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正弦定理教学设计


青海省格尔木市第一中学

正弦定理
李敬年 2016.10

1、创设情境 提出问题

引入

小王去察尔汗盐湖,他发现在他所 在位置北偏东60°方向有一艘采盐 船,当他开车向正东方向走了5千 米后,发现采盐船在他的北偏西 45°的位置。此时,采盐船离小王 多远?

已知 ?ABC 中 ?B ? 30? ?C ? 45?
BC=5,求AC的长。

A

B

C

2、探寻特例 提出猜想
B

a

c

a sinA= c b sinB= c
A

c? c? c?

a sinA b sinB c sinC

C

b

c sinC= 1 = c

在直角三角形中:

a b c ? ? sinA sinB sinC

发现对于锐角、钝角三角形是否成立?

60

2

°
1

60°

30

°
3

30°

3、逻辑推理 证明猜想

? 在任意三角形中,sinA ? sinB均成立 sinC

a

b

c

猜 想 验 证

正弦定理 李敬年.exe

3、逻辑推理 证明猜想

问题2:你能严格地推理证明猜想吗?
等面积法 等面积法.mp4 02 01 作高法 作高法.mp4

正弦定理 证明方法

03 向量法 flash.exe 4

外接圆法 flash.exe

4、定理形成 概念深化
正弦定理: 在一个三角形中,各边的长和它所对角的正弦的比相等,

a b c ? ? sinA sinB sinC
(1)正弦定理展现了三角形边角关系的和谐美和对称美; (2)解三角形: 一般地,我们把三角形的三个角和它的对边分别 叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解 三角形. 问题3:利用正弦定理解三角形,至少已知几个元素? 问题4:正弦定理可以解决那类解三角问题?

5、范例教学 举一反三 例1、已知 ?ABC 中,a=20,A=30°,C=45°解三角形。
解:∵A=30°,C=45°, 由正弦定理b=
asinB sinA

∴B=180°﹣(A+C)=105° =
20sin105? sin 30?

=40sin(45° +60°)

= 10 6 ? 2 ; c=

?

?

a sinC sinA

=

20sin 45? ? 20 2 sin 30?

∴B=105°, b= 10 6 ? 2

?

?

c= 20 2
3 ,A=45°,C=75°,

变式1:(2015年福建高考)若?ABC 中,AC=
则:BC=
2

例2、解决本课引入中提出的问题。
小王去察尔汗盐湖,他发现在他所在位置 北偏西30°方向有一艘采盐船,当他开车 向正北方向走了5千米后,发现采盐船在 他的南偏西45°的位置。此时,采盐船离 小王多远?

A

B
a sinB 5sin 30? = sinA sin105?

C

AC=b=
?B ? 30? ?C ? 45? 已知 ?ABC 中,
BC=5,求AC的长。(精确到0.1)

= 5? 6 ? 2 ? ≈
2

3.5

变式2:在河面上需要架设东西走向的桥梁铺设铁轨,在设计预算 时,在河一侧点C在A点北偏东60°,另一侧点B在A点北偏西15°, 已知AB=3km,在B、C两处连线架设铁轨需多少米?

6、归纳小结
问题4:本节课你学到了哪些知识?有什么收获? 1、找到了解决任意三角形边角关系的重要工具—正弦定理。 2、正弦定理的证明方法。

3、了解了实际生活中简单的三角度量方法。
作业:1、请至少有三种方法证明正弦定理。 2、课本P4第1题 ,P10第1题


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