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2014-2015学年(下)高二年级期中考试理科数学试卷


2014-2015学年(下)高二年级期中考试
理 科 数 学 试 卷
(出卷人:孙法根 2015.4.27)

一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的) 1、已知 i 是虚数单位,复数 1 ? 3i = A. 2 ? i 2、 B. 2 ? i
x

1? i

C. ?1 ? 2i

D. ?1 ? 2i

? 0(e

1

? 2 x)dx 等于

A.1 B. e ? 1 C. e D. e ? 1 3、曲线 y=xln x 在点(e,e)处的切线与直线 x+ay=1 垂直,则实数 a 的值为 A.2 B.-2 1 C. 2
2

1 D.- 2

4、用反证法证明命题“设 a, b ? R, 则方程 x ? ax ? b ? 0 至少有一个实根”时要做的假设是 A.方程 x ? ax ? b ? 0 至多有一个实根
2

B. 方程 x ? ax ? b ? 0 没有实根
2

C.方程 x ? ax ? b ? 0 至多有两个实根
2

D.方程 x ? ax ? b ? 0 恰好有两个实根
2

5、用数学归纳法证明不等式 1 ? 形式是( A. 1 ? )

1 1 ? ? 2 3

?

1 ? n(n ? N?,且n ? 1) 时,当 n ? k ? 1 时不等式的 2 ?1
n

1 1 1 ? ? ? k ? k ?1 2 3 2 1 1 1 1 ? k ?1 ? k ?1 B. 1 ? ? ? ? k 2 3 2 ?1 2 ?1 1 1 1 1 1 ? k ? k ?1 ? k ?1 C. 1 ? ? ? ? k 2 3 2 ?1 2 2 ?1 1 1 1 1 1 1 1 ? k? k ? ? k ?1 ? k ?1 ? k ?1 D. 1 ? ? ? ? k 2 3 2 ?1 2 2 ?1 2 ? 2 2 ?1
6、将 2 名教师,4 名学生分成 2 个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组由 1 名

教师和 2 名学生组成,不同的安排方案共有 A.12 种 B.10 种 C.9 种 D.8 种

7、某班班会准备从甲、乙等 7 名同学中选派 4 名学生发言,要求甲乙两人至少有一人参加,当甲乙两 人同时参加时,他们两人的发言顺序不能相邻,那么不同的发言顺序的种数为 A. 360 B.520 C.600 D.720

高二期中考试 理科数学试卷 第 1 页 共 4 页

8、若函数 f(x)的导函数为 f′(x),且对任意 x ? R 都有 f′(x)> f(x) 恒成立,则下列结论正确的是 A. 3 f (ln 2) ? 2 f (ln 3) C. 3 f (ln 2) ? 2 f (ln 3) B. 3 f (ln 2) ? 2 f (ln 3) D. 3 f (ln 2) 与 2 f (ln 3) 的大小不能确定

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分)
9、设 n=

?

π 2 0

1 4sin xdx,则二项式(x- )n 的展开式的常数项是 x

10、函数 f(x)=

ln x 的单调递增区间是________. x

11、六个人从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有______种. 12、把一个周长为 12 cm 的长方形围成一个圆柱,当圆柱的体积最大时,该圆柱的底面周长与高的比

为________.

2 ?1? 13、已知函数 f ( x) ? x ? , g ( x) ? ? ? ? m .若对? x1 ? [1,2] ,? x2 ? [?1,1] 使 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,则 x ? 2?
2

x

实数 m 的取值范围是

.

14、在平面几何中有如下结论:若正三角形 ABC 的内切圆面积为 S1 ,外接圆面积为 S 2 ,则

S1 1 ? 。 S2 4

推广到空间立体几何中可以得到类似结论:若正四面体 ABCD 的内切球体积为 V1 ,外接球体积为 V2 , 则

V1 ? V2

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.请将详细解答过程写在答题卡上) 15、(本小题满分 12 分)

?3 1 ? 在二项式 ? ? x? 3 ? ? 的展开式中,前三项系数的绝对值成等差数列. 2 x? ?
(1)求展开式的第四项; (2)求展开式中二项式系数最大的项.

n

高二期中考试 理科数学试卷 第 2 页 共 4 页

16、(本小题满分 12 分) 如图, 由曲线 y=x2 和直线 x=0,x=1,y= t 2( 0 ? t ? 1 )所围成的图形(阴影部分)的面积分别为 S1 和

S2 。
(1) t 为何值时, S1 = S 2 ? (2) t 为何值时, S (t ) ? S1 ? S 2 有最小值?

y ? x2

S1

S2

y ? t2

17、 (本小题满分 14 分) 观察下列等式:
12 ? 1 12 ? 22 ? ?3 12 ? 22 ? 32 ? 6 12 ? 22 ? 32 ? 42 ? ?10

……
照此规律, 猜想第 n 个等式为 并对此猜想用数学归纳法加以证明。 .

18、 (本小题满分 14 分) 已知: f ( x) ? ln x ? x ? 1 (1)求证: ln x ? x ? 1 ; (2)当 0 ? x1 ? x2 时,

f ( x2 ) ? f ( x1 ) 1 ? ?1 x2 ? x1 x1

高二期中考试 理科数学试卷 第 3 页 共 4 页

19、 (本小题满分 14 分) 已知函数 f(x)=e
-kx

1? ? 2 ?x +x-k? · ? ?

(k<0).

(1)求 f(x)的单调区间; (2)是否存在实数 k,使得函数 f(x)的极大值等于 3e 由.
?2

?若存在,求出 k 的值;若不存在,请说明理

20、 (本小题满分 14 分) 如下图,过曲线 C : y ? e 上一点 P 0 (0,1) 作曲线 C 的切线 l0 交 x 轴于点 Q 1 作 x 轴的 1 ( x1 ,0) ,又过 Q
x

垂线交曲线 C 于点 P 1 ( x1 , y1 ) ,然后再过 P 1 ( x1 , y1 ) 作曲线 C 的切线 l1 交 x 轴于点 Q2 ( x2 , 0) ,又过 Q2 作

x 轴 的 垂 线 交 曲 线 C 于 点 P2 ( x2 , y2 ) ,

, 以 此 类 推 , 过 点 Pn 的 切 线 ln
*

与 x 轴相交于点

. Qn?1 ( xn?1 ,0) ,再过点 Qn ?1 作 x 轴的垂线交曲线 C 于点 Pn?1 ( xn?1 , yn?1 ) ( n ?N ) (1) 求 x1 、 x2 及数列 {xn } 的通项公式; (2) 设曲线 C 与切线 ln 及直线 P n?1Qn?1 所围成的图形面积为 Sn ,求 Sn 的表达式; T x * (3) 在满足(2)的条件下, 若数列 {Sn } 的前 n 项和为 Tn ,求证: n ?1 ? n ?1 (n ? N ) . Tn xn

y

P0

P1 Pn+1 Pn l0

Qn+1

Q1

O

x

高二期中考试 理科数学试卷 第 4 页 共 4 页



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