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2013届盐城市高三考前突击精选模拟试卷数学卷1


江苏省盐城市 2013 届高三考前突击精选模拟试卷数学卷 1
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分. 1.集合 A={ x |1<x≤3,x∈R },B={ x |-1≤x≤2,x∈R },则 A ? B= 2.已知 | a | =3, | b | =2.若 a ? b =-3,则 a 与 b 夹角的大小为 . 3.设 x,y 为实数,且

r />x 1? i





y 1 ? 2i



5 1 ? 3i

,则 x+y=

. .

4.椭圆 x 2 + my 2 =1 的焦点在 y 轴上,长轴长是短轴长的两倍,则 m 的值为
??

5.若 ? ∈ ? , ? , sin 2? =
?4 2?

??

1 16

,则 cos ? - sin ? 的值是



6.已知 ? ={(x,y)|x+y<6,x>0,y>0},A={(x,y)|x<4,y>0,x-2y>0}, 若向区域 ? 上随机投掷一点 P,则点 P 落入区域 A 的概率为 . 7.已知 a,b 为异面直线,直线 c∥a,则直线 c 与 b 的位置关系是 . 8.一个算法的流程图如右图所示 则输出 S 的值为 . 9.将 20 个数平均分为两组,第一组的平均数为 50,方差为 33;第二组 的平均数为 40,方差为 45,则整个数组的标准差是 . 10. 某同学在借助题设给出的数据求方程 lg x =2-x 的近似数(精确到 0.1) 时,设 f ( x) = lg x +x-2,得出 f (1) <0,且 f (2) >0,他用“二分法”取到 了 4 个 x 的值,计算其函数值的正负,并得出判断:方程的近似解为 x≈1.8, 那么他所取的 4 个值中的第二个值为 .
, 11.设 OM = ?1 ?
??? ???? ? ? ???? ?

?

???? 1? ? , ON =(0,1),O 2?

为坐标原点,动点 P(x,y)满足

0≤ OP ? OM ≤1,0≤ OP ? ON ≤1,则 z=y-x 的最小值是

??? ???? ?



12.设周期函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,若 f ( x) 的最小正周期为 3,且满足 f (1) >-2, f (2) =m-
3 m

,则 m 的取值范围是


d 2

13.等差数列 ?an ? 的公差为 d,关于 x 的不等式

x

2

+ ? a1 ?
?

?

d? ? x +c≥0 2?

的解集为[0,

22],则使数列 ?an ? 的前 n 项和 S n 最大的正整数 n 的值是


1 x

14.方程 x 2 + 2x -1=0 的解可视为函数 y=x+ 2 的图象与函数 y=

的图象交点
9 xi ) (i=1,

的横坐标.若 x 4 + ax -9=0 的各个实根 x1 , x2 ,?, xk (k≤4)所对应的点 ( xi, 2,?,k)均在直线 y=x 的同侧,则实数 a 的取值范围是 .

二、填空题:本大题共 6 小题,共计 70 分.请在指定区域内作答,解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤.

15. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) = A sin(? x ? ? ) ,x∈R(其中 A>0,? >0,0< ? < 交点中,相邻两个交点之间的距离为 (1)求 f ( x) 的解析式; (2)当 x∈ [
, ] 时,求 f ( x ) 的值域. 12 2

?
2

)的图象与 x 轴的

?
2

,且图象上一个最低点为 M (

2? 3

,? 2) .

?

?

16. (本小题满分 14 分) 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PD⊥底面 ABCD,底面 ABCD 是直角梯形,DC∥AB,∠BAD = 90? ,且 AB=2AD=2DC=2PD=4,E 为 PA 的中点. (1)证明:DE∥平面 PBC; (2)证明:DE⊥平面 PAB.

17. (本小题满分 14 分) 有一气球以 v(m/s)的速度由地面上升(假设气球在上升过程中的速度 大小恒定), 分钟后由观察点 P 测得气球在 P 的正东方向 S 处, 10 仰角为 45? ; 再过 10 分钟后, 测得气球在 P 的东偏北 30? 方向 T 处, 其仰角为 60? (如图, 其中 Q、R 分别为气球在 S、T 处时的正投影).求风向和风速(风速用 v 表 示).

18. (本小题满分 16 分) 已知圆 C 过点 P(1,1),且与圆 M: ( x ? 2) 2 + ( y ? 2) 2 = r 2 (r>0)关于直线 x+y+2=0 对称. (1)求圆 C 的方程; (2)设 Q 为圆 C 上的一个动点,求 PQ ? MQ 的最小值; (3)过点 P 作两条相异直线分别与圆 C 相交于 A,B,且直线 PA 和直线 PB 的倾斜角互 补,O 为坐标原点,试判断直线 OP 和 AB 是否平行?请说明理由.
??? ???? ? ?

19. (本小题满分 16 分) 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且满足 S n =2- an ,n=1,2,3,?. (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)若数列 ?bn ? 满足 b1 =1,且 bn ?1 = bn + an ,求数列 ?bn ? 的通项公式; (3)设 cn =n (3- bn ),求数列 ?cn ? 的前 n 项和为 Tn .

20. (本小题满分 16 分) 已知集合 M 是满足下列性质的函数 f ( x) 的全体: 存在非零常数 k, 对定义域中的任意 x, 等式 f (kx) =
k 2

+ f ( x) 恒成立.

(1)判断一次函数 f ( x) =ax+b(a≠0)是否属于集合 M; (2)证明函数 f ( x) = log 2 x 属于集合 M,并找出一个常数 k; (3)已知函数 f ( x) = log a x ( a>1)与 y=x 的图象有公共点,证明 f ( x) = log a x ∈M.

(附加题)
21. 【选做题】在下面 A、B、C、D 四个小题中只能选做两题,每小题 10 分,共 20 分. A.选修 4-1:几何证明选讲 如图,已知 AB 、CD 是圆 O 的两条弦,且 AB 是线段 CD 的垂直平分线, 已知 AB ? 6, CD ? 2 5 ,求线段 AC 的长度.

B.选修 4-2:矩阵与变换 已知二阶矩阵 A 有特征值 ?1
?1? ? 1 及对应的一个特征向量 e1 ? ? ? 和特征值 ?2 ? 2 及对应的 ?1?

一个特征向量 e2

?1 ? ? ? ? ,试求矩阵 ?0 ?

A.

C.选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,已知曲线 C 的参数方程是 ?
? y ? sin ? ? 1 ? x ? cos ?

( ? 是参数) ,若以 O 为

极点, x 轴的正半轴为极轴,取与直角坐标系中相同的单位长度,建立极坐标系,求曲线 C 的极坐标方程.

D.选修 4-5:不等式选讲 已知关于 x 的不等式 ax ? 1 ? ax ? a ? 1 ( a ? 0 ). (1)当 a ? 1 时,求此不等式的解集; (2)若此不等式的解集为 R ,求实数 a 的取值范围.

22. [必做题] (本小题满分 10 分) 在十字路口的路边,有人在促销木糖醇口香糖,只听喇叭里喊道:木糖醇口香糖,10 元钱三瓶,有 8 种口味供你选择(其中有一种为草莓口味) 。小明一看,只见一大堆瓶装口 香糖堆在一起(假设各种口味的口香糖均超过 3 瓶,且每瓶价值均相同) . (1)小明花 10 元钱买三瓶,请问小明共有多少种选择的可能性? (2)小明花 10 元钱买三瓶,售货员随便拿三瓶给小明,请列出有小明喜欢的草莓味口香糖 瓶数 ? 的分布列,并计算其数学期望.

23. [必做题] (本小题满分 10 分) 已知 ( x ? 1) n ? a0 ? a1 ( x ? 1) ? a2 ( x ? 1) 2 ? a3 ( x ? 1)3 ? ? ? an ( x ? 1) n , (其中 n ? N? )
S n ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an .

(1)求 S n ; (2)求证:当 n ≥ 4 时, S n ? (n ? 2)2n ? 2n 2 .

参考答案
1.[-1,3] 6.
2 9

2. 120? 7.相交或异面 12. (?? , ?1) ? (0 , 3)
2? 3

3.4 8.45 13.11

4.

1 4

5. ?

15 4

9.8

10.1.75

11.-1

14. (?? , ?24) ? (24 , ??)
?
2

15. 由最低点为 M( (1) =
?
2

, -2)得 A=2. x 轴上相邻两个交点之间的距离为 由 =2. 由点 M(
?
2 2? 3



T 2

, T= ? ,? = 即
4? 3

2? T


4? 3

2?

?

, -2)在图象上得 2sin(2 ?
11? 6

2? 3

? ? ) =-2,

即 sin(

? ? ) =-1.故

? ? = 2k? -

,k∈Z.所以 ? = k? -

.又 0< ? <

?
2



所以 ? =

?
6

,故 f ( x) = 2sin(2 x ?
?

?
6

).

(2)因为 x∈ [ 当 2x ? 当 2x ?
?
6

? ? ? 7? , ] ,所以 (2 x ? ) ∈ [ , ]. 12 2 6 3 6
?
6

= =

?
2

,即 x=

时, f ( x) 取得最大值 2; 时, f ( x) 取得最小值-1.

?
6

7? 6

,即 x=

?
2

故 f ( x) 的值域为[-1,2]. 16. (1)设 PB 的中点为 F,连结 EF、CF,EF∥AB,DC∥AB, 所以 EF∥DC,且 EF=DC=
1 2 AB .

故四边形 CDEF 为平行四边形,可得 ED∥CF. 又 ED ? 平面 PBC,CF ? 平面 PBC, 故 DE∥平面 PBC. (2)因为 PD⊥底面 ABCD,AB ? 平面 ABCD,所以 AB⊥PD. 又因为 AB⊥AD,PD ? AD=D,AD ? 平面 PAD,PD ? 平面 PAD,所以 AB⊥平面 PAD.

ED ? 平面 PAD,故 ED⊥AB.又 PD=AD,E 为 PA 的中点,故 ED⊥PA; PA ? AB=A,PA ? 平面 PAB,AB ? 平面 PAB,所以 ED⊥平面 PAB. 17. 分钟后由观察点 P 测得气球在 P 的正东方向 S 处, 10 仰角为 45? 的 S 点处, 即∠SPQ

?
4

,所以 PQ=QS=600v(m). 又 10 分钟后测得气球在 P 的东偏北 30? 方向,其仰角为 60? 的 T 点处,即∠RPQ=
?
6



∠TPR=

?
3

,RT=2QS=1200v(m),于是 PR=

RT tan

?
3

= 400 3v (m).

在△PQR 中由余弦定理,得 QR= PQ 2 ? PR 2 ? 2 PQ ? PR cos ?QPR = 200 3v (m). 因为 PR 2 = (400 3v) 2 = (600v) 2 + (200 3v) 2 = PQ 2 + QR 2 .所以∠PQR=
?
2

,即风向

为正南风. 因为气球从 S 点到 T 点经历 10 分钟,即 600s,所以风速为
| QR | 600
?a ? 2 b ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 0, ? a ? 0, ? C(a,b),则 ? 解得 ? ?b ? 0. ? b ? 2 ? 1. ?a ? 2 ?



3v 3

(m/s).

18. (1)设圆心

则圆 C 的方程为 x 2 + y 2 = r 2 ,将点 P 的坐标代入,得 r 2 =2,故圆 C 的方程为 x 2 + y 2 =2. (2)设 Q(x,y),则 x 2 + y 2 =2,且 PQ ? MQ =(x-1,y-1)·(x+2,y+2)= x 2 + y 2 +x+y-4=x+y-2,所以 PQ ? MQ 的最小值为-4(可由线性规划或三角代换求得). (3)由题意,知直线 PA 和直线 PB 的斜率存在,且互为相反数,故可设 PA:y-1=k(x-1),PB:y-1=-k(x-1). 由?
? y ? 1 ? k ( x ? 1), ? x ? y ? 2,
2 2

??? ???? ? ?

??? ???? ? ?

得 (1 ? k 2 ) x 2 +2k(1-k)x+ (1 ? k ) 2 -2=0.
k ? 2k ? 1
2

因为点 P 的横坐标 x =1 一定是该方程的解,故可得 x A =
k ? 2k ? 1
2

1? k

2

,同理 xB =

1? k

2

.所以 k AB =

yB ? y A xB ? x A



? k ( xB ? 1) ? k ( x A ? 1) xB ? x A



2 k ? k ( xB ? x A ) xB ? x A

=1= kOP .

所以直线 OP 和 AB 一定平行. 19. (1)因为 n=1 时, a1 + S1 = a1 + a1 =2,所以 a1 =1. 因为 S n =2- an ,即 an + S n =2,所以 an ?1 + S n ?1 =2. 两式相减: an ?1 - an + S n ?1 - S n =0,即 an ?1 - an + an ?1 =0,故有 2an ?1 = an . 因为 an ≠0,所以
an ?1 an



1 2

( n∈ N ? ).

所以数列 ?an ? 是首项 a1 =1,公比为

1 2

的等比数列, an = ? ?
?2?

?1?

n?1

( n∈ N ? ).

(2)因为 bn ?1 = bn + an (

?1? n=1,2,3,?),所以 bn ?1 - bn = ? ? ?2? ?1? ?2?
2

n?1

.从而有

b2 ? b1 =1, b3 ? b2 =

1 2

, b4 ? b3 = ? ? ,?, bn ? bn ?1 = ? ?
?2?

?1?

n? 2

( n=2,3,?).

将这 n-1 个等式相加,得

bn - b1 =1+

1

?1? +? ? 2 ?2?

2

?1? +?+ ? ? ?2?

n? 2

?1? 1? ? ? ?2? = 1 1? 2

n?1

?1? =2- 2 ? ? ?2?

n?1



又因为 b1 =1,所以 bn =3- 2 ? ?
?2?

?1?

n?1

( n=1,2,3,?).

(3)因为 cn =n
?? 1 ? ?? 2 ? ?
1 0

?1? (3- bn )= 2n ? ? ?2?

n ?1


n?2 n ?1

所以 Tn = 2 ?? ? ? 2 ? ? ? 3 ? ? ? ? ? ( n ? 1) ? ?
?2?
2

?1?

?1? ?2?
3

2

?1? ?2?

?1? ? n? ? ?2?
n

? ? ? ?





1

?? 1 ? ?1? ?1? ?1? Tn = 2 ?? ? ? 2 ? ? ? 3 ? ? ? ? ? ( n ? 1) ? ? 2 ?2? ?2? ?2? ?? 2 ? ?

n ?1

?1? ? ? n? ? ? . ?2? ? ?
n ? ?1? ? - 2n ? ? . ?2? ? ?



①-②,得

1

?? 1 ? ?1? ?1? ?1? Tn = 2 ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ?2? ?2? ?2? ?? 2 ? ?
0 2
n

n?1

?1? 1? ? ? 2 故 Tn = 4 ? ? 1 1? 2

?1? - 4n ? ? ?2?

n

?1? =8- n - 4n ? ? 2 ?2?

8

n

=8- (8 ? 4n)

1 2
n

( n=1,2,3,?).

20. (1) f ( x) =ax+b∈M, 若 则存在非零常数 k, 对任意 x∈D 均有 f (kx) =akx+b=
k 2
? k ? 1 ? 0, ? k ? 0,

k 2

+ f ( x) ,即 a(k-1)x=
k 2

恒成立,得 ?

无解,所以 f ( x) ? M.

(2) log 2 (kx) =
log 2 x ∈M.

+ log 2 x ,则 log 2 k =

k 2

,k=4,k=2 时等式恒成立,所以 f ( x) =

(3)因为 y= log a x ( a>1)与 y=x 有交点,由图象知,y= log a x 与 y= 设 log a k =
k 2

x 2

必有交点.

,则 f (kx) = log a (kx) = log a k + log a x =

k 2

+ f ( x) ,所以 f ( x) ∈M.

附加题部分
21. 【选做题】 A. (选修 4-l:几何证明选讲) 连接 BC 设 AB, CD 相交于点 E , AE ? x ,∵AB 是线段 CD 的 垂直平分线, ∴AB 是圆的直径,∠ACB=90°?????????2 分

C B E D A

则 EB ? 6 ? x , CE ? 5 .由射影定理得 CE 2 ? AE ?EB , 即有 x(6 ? x) ? 5 ,解得 x ? 1 (舍)或 x ? 5 ????8 分

∴ AC 2 ? AE ?AB ? 5 ? 6 ? 30 ,即 AC ? 30 .???10 分 B. (选修 4—2:矩阵与变换) 设矩阵 A ? ?
?a ?c b? ? ,这里 a , b , c , d ? R , d?

因 为 ? ? 是 矩 阵 A 的 属 于 ?1 ? 1 的 特 征 向 量 , 则 有 ? ?1? ? ?c ①, ???4 分
?1 ?

?1?

?1 ? a

? b ? ?1? ? 0 ? ?? ? ? ? ? 1 ? d ? ?1? ? 0 ?

又 因 为 ? ? 是 矩 阵 A 的 属 于 ?2 ? 2 的 特 征 向 量 , 则 有 ? ?0 ? ? ?c ②, ???6 分
?1 ? a ? b ? 0 , ? ? ?c ? 1 ? d ? 0 , 根据①②,则有 ? ?2 ? a ? 0 , ? ?c ? 0 , ?

?2 ? a

? b ? ?1 ? ? 0 ? ?? ? ? ? ? 1 ? d ? ?0? ?0?

???????????????????8 分

从而 a ? 2 , b ? ?1, c ? 0 , d ? 1, 因此 A ? ? C. (选修 4-4:坐标系与参数方程) 由
? y ? sin ? ? 1 ? ? x ? cos ?
2

? 2 ? 1? ? ? 0 1?

,????????????10 分



? y ? 1 ? sin ? ? ? x ? cos ?



















x ? ( y ? 1) ? 1 ,?????????4 分
2

∴曲线 C 是以 (0,1) 为圆心,半径等于的圆.令 x ? ? cos? , y ? ? sin ? , 代 入 并 整 理 得
? ? 2sin ?

. 即 曲 线 C

的 极 坐 标 方 程 是

? ? 2sin ? . ??????????10 分

D. (选修 4-5:不等式选讲) (1)当 a ? 1 时,得 2
x ?1 ? 1,
1



x ?1 ?

1 2

, 解得 x ?

3 2

或x ?

1 2

,

∴不等式的解集为 (??,

3 ] ? [ , ??) . 2 2

??????????????????5 分

(2)∵ ax ? 1 ? ax ? a ? a ? 1 , ∴原不等式解集为 R 等价于 a ? 1 ? 1. ∴ a ? 2, 或a ? 0. ∵ a ? 0 ,∴ a ? 2. 22.[必做题] ∴实数 a 的取值范围为 [2,??) . ????????????10 分

3 1 1 (1)若 8 种口味均不一样,有 C8 ? 56 种;若其中两瓶口味一样,有 C8 C 7 ? 56 种;

若三瓶口味一样,有 8 种。所以小明共有 56 ? 56 ? 8 ? 120 种选择。 ???????4 分 (2) ? 的取值为 0,1,2,3.
C7 ? C7 ? 6 ? 7
3 1

P (? ? 0) ?

?

84 120
1 120

?

7 10

; P (? ? 1) ?

C7 ? 7
2

?

28 120

?

7 30



120
P (? ? 2) ? 7 120

120

; P (? ? 3) ?



所以 ? 的分布列为????????????????????????????8 分
?
P

0
7 10
? 0? 7 10 ? 1? 7 30 ? 2? 7 120 ? 3? 1 120

1
7 30
? 3 8

2
7 120

3
1 120

其数学期望 E?



??????????10 分

23.[必做题] (1)取 x ? 1 ,则 a0 ? 2n ;取 x ? 2 ,则 a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ? 3n , ∴ Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ? 3n ? 2n ; ????????????????4 分

(2)要证 Sn ? (n ? 2)2n ? 2n 2 ,只需证 3n ? (n ? 1)2n ? 2n 2 , 当 n ? 4 时, 81 ? 80 ; 假设当 n ? k (k ? 4) 时,结论成立,即 3k ? (k ? 1)2k ? 2k 2 , 两边同乘以 3 得: 3k ?1
? 3 ? ( k ? 1)2 ? 2k ? ? k 2 ? ?
k 2 k ?1

? 2( k ? 1) ? [( k ? 3)2 ? 4k ? 4k ? 2]
2 k 2

而 (k ? 3)2k ? 4k 2 ? 4k ? 2 ? (k ? 3)2 k ? 4( k 2 ? k ? 2) ? 6 ? ( k ? 3)2 k ? 4( k ? 2)( k ? 1) ? 6 ? 0 ∴ 3k ?1 ? ((k ? 1) ? 1)2k ?1 ? 2(k ? 1) 2 ,即 n ? k ? 1 时结论也成立, ∴当 n ? 4 时, 3n ? (n ? 1)2n ? 2n 2 成立. 综上原不等式获证. ??????????????????????????10 分


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