =1,sin(B+ < , ,

)= ,

∵S△ ABC=3 ∴

,解得:ac=12.① ,可得:a2+c2=25.②

又由余弦定理可得:b2=37=a2+c2﹣2accos 由①②解得:a=4,c=3,或 a=3,c=4…12 分

17.如图,已知斜三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,底面 ABC 是等边三角形,侧面 BB1C1C 是菱 形,∠B1BC=60°. (Ⅰ)求证:BC⊥AB1; (Ⅱ)若 AB=2,AB1= ,求二面角 C﹣AB1﹣C1(锐角)的余弦值.

【考点】二面角的平面角及求法;空间中直线与直线之间的位置关系. 【分析】 (Ⅰ)推导出△BB1C 是等边三角形,取 BC 的中点为 O,则 BC⊥OB1,由△ABC 是等边三角形,得 BC⊥OA,从而 BC⊥平面 AOB1,由此能证明 BC⊥AB1. (Ⅱ)分别以 OA,OB,OB1 所在的直线作为 x,y,z 轴,建立空间直角坐标系,利用向量 法能求出二面角 C﹣AB1﹣C1(锐角)的余弦值. 【解答】证明: (Ⅰ)∵四边形 BB1C1C 是菱形,∠CBB1=60°, ∴△BB1C 是等边三角形, 取 BC 的中点为 O,连结 OA,OB,则 BC⊥OB1, 又∵△ABC 是等边三角形,∴BC⊥OA, ∵OA∩OB1,∴BC⊥平面 AOB1, ∵AB1? 平面 AOB1,∴BC⊥AB1. 解: (Ⅱ)∵△ABC 和△BB1C 是全等的等边三角形,AB=2, ∴OA=OB1= , 又∵AB1= ,∴ ,∴OB1⊥OA,
第 14 页(共 21 页)

又∵OB1⊥BC,∴OB1⊥平面 ABC, 分别以 OA,OB,OB1 所在的直线作为 x,y,z 轴,建立空间直角坐标系, 则 A( ) ,B(0,1,0) ,C(0,﹣1,0) , =(0,﹣1,﹣ ) , =(﹣ ) , =(0,﹣2,0) , =(﹣ ,

﹣1,0) , 设 =(x,y,z)是平面 C1AB1 的一个法向量, 则 ,取 x=1,得 =(1,0,1) ,

设 =(a,b,c)是平面 CAB1 的一个法向量, 则 ,取 a=1,得 =(1,﹣ ,1) ,

cos<

>=

=

=



∴二面角 C﹣AB1﹣C1(锐角)的余弦值为



18.公差不为零的等差数列{an}中,a1,a2,a5 成等比数列,且该数列的前 10 项和为 100, 数列{bn}的前 n 项和为 Sn,且满足 Sn=a (Ⅰ)求数列{an},{bn}的通项公式; (Ⅱ)记得数列{ }的前 n 项和为 Tn,求 Tn 的取值范围. ,n∈N*.

【考点】数列的求和;等差数列的通项公式;等比数列的通项公式.
第 15 页(共 21 页)

【分析】 (I)设等差数列{an}的公差为 d,由于 a1,a2,a5 成等比数列,且该数列的前 10 项 和为 100,可得 =a1a5,即 =a1(a1+4d) ,10a1+ d=100,联立解得 a1,d,

即可得出 an.又满足 Sn=a (II) =

,n∈N*,可得 Sn=2bn﹣1,利用递推关系可得:bn.

.再利用“错位相减法”与等比数列的前 n 项和公式,数列的单调性即可得

出. 【解答】解: (I)设等差数列{an}的公差为 d,∵a1,a2,a5 成等比数列,且该数列的前 10 项和为 100, ∴ =a1a5,即 =a1(a1+4d) ,10a1+ d=100,联立解得 a1=1,d=2,∴an=1+2

(n﹣1)=2n﹣1. 又满足 Sn=a ,n∈N*,∴Sn=2bn﹣1,当 n=1 时,b1=2b1﹣1,解得 b1=1.

当 n≥2 时,bn=Sn﹣Sn﹣1=2bn﹣1﹣(2bn﹣1﹣1) ,化为:bn=2bn﹣1, ∴数列{bn}是等比数列,首项为 1,公比为 2. ∴bn=2n﹣1. (II) = = .

∴前 n 项和为 Tn= = +…+

+

+…+



+





=

+…+



=



=1﹣



∴Tn=2﹣

. >0.

n≥2 时,Tn﹣Tn﹣1= ∴数列{Tn}单调递增, ∴ Tn<2.

19.某高中学校在 2015 年的一次体能测试中,规定所有男生必须依次参加 50 米跑、立定跳 远和一分钟的引体向上三项测试,只有三项测试全部达标才算合格,已知男生甲的 50 米跑 和立定跳远的测试与男生乙的 50 米跑测试已达标,男生甲还需要参加一分钟的引体向上测 试, 男生乙还需要参加立定跳远和一分钟引体向上两项测试, 若甲参加一分钟引体向上测试

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达标的概率为 p,乙参加立定跳远和一分钟引体向上的测试达标的概率均为 ,甲乙每一项 测试是否达标互不影响,已知甲和乙同时合格的概率为 . (Ⅰ)求 p 的值,并计算甲和乙恰有一人合格的概率; (Ⅱ)在三项测试项目中,设甲达标的测试项目项数为 x,乙达标的测试项目项数为 y,记 ξ=x+y,求随机变量 ξ 的分布列和数学期望. 【考点】离散型随机变量的期望与方差;离散型随机变量及其分布列. 【分析】 (Ⅰ)设事件 A1=“甲引体向上测试达标”,B1=“乙立定跳远测试达标”,B2=“乙引体 向上测试达标”,则 P(A1)=p,P(B1)=P(B2)= ,由此利用题设条件求出 p= ,设事 件 A=“甲测试合格”,B=“乙测试合格”,则 P(A)= ,P(B)=P(B1B2)= ,由此能求 出甲和乙恰有一人合格的概率. (Ⅱ)由已知得随机变量 x 的取值为 2,3,随机变量 y 的取值为 1,2,3,ξ 的可能取值为 3,4,5,6,分别求出相应的概率,由此能求出随机变量 ξ 的分布列和 E(ξ) . 【解答】解: (Ⅰ)设事件 A1=“甲引体向上测试达标”,B1=“乙立定跳远测试达标”, B2=“乙引体向上测试达标”,则 P(A1)=p,P(B1)=P(B2)= , ∵甲乙每一项测试是否达标互不影响,甲和乙同时合格的概率为 , ∴p×( )2= ,解得 p= , 设事件 A=“甲测试合格”,B=“乙测试合格”, 则 P(A)= ,P(B)=P(B1B2)=( )2= , ∴甲和乙恰有一人合格的概率: p=P(A )+P( B)= + = .

(Ⅱ)由已知得随机变量 x 的取值为 2,3,随机变量 y 的取值为 1,2,3, ∴ξ 的可能取值为 3,4,5,6, P(ξ=3)= P(ξ=4)= P(ξ=5)= P(ξ=6)= = , = , = , = ,

∴随机变量 ξ 的分布列为: ξ 3 P

4

5

6

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∴E(ξ)=

=



20.已知椭圆 E:

+

=1(a>b>0)的上、下焦点分别为 F1,F2,点 D 在椭圆上, ,离心率 e= ,抛物线 C:x2=2py(p>0)的准线 l

DF2⊥F1F2,△F1F2D 的面积为 2

经过 D 点. (Ⅰ)求椭圆 E 与抛物线 C 的方程; (Ⅱ)过直线 l 上的动点 P 作抛物线的两条切线,切点为 A,B,直线 AB 交椭圆于 M,N 两点,当坐标原点 O 落在以 MN 为直径的圆外时,求点 P 的横坐标 t 的取值范围. 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的简单性质. 【分析】 (Ⅰ)求得焦点的坐标,及|DF2|= ,运用三角形的面积公式和离心率公式,可

得 a,b,进而得到椭圆的方程;求得抛物线的准线方程,可得抛物线的方程; (Ⅱ)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,M(x3,y3) ,N(x4,y4) ,求得函数的导数,求出切 线 PA,PB 的方程,进而得到直线 AB 的方程,代入椭圆方程,运用韦达定理,再由向量的 数量积的坐标表示和点在圆外,可得数量积大于 0,解不等式即可得到所求范围. 【解答】解: (Ⅰ)由题意可得 F1(0,c) ,F2(0,﹣c) , c2=a2﹣b2,DF2⊥F1F2,令 x=c,可得 y=± 可得|DF2|= , =2 ,① ,

△F1F2D 的面积为 S= |F1F2|?|DF2|= ?2c? 将 e= 代入①解得 b=2,

由 e= ,可得 e2=1﹣

= ,可得 a=2

,c=2,

即有椭圆 E 的方程为

+

=1;

由 D 的纵坐标为﹣2,抛物线的准线方程为 y=﹣2, 即有抛物线 C 的方程为 x2=8y; (Ⅱ)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,M(x3,y3) ,N(x4,y4) , 由 y= x2,可得 y′= x, PA:y﹣y1= x1(x﹣x1) ,将 P(t,﹣2)代入可得﹣2﹣y1= x1(t﹣x1) , 以及 y1= x12,可得 y1= tx1+2,

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同理可得 y2= tx2+2, 即有直线 AB 的方程为 y= tx+2, 将直线 AB 的方程代入椭圆方程,可得(32+t2)x2+16tx﹣64=0, 判别式为△=256t2+256(32+t2)>0, x3+x4=﹣ ,x3x4= =x3x4+y3y4=(1+ = ﹣8, ? >0, <t<2 . ,

即有

?

)x3x4+ (x3+x4)+4

=

由点 O 在圆外,可得 即为

﹣8>0,解得﹣2

21.已知函数 f(x)=lnx+ (a>0) . (Ⅰ)求函数 f(x)在[1,+∞)上的最小值; (Ⅱ)若存在三个不同的实数 xi(i=1,2,3)满足 f(x)=ax. (i)证明:? a∈(0,1) ,f( )> ;

(ii)求实数 a 的取值范围及 x1?x2?x3 的值. 【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用. 【分析】 (Ⅰ)求出 f(x)的导数,对 a 讨论,当 a≥1 时,当 0<a<1 时,讨论单调区间, 可得最小值; (Ⅱ) (i)求出 f( )﹣ ,构造函数 g(a)=2lna﹣ + ﹣ln2,利用导数求得 g(a)

>g(1)=2﹣ ﹣ln2>0,问题得以证明; (ii)求出原函数的导函数,然后讨论 0<a< f(x)的零点的个数,即可得到 x1?x2?x3 的 值. 【解答】解: (Ⅰ)函数 f(x)的导数为 f′(x)= ﹣ 当 a≥1 时,f(x)在[1,a]递减,在[a,+∞)递增, 可得 f(x)在 x=a 取得极小值,且为最小值 lna+1; 当 0<a<1 时,f′(x)>0,f(x)在[1,+∞)递增, f(1)取得最小值,且为 a. 综上可得当 a≥1 时,f(x)的最小值为 lna+1; 当 0<a<1 时,f(x)的最小值为 a;
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=



(Ⅱ) (i)证明:∵f(x)﹣ax=lnx﹣ax+ , ∴f( )﹣ =ln ﹣ + =2lna﹣ + ﹣ln2,

令 g(a)=2lna﹣

+ ﹣ln2,

∴g′(a)= ﹣



=



∴a∈(0,1)时,g'(a)<0,g(a)单调递减, ∴g(a)>g(1)=2﹣ ﹣ln2>0, ∴? a∈(0,1) ,f( )> ;

(ii)∵f(x)﹣ax 的导数为 f′(x)﹣a= ﹣a(1+

)=



令 f′(x)=a,∴﹣ax2+x﹣a=0, ∵函数 f(x)﹣ax 存在不同的零点,∴△=1﹣4a2>0, 解得﹣ <a< ,

由 0<a< ,令 f′(x)=a,得,x4=

,x5=



此时,f(x)在(0,x4)上递减, (x4,x5)上递增, (x5,+∞)上递减, ∴f(x)至多有三个零点. ∵f(x)在(x4,1)递增,∴f(x4)<f(1)=a, 又∵f( ∴? x0∈( 又 f( )> ,

,x4) ,使得 f(x0)=a,

)=﹣f(x0)=a,f(1)=a, ,

∴恰有三个不同零点:x0,1,

∴函数 f(x)存在三个不同的零点时,a 的取值范围是(0, ) ; 且 x1?x2?x3 的值为 1.

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2016 年 8 月 22 日

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