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新疆生产建设兵团一中2015-2016学年高二上学期第一次月考数学试卷(文科)(b卷) Word版含解析


2015-2016 学年新疆生产建设兵团一中高二(上)第一次月考数学 试卷(文科) (B 卷)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的) 1.棱长都是 1 的三棱锥的表面积为( ) A. B. C. D. 2.直线 x+ A. B. y﹣1=0 的斜率为( C.﹣ ) D.﹣

3.已知

直线 a、b 和平面 α、β,且 b⊥α,那么( A.b⊥a?a∥α B.b 不在 β 内?α∩β=? C.a∥α?b⊥a D.α⊥β?b∥β

)

4.以 A(1,3)和 B(﹣5,1)为端点的线段 AB 的中垂线方程是( A.3x﹣y+8=0 B.3x+y+4=0 C.2x﹣y﹣6=0 D.3x+y+8=0 5.正四棱锥 P﹣ABCD 的高为 ,侧棱长为 A.2 B.4 C. D.2 ,则它的斜高为( )

)

6.如图,侧棱长为 2a 的正三棱柱的左视图的面积为

a2,则该正三棱柱的侧面积为(

)

A.3a2 B.4a2 C.6a2 D.8a2 7.若正方体的棱长为 A. B. C. ,则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为( D. )

8.已知一个空间几何体的三视图如图所示,其中正视图、侧视图都是由半圆和矩形组成,根 ) 据图中标出的尺寸,可得这个几何体的体积是)(

A. 2π B.

C.

D.3π

9.在同一直角坐标系中,表示直线 y=ax 与 y=x+a 正确的是(

)

A.

B.

C.

D.

10.如果直线 ax+2y+2=0 与直线 3x﹣y﹣2=0 平行,则 a=( A.﹣3 B.﹣ C.﹣6 D.

)

11.x,y∈R,A={(x,y)|x2+y2=1},B={(x,y)| ﹣ =1,a>0,b>0},当 A∩B 只有 1 个元素时,a,b 满足的关系式为( A. + =1 B.a2+b2=1 C. + ) =1 D.a+b=ab

12.过点 P(2,1)且被圆 C:x2+y2﹣2x+4y=0 截得弦长最长的直线 l 的方程是( A.3x﹣y﹣5=0 B.3x+y﹣7=0 C.x﹣3y+5=0 D.x+3y﹣5=0

)

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分) 13.直线 y=2x 关于 x 轴对称的直线方程为__________. 14.圆心在直线 2x﹣y﹣7=0 上的圆 C 与 y 轴交于两点 A(0,﹣4) 、B(0,﹣2) ,则圆 C 的 方程为__________. 15.已知球面上有 A、B、C 三点,如果 AB=AC=BC=2 球的体积__________. ,球心到面 ABC 的距离为 1,那么

16.正三棱台上、下底面边长分别是 a 和 2a,棱台的高为 __________.

a,则正三棱台的侧面积为

三、解答题(本大题共 6 小题共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.设直线 l 的方程为(a+1)x+y+2﹣a=0(a∈R) . (1)若 l 在两坐标轴上的截距相等,求 l 的方程; (2)若 l 不经过第二象限,求实数 a 的取值范围. 18.已知点 P(2,0) ,及⊙C:x2+y2﹣6x+4y+4=0. (1)当直线 l 过点 P 且与圆心 C 的距离为 1 时,求直线 l 的方程; (2)设过点 P 的直线与⊙C 交于 A、B 两点,当|AB|=4,求以线段 AB 为直径的圆的方程. 19.一个几何体的三视图如右图所示.已知正视图是底边长为 1 的平行四边形,侧视图是一 个长为 ,宽为 1 的矩形,俯视图为两个边长为 1 的正方形拼成的矩形. (Ⅰ)求该几何体的体积 V; (Ⅱ)求该几何体的表面积 S.

20.如图,已知四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 的底面是菱形,侧棱 BB1⊥底面 ABCD,E 是侧棱 CC1 的中点. (Ⅰ)求证:AC⊥平面 BDD1B1; (Ⅱ)求证:AC∥平面 B1DE.

21.已知直线 l:x+my﹣3=0,圆 C: (x﹣2)2+(y+3)2=9. (1)若直线 l 与圆相切,求 m 的值; (2)当 m=﹣2 时,直线 l 与圆 C 交于点 E、F,O 为原点,求△ EOF 的面积.

22. AD⊥CD, AB∥CD, AB=AD=2, 如图, 正方形 ADEF 与梯形 ABCD 所在的平面互相垂直, CD=4,M 为 CE 的中点. (I)求证:BM∥平面 ADEF; (Ⅱ)求证:平面 BDE⊥平面 BEC.

2015-2016 学年新疆生产建设兵团一中高二(上)第一次 月考数学试卷(文科) (B 卷)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的) 1.棱长都是 1 的三棱锥的表面积为( ) A. B. C. D. 【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积. 【专题】计算题. 【分析】棱长都是 1 的三棱锥,四个面是全等的正三角形,求出一个面积即可求得结果. 【解答】解:因为四个面是全等的正三角形 则 . ,

故选 A 【点评】本题考查棱锥的面积,是基础题. 2.直线 x+ A. B. y﹣1=0 的斜率为( C.﹣ ) D.﹣

【考点】直线的斜率. 【专题】计算题;函数思想;直线与圆. 【分析】直接利用直线方程求出直线的斜率即可. 【解答】解:直线 x+ 所以直线的斜率为: y﹣1=0 的斜截式方程为:y= . x+ .

故选:C. 【点评】本题考查直线方程求解直线的斜率,是基础题. 3.已知直线 a、b 和平面 α、β,且 b⊥α,那么( ) A.b⊥a?a∥α B.b 不在 β 内?α∩β=? C.a∥α?b⊥a D.α⊥β?b∥β 【考点】空间中直线与平面之间的位置关系. 【专题】计算题. 【分析】根据一条直线与平面平行,另一条直线与平面垂直,则这两条直线的位置关系一定 是垂直. 【解答】解:∵直线 a、b 和平面 α、β,且 b⊥α, 当直线 a 与 α 平行时,b⊥a, 故选 C.

【点评】本题考查直线和平面的位置关系,是一个基础题,本题解题的关键是看清题目中各 个量的关系,不要漏掉某种情况. 4.以 A(1,3)和 B(﹣5,1)为端点的线段 AB 的中垂线方程是( A.3x﹣y+8=0 B.3x+y+4=0 C.2x﹣y﹣6=0 D.3x+y+8=0 )

【考点】直线的点斜式方程;两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系;轨迹方程. 【专题】计算题. 【分析】先求出线段 AB 的中垂线的斜率,再求出线段 AB 的中点的坐标,点斜式写出 AB 的 中垂线得方程,并化为一般式. 【解答】解:直线 AB 的斜率 ,所以线段 AB 的中垂线得斜率 k=﹣3,又线段 AB 的中

点为(﹣2,2) , 所以线段 AB 的中垂线得方程为 y﹣2=﹣3(x+2)即 3x+y+4=0, 故选 B. 【点评】本题考查利用点斜式求直线的方程的方法,此外,本题还可以利用线段的中垂线的 性质(中垂线上的点到线段的 2 个端点距离相等)来求中垂线的方程. 5.正四棱锥 P﹣ABCD 的高为 ,侧棱长为 A.2 B.4 C. D.2 ,则它的斜高为( )

【考点】点、线、面间的距离计算. 【专题】方程思想;定义法;空间位置关系与距离. 【分析】根据正四棱锥的性质,结合直角三角形的边长关系进行求解即可. 【解答】解:如图在正四棱锥中,高 VO= ,侧棱长为 VB= , 则 OB= 则 OE= 则斜高 VE= 故选:C = , = = , = ,

【点评】本题主要考查空间点线面距离的计算,比较基础. 6.如图,侧棱长为 2a 的正三棱柱的左视图的面积为 a2,则该正三棱柱的侧面积为( )

A.3a2 B.4a2 C.6a2 D.8a2 【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积. 【专题】计算题;数形结合;函数思想;综合法;空间位置关系与距离. 【分析】利用三视图侧视图面积求出三棱柱底面正三角形的高,然后求出底面三角形的边长, 即可求解侧面积. 【解答】解:由题意可知侧视图是矩形,面积为:2ah= 高为: a2,可得 h= ,底面正三角形的

,底面三角形的边长为:a,该正三棱柱的侧面积为:3a×2a=6a2.

故选:C. 【点评】本题考查棱柱的侧面积的求法,几何体的三视图的应用,考查计算能力. 7.若正方体的棱长为 A. B. C. ,则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为( D. )

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积. 【专题】计算题;压轴题. 【分析】由题意可知,凸多面体为八面体,八面体体积是两个底面边长为 1,高为 锥,求出棱锥的体积,即可求出八面体的体积. 【解答】解:所求八面体体积是两个底面边长为 1,高为 一个四棱锥体积 V1= ×1× 故八面体体积 V=2V1= . = , 的四棱锥的体积和, 的四棱

故选 B. 【点评】本题是基础题,考查棱锥的体积,正方体的内接多面体,体积的求法常用转化思想, 变为易求的几何体的体积,考查计算能力. 8.已知一个空间几何体的三视图如图所示,其中正视图、侧视图都是由半圆和矩形组成,根 ) 据图中标出的尺寸,可得这个几何体的体积是)(

A.2π

B.

C.

D.3π

【考点】由三视图求面积、体积. 【专题】计算题;图表型. 【分析】由三视图及题设条件知,此几何体为一个上部是半球,下部是圆柱的简单组合体, 球的半径为 1,圆柱的半径为 1,高为 1 故分别求出两个几何体的体积,再相加既得简单组合 体的体积 【解答】解:由题设,几何体为一个上部是半球,下部是圆柱的简单组合体, 由于半球的半径为 1,故其体积为 圆柱的半径为 1,高为 1,故其体积是 π×12×1=π 得这个几何体的体积是 +π= =

故选 C 【点评】本题考点是由三视图求几何体的面积、体积,考查对三视图的理解与应用,主要考 查三视图与实物图之间的关系,用三视图中的数据还原出实物图的数据,再根据相关的公式 求表面积与体积,本题求的是组合体的体积,一般组合体的体积要分部分来求.三视图的投 影规则是:“主视、俯视 长对正;主视、左视高平齐,左视、俯视 宽相等”.三视图是高考的 新增考点,不时出现在高考试题中,应予以重视. 9.在同一直角坐标系中,表示直线 y=ax 与 y=x+a 正确的是( )

A.

B.

C.

D.

【考点】确定直线位置的几何要素. 【专题】数形结合. 【分析】本题是一个选择题,按照选择题的解法来做题,由 y=x+a 得斜率为 1 排除 B、D,由 y=ax 与 y=x+a 中 a 同号知若 y=ax 递增,则 y=x+a 与 y 轴的交点在 y 轴的正半轴上;若 y=ax 递减,则 y=x+a 与 y 轴的交点在 y 轴的负半轴上,得到结果. 【解答】解:由 y=x+a 得斜率为 1 排除 B、D, 由 y=ax 与 y=x+a 中 a 同号知若 y=ax 递增,则 y=x+a 与 y 轴的交点在 y 轴的正半轴上; 若 y=ax 递减,则 y=x+a 与 y 轴的交点在 y 轴的负半轴上;

故选 C. 【点评】本题考查确定直线为主的几何要素,考查斜率和截距对于一条直线的影响,是一个 基础题,这种题目也可以出现在直线与圆锥曲线之间的图形的确定. 10.如果直线 ax+2y+2=0 与直线 3x﹣y﹣2=0 平行,则 a=( A.﹣3 B.﹣ C.﹣6 D. )

【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系. 【专题】计算题. 【分析】由于直线 ax+2y+2=0 与直线 3x﹣y﹣2=0 平行,故它们的斜率相等,故有﹣ =3,由 此解得 a 的值. 【解答】解:由于直线 ax+2y+2=0 与直线 3x﹣y﹣2=0 平行,故它们的斜率相等,故有﹣ =3, 解得 a=﹣6, 故选 C. 【点评】本题主要考查两直线平行的性质,两直线平行,斜率相等,属于基础题. 11.x,y∈R,A={(x,y)|x2+y2=1},B={(x,y)| ﹣ =1,a>0,b>0},当 A∩B 只有 1 个元素时,a,b 满足的关系式为( A. + =1 B.a2+b2=1 C. + ) =1 D.a+b=ab

【考点】交集及其运算. 【专题】计算题;转化思想;综合法;集合. 【分析】集合 A 表示圆心(0,0) ,半径为 1 的圆上的点集,集合 B 表示直线 bx﹣ay﹣ab=0, 两集合交集只有 1 个元素,即为直线与圆相切,求出 a 与 b 满足的关系式即可. 【解答】解:∵A={(x,y)|x2+y2=1},B={(x,y)| ﹣ =1,a>0,b>0},且 A∩B 只有 1 个元素, ∴圆 x2+y2=1 与直线 ﹣ =1,即 bx﹣ay﹣ab=0 相切,

即圆心(0,0)到直线的距离 d=r=1,即 整理得:a2+b2=a2b2,即

=1,

+

=1,

故选:C. 【点评】此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键. 12.过点 P(2,1)且被圆 C:x2+y2﹣2x+4y=0 截得弦长最长的直线 l 的方程是( A.3x﹣y﹣5=0 B.3x+y﹣7=0 C.x﹣3y+5=0 D.x+3y﹣5=0 【考点】直线与圆的位置关系. 【专题】计算题;压轴题. )

【分析】当过点 P 的直线过圆心时,截得的弦长正是圆的直径,为弦长最长的情况,进而根 据圆的方程求得圆心坐标,根据圆心和点 P 的坐标求得所求直线的方程. 【解答】解:依题意可知过点 P 和圆心的直线被圆截得的弦长最长, 整理圆方程得(x﹣1)2+(y+2)2=5,圆心为(1,﹣2) 此时直线的斜率为 =3

∴过点 P 和圆心的直线方程为 y﹣1=3(x﹣2) ,整理得 3x﹣y﹣5=0 故选 A 【点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系.考查了学生分析问题和解决问题的能力. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分) 13.直线 y=2x 关于 x 轴对称的直线方程为 y=﹣2x. 【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程. 【专题】计算题. 【分析】首先根据已知直线 y=2x 判断斜率及 y 轴截距,然后再根据直线关于 x 轴对称求出对 称直线的斜率与截距.最后写出对称直线的方程. 【解答】解:由直线 y=2x 可知: 直线斜率为 2,y 轴上截距为 0 ∵直线 y=2x 关于 x 轴对称 ∴对称直线斜率为﹣2,截距为 0 故直线 y=2x 关于 x 轴对称的直线方程为:y=﹣2x 故答案为:y=﹣2x 【点评】本题考查直线关于点,直线对称的直线方程问题,需要熟练掌握斜率的变化规律, 截距的变化规律.本题属于中档题 14.圆心在直线 2x﹣y﹣7=0 上的圆 C 与 y 轴交于两点 A(0,﹣4) 、B(0,﹣2) ,则圆 C 的 方程为(x﹣2)2+(y+3)2=5. 【考点】圆的标准方程. 【专题】计算题. 【分析】由垂径定理确定圆心所在的直线,再由条件求出圆心的坐标,根据圆的定义求出半 径即可. 【解答】解:∵圆 C 与 y 轴交于 A(0,﹣4) ,B(0,﹣2) , ∴由垂径定理得圆心在 y=﹣3 这条直线上. 又∵已知圆心在直线 2x﹣y﹣7=0 上,∴联立 ∴圆心 C 为(2,﹣3) , ∴半径 r=|AC|= = . ,解得 x=2,

∴所求圆 C 的方程为(x﹣2)2+(y+3)2=5. 故答案为(x﹣2)2+(y+3)2=5. 【点评】本题考查了如何求圆的方程,主要用了几何法来求,关键确定圆心的位置;还可用 待定系数法.

15.已知球面上有 A、B、C 三点,如果 AB=AC=BC=2 球的体积 .

,球心到面 ABC 的距离为 1,那么

【考点】球的体积和表面积. 【专题】综合题;转化思想;综合法;空间位置关系与距离. 【分析】由题意可知三角形 ACB 是等边三角形,球心到平面 ABC 的距离为 1,可求出球的半 径,然后求球的体积. 【解答】解:由题意,AB=AC=BC=2 因为球心到平面 ABC 的距离为 1, 所以球的半径是:R= , 球的体积是: πR3= 故答案为: . . ,所以△ ABC 的外接圆的半径为 2,

【点评】本题考查球的内接体问题,考查学生空间想象能力,是中档题.利用球半径与球心 O 到平面 ABC 的距离的关系,是解好本题的前提. a,则正三棱台的侧面积为 a2.

16.正三棱台上、下底面边长分别是 a 和 2a,棱台的高为

【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积. 【专题】计算题;数形结合;数形结合法;空间位置关系与距离. 【分析】作出三棱台的直观图,还原成三棱锥,利用图中的相似及直角三角形关系求出棱台 的侧棱,再求出侧面梯形的高即可算出答案. 【解答】解:作出三棱台的直观图,还原成三棱锥如图:

取 BC 中点 D,连接 OD,OB,则 BD= ∴OB=2OD ∵OD2+BD2=OB2 ∴OB=

=a,∠ODB=90°,∠OBD=30°.



=

= , = .

=

=

∴SO=2SO'= ∴SB= ∴B'B=



过 B'作 B'E⊥BC 于 E, 则 BE= (BC﹣B'C')= ∴B'E= .

=a.

即棱台侧面梯形的高为 a. ∴S 侧面积= (a+2a)?a?3= 故答案为 . .

【点评】本题考查了棱台的结构特征,面积计算,属于基础题. 三、解答题(本大题共 6 小题共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.设直线 l 的方程为(a+1)x+y+2﹣a=0(a∈R) . (1)若 l 在两坐标轴上的截距相等,求 l 的方程; (2)若 l 不经过第二象限,求实数 a 的取值范围. 【考点】直线的截距式方程;确定直线位置的几何要素;过两条直线交点的直线系方程. 【专题】待定系数法. 【分析】 (1)先求出直线 l 在两坐标轴上的截距,再利用 l 在两坐标轴上的截距相等 建立方 程,解方程求出 a 的值,从而得到所求的直线 l 方程. (2)把直线 l 的方程可化为 y=﹣(a+1)x+a﹣2,由题意得 求得 a 的范围. 【解答】解: (1)令 x=0,得 y=a﹣2. 令 y=0,得 ∵l 在两坐标轴上的截距相等,∴ (a≠﹣1) . ,解不等式组

,解之,得 a=2 或 a=0.

∴所求的直线 l 方程为 3x+y=0 或 x+y+2=0. (2)直线 l 的方程可化为 y=﹣(a+1)x+a﹣2.∵l 不过第二象限, ∴ ,∴a≤﹣1.∴a 的取值范围为(﹣∞,﹣1].

【点评】本题考查直线在坐标轴上的截距的定义,用待定系数法求直线的方程,以及确定直 线位置的几何要素.

18.已知点 P(2,0) ,及⊙C:x2+y2﹣6x+4y+4=0. (1)当直线 l 过点 P 且与圆心 C 的距离为 1 时,求直线 l 的方程; (2)设过点 P 的直线与⊙C 交于 A、B 两点,当|AB|=4,求以线段 AB 为直径的圆的方程. 【考点】圆的标准方程;直线的一般式方程. 【专题】综合题;分类讨论. 【分析】 (1)把圆的方程变为标准方程后,分两种情况①斜率 k 存在时,因为直线经过点 P, 设出直线的方程,利用点到直线的距离公式表示出圆心到所设直线的距离 d,让 d 等于 1 列出 关于 k 的方程, 求出方程的解即可得到 k 的值, 根据 k 的值和 P 的坐标写出直线 l 的方程即可; ②当斜率不存在时显然得到直线 l 的方程为 x=2; ( 2) |AB| 利用弦 的长和圆的半径, 根据垂径定理可求出弦心距|CP|的长, 然后设出直线 l 的方程, 利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线的距离 d,让 d 等于|CP|列出关于 k 的方程,求出 方程的解即可得到 k 的值,写出直线 l 的方程,把直线 l 的方程与已知圆的方程联立消去 x 得 到关于 y 的一元二次方程,利用韦达定理即可求出线段 AB 中点的纵坐标, 把纵坐标代入到直 线 l 的方程中即可求出横坐标,即可得线段 AB 的中点坐标即为线段 AB 为直径的圆的圆心坐 标,圆的半径为|AB|的一半,根据圆心和半径写出所求圆的标准方程即可. 【解答】解: (1)由题意知,圆的标准方程为: (x﹣3)2+(y+2)2=9, ①设直线 l 的斜率为 k(k 存在) 则方程为 y﹣0=k(x﹣2)即 kx﹣y﹣2k=0 又⊙C 的圆心为(3,﹣2) ,r=3, 由

所以直线方程为

即 3x+4y﹣6=0;

②当 k 不存在时,直线 l 的方程为 x=2. 综上,直线 l 的方程为 3x+4y﹣6=0 或 x=2;

(2)由弦心距

,即|CP|=



设直线 l 的方程为 y﹣0=k(x﹣2)即 kx﹣y﹣2k=0 则圆心(3,﹣2)到直线 l 的距离 d= = ,

解得 k= ,所以直线 l 的方程为 x﹣2y﹣2=0 联立直线 l 与圆的方程得

, 消去 x 得 5y2﹣4=0,则 P 的纵坐标为 0,把 y=0 代入到直线 l 中得到 x=2, 则线段 AB 的中点 P 坐标为(2,0) ,所求圆的半径为: |AB|=2, 故以线段 AB 为直径的圆的方程为: (x﹣2)2+y2=4.

【点评】此题考查学生灵活运用点到直线的距离公式化简求值,灵活运用垂径定理及韦达定 理化简求值,会根据圆心坐标和半径写出圆的标准方程,是一道中档题. 19.一个几何体的三视图如右图所示.已知正视图是底边长为 1 的平行四边形,侧视图是一 个长为 ,宽为 1 的矩形,俯视图为两个边长为 1 的正方形拼成的矩形. (Ⅰ)求该几何体的体积 V; (Ⅱ)求该几何体的表面积 S.

【考点】由三视图求面积、体积. 【专题】计算题. 【分析】 (I)根据正视图是底边长为 1 的平行四边形,侧视图是一个长为 ,宽为 1 的矩形, 得到该几何体是一个平行六面体(如图) ,其底面是边长为 1 的正方形,高为 ,做出体积. (Ⅱ)由第一问看出的几何体,知道该平行六面体中,A1D⊥面 ABCD,CD⊥面 BCC1B1,得 到侧棱长,表示出几何体的表面积,得到结果. 【解答】解: (I)由三视图可知,该几何体是一个平行六面体(如图) , 其底面是边长为 1 的正方形,高为 , ∴ (Ⅱ)由三视图可知,该平行六面体中,A1D⊥面 ABCD,CD⊥面 BCC1B1, ∴AA1=2, 侧面 ABB1A1,CDD1C1 均为矩形 ∴ .

【点评】本题考查由三视图求几何体的表面积和体积,考查由三视图还原几何图形的直观图, 考查线面垂直的应用,本题是一个简单的综合题目. 20.如图,已知四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 的底面是菱形,侧棱 BB1⊥底面 ABCD,E 是侧棱 CC1 的中点. (Ⅰ)求证:AC⊥平面 BDD1B1; (Ⅱ)求证:AC∥平面 B1DE.

【考点】平面与平面平行的判定;平面与平面垂直的判定. 【专题】证明题. 【分析】 (Ⅰ)先证 AC⊥BD 与 BB1⊥AC,再证 AC⊥平面 BDD1B1(Ⅱ)设 AC,BD 交于点 O,取 B1D 的中点 F,连接 OF,EF,先证 OF∥CC1 与 OF=CC1,再证 OC∥EF,再证 AC∥ 平面 B1DE. 【解答】证明: (Ⅰ)因为 ABCD 是菱形,所以 AC⊥BD, 因为 BB1⊥底面 ABCD, 所以 BB1⊥AC, 所以 AC⊥平面 BDD1B1. (Ⅱ)设 AC,BD 交于点 O,取 B1D 的中点 F,连接 OF,EF, 则 OF∥BB1,且 又 E 是侧棱 CC1 的中点, 所以 OF∥CC1,且 , , ,BB1∥CC1,BB1=CC1,

所以四边形 OCEF 为平行四边形,OC∥EF, 又 AC∥平面 B1DE,EF∥平面 B1DE, 所以 AC∥平面 B1DE. (13 分)

【点评】证明线面垂直的关键是在平面内找到两条相交直线与已知直线垂直,在证明时要充 分利用平面几何的知识,以达到通过平面内的垂直关系证明空间中的垂直关系的目的. 21.已知直线 l:x+my﹣3=0,圆 C: (x﹣2)2+(y+3)2=9. (1)若直线 l 与圆相切,求 m 的值; (2)当 m=﹣2 时,直线 l 与圆 C 交于点 E、F,O 为原点,求△ EOF 的面积. 【考点】圆的切线方程;直线与圆的位置关系.

【专题】计算题;数形结合;函数思想;综合法;直线与圆. 【分析】 (1)通过直线 l 与圆相切,利用圆心到直线的距离等于半径,即可求 m 的值; (2)当 m=﹣2 时,直线 l 与圆 C 交于点 E、F,O 为原点,利用垂径定理,求出弦长,然后 求△ EOF 的面积. 【解答】解圆 C 的圆心 C(2,﹣3) ,r=3. (1) =3,∴m= .

(2)当 m=﹣2 时,直线 l:x﹣2y﹣3=0, C 到直线 l 的距离 d= ∴|EF|=2 =4. . = . = ,

O 到直线 l 的距离为 h=

∴△EOF 的面积为 S= ×4×

【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用,考查计算能力. 22. AD⊥CD, AB∥CD, AB=AD=2, 如图, 正方形 ADEF 与梯形 ABCD 所在的平面互相垂直, CD=4,M 为 CE 的中点. (I)求证:BM∥平面 ADEF; (Ⅱ)求证:平面 BDE⊥平面 BEC.

【考点】平面与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定. 【分析】 (I)取 DE 中点 N,连接 MN,AN,由三角形中位线定理易得,四边形 ABMN 为平 行四边形,即 BM∥AN,再由线面平行的判定定理即可得到 BM∥平面 ADEF; (II)由已知中正方形 ADEF 与梯形 ABCD 所在的平面互相垂直,AD⊥CD,AB∥CD, AB=AD=2,CD=4,我们易得到 ED⊥BC,解三角形 BCD,可得 BC⊥BD,由线面垂直的判 定定理,可得 BC⊥平面 BDE,再由面面垂直的判定定理,即可得到平面 BDE⊥平面 BEC. 【解答】证明: (I)取 DE 中点 N,连接 MN,AN 在△ EDC 中,M,N 分别为 EC,ED 的中点 ∴MN∥CD,且 MN= CD, 由已知中 AB∥CD,AB=AD=2,CD=4, ∴MN∥AB,且 MN=AB ∴四边形 ABMN 为平行四边形

∴BM∥AN 又∵AN?平面 ADEF BM?平面 ADEF ∴BM∥平面 ADEF (II)∵ADEF 为正方形 ∴ED⊥AD 又∵正方形 ADEF 与梯形 ABCD 所在的平面互相垂直,且 ED?平面 ADEF ∴ED⊥平面 ABCD ∴ED⊥BC 在直角梯形 ABCD 中,AB=AD=2,CD=4,可得 BC=2 在△ BCD 中,BD=BC=2 ,CD=4 ∴BC⊥BD ∴BC⊥平面 BDE 又∵BC?平面 BEC ∴平面 BDE⊥平面 BEC

【点评】本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定,熟练掌握空 间中直线与平面平行和空间的判定、性质、定义是解答本题的关键.


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