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福建省福州市八县一中2016-2017学年高二上学期期中考试数学理试卷.doc


2016-2017 学年福建省福州市八县(市)一中联考高二(上)期中数学试卷(理科) 参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.) 1. (2013 春?越秀区期末)数列
n A. (﹣1) n B. (﹣1)

的一个通项公式可能是(
n 1 C. (﹣1) ﹣



D. (﹣1)

【考点】数列的概念及简单表示法. 【专题】等差数列与等比数列. 【分析】根据已知中数列各项的符号是一个摆动数列,我们可以用(﹣1)n 符号,再由各项绝对值为一等比数列,由此可得数列的通项公式. 【解答】解:由已知中数列 ,…
﹣1

来控制各项的

可得数列各项的绝对值是一个以 为首项,以 公比的等比数列 又∵数列所有的奇数项为正,偶数项为负 故可用(﹣1)n 故数列 故选 D 【点评】 本题考查的知识点是等比数列的通项公式, 其中根据已知数列的前几项分析各项的 共同特点是解答本题的关键.
﹣1

来控制各项的符号, ,…的一个通项公式为(﹣1)n﹣1

2. (2011?韶关一模)已知△ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,a= B=60° ,那么∠A 等于( A.135° 【考点】正弦定理. 【专题】计算题. ) B.45° C.135° 或 45° D.60°

,b=



【分析】 结合已知条件 a= 结合大边对大角可求得 A 【解答】解:a= 由正弦定理可得, ,b=

b= ,

B=60° , , 由正弦定理可得,

可求出 sinA,

,B=60° ,

a<b A<B=60° A=45° 故选 B 【点评】本题考查正弦定理和大边对大角定理解三角形,属于容易题

3. (2012?乌兰察布学业考试)设 a>1>b>﹣1,则下列不等式中恒成立的是( A. B. C.a>b2 D.a2>2b



【考点】不等关系与不等式. 【专题】计算题. 【分析】通过举反例说明选项 A,B,D 错误,通过不等式的性质判断出 C 正确. 【解答】解:对于 A,例如 a=2,b= 此时满足 a>1>b>﹣1 但 故B错 故A错

对于 B,例如 a=2,b= 此时满足 a>1>b>﹣1 但 对于 C,∵﹣1<b<1∴0≤b2<1∵a>1∴a>b2 故 C 正确 对于 D,例如 a= 故选 C

2 此时满足 a>1>b>﹣1,a <2b 故 D 错

【点评】想说明一个命题是假命题,常用举反例的方法加以论证.

4. (2016 秋?福州期中)已知点 A(2,0) ,B(﹣1,3)在直线 l:x﹣2y+a=0 的两侧,则 a 的取值范围是( A.a<﹣2,或 a>7 ) B.﹣2<a<7 C.﹣7<a<2 D.a=﹣2,或 a=7

【考点】二元一次不等式(组)与平面区域. 【专题】计算题;函数思想;转化思想;不等式的解法及应用.

【分析】点 A(2,0) ,B(﹣1,3)在直线 l:x﹣2y+a=0 的两侧,那么把这两个点代入 x ﹣2y+a,它们的符号相反,乘积小于 0,即可求出 a 的取值范围. 【解答】解:∵点 A(2,0) ,B(﹣1,3)在直线 l:x﹣2y+a=0 的两侧, ∴(2+a) (﹣1﹣6+a)<0, 即: (a+2) (a﹣7)<0,解得﹣2<a<7. 故选:B. 【点评】本题考查二元一次不等式组与平面区域问题,是基础题.准确把握点与直线的位置 关系,找到图中的“界”,是解决此类问题的关键.

5. (2011?四川)在△ABC 中,sin2A≤sin2B+sin2C﹣sinBsinC,则 A 的取值范围是( A. (0, ] B.[ ,π) C. (0, ] D.[ ,π)



【考点】正弦定理;余弦定理. 【专题】三角函数的求值. 【分析】先利用正弦定理把不等式中正弦的值转化成边,进而代入到余弦定理公式中求得 cosA 的范围,进而求得 A 的范围. 【解答】解:由正弦定理可知 a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC, ∵sin2A≤sin2B+sin2C﹣sinBsinC, ∴a2≤b2+c2﹣bc, ∴bc≤b2+c2﹣a2 ∴cosA= ≥

∴A≤ ∵A>0 ∴A 的取值范围是(0, 故选 C 【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用.作为解三角形中常用的两个定理,考 生应能熟练记忆. ]

6. (2016 秋?福州期中) 设等比数列{an}的前 n 项和记为 Sn, 若 S4=2, S8=6, 则 S12 等于 (



A.8

B.10

C.12

D.14

【考点】等比数列的前 n 项和. 【专题】计算题;转化思想;等差数列与等比数列. 【分析】直接利用等比数列的性质,化简求解即可. 【解答】解:等比数列{an}的前 n 项和记为 Sn,若 S4=2,S8=6, 可得 S4,S8﹣S4,S12﹣S8,也是等比数列,S12﹣S8= S12=14. 故选:D. 【点评】本题考查等比数列的简单性质的应用,考查计算能力. = =8.

7. (2016 秋?福州期中)如图,在限速为 90km/h 的公路 AB 旁有一测速站 P,已知点 P 距测 速区起点 A 的距离为 80m,距测速区终点 B 的距离为 50m,且∠APB=60° .现测得某辆汽 车从 A 点行驶到 B 点所用的时间为 3s,则此车的速度介于( )

A.16~19m/s

B.19~22m/s

C.22~25m/s

D.25~28m/s

【考点】函数模型的选择与应用. 【专题】计算题;方程思想;演绎法;函数的性质及应用. 【分析】求出 AB,可得车的速度,即可得出结论. 【解答】解:由题意,AB= 70÷3≈23.3m/s, 故选 C. 【点评】此题考查了解三角形的应用,考查余弦定理,比较基础. =70m,

8. (2016 秋?福州期中)在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c,若 且 4sinA=3sinB 则△ABC 的形状是( A.等腰三角形 B.直角三角形 )



C.等腰三角形或直角三角形 【考点】三角形的形状判断.

D.钝角三角形

【专题】计算题;分类讨论;转化思想;综合法;解三角形. 【分析】 由已知利用正弦定理可得 4a=3b, 由
2 2 2 , 利用余弦定理整理可得 (a +b ) (a

2 2 2 2 2 2 2 ﹣b )=c (a ﹣b ) ,从而可求 a +b =c ,利用勾股定理即可得解.

【解答】解:∵4sinA=3sinB, ∴4a=3b,



,可得:

2 2 2 2 2 2 2 = ,整理可得: (a +b ) (a ﹣b )=c (a ﹣b ) ,

∴a2﹣b2=0,或 a2+b2=c2, ∴a2+b2=c2,或 a=b(舍去) ∴△ABC 的形状是直角三角形. 故选:B. 【点评】本题主要考查了正弦定理,余弦定理,勾股定理在解三角形中的应用,考查了分类 讨论思想和转化思想的应用,属于中档题.

9. (2015?陕西)某企业生产甲、乙两种产品均需用 A、B 两种原料.已知生产 1 吨每种产 品所需原料及每天原料的可用限额如表所示.如果生产一吨甲、乙产品可获得利润分别为 3 万元、4 万元,则该企业每天可获得最大利润为( 甲 A(吨) B(吨) A.12 万元 3 1 乙 2 2 B.16 万元 )

原料限额 12 8 C.17 万元 D.18 万元

【考点】简单线性规划的应用. 【专题】不等式的解法及应用. 【分析】设每天生产甲乙两种产品分别为 x,y 吨,利润为 z 元,然后根据题目条件建立约 束条件,得到目标函数,画出约束条件所表示的区域,然后利用平移法求出 z 的最大值. 【解答】解:设每天生产甲乙两种产品分别为 x,y 吨,利润为 z 元,





目标函数为 z=3x+4y. 作出二元一次不等式组所表示的平面区域(阴影部分)即可行域. 由 z=3x+4y 得 y=﹣ x+ , x+ 经过点 B 时,直线 y=﹣ x+ 的截距

平移直线 y=﹣ x+ 由图象可知当直线 y=﹣ 最大, 此时 z 最大, 解方程组 ,解得 ,

即 B 的坐标为 x=2,y=3, ∴zmax=3x+4y=6+12=18. 即每天生产甲乙两种产品分别为 2,3 吨,能够产生最大的利润,最大的利润是 18 万元, 故选:D.

【点评】本题主要考查线性规划的应用,建立约束条件和目标函数,利用数形结合是解决本 题的关键.

10. (2016 秋?福州期中)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a5=5,S5=15,则数列 的前 2016 项和为( )

A. 【考点】数列的求和.

B.

C.

D.

【专题】转化思想;转化法;等差数列与等比数列. 【分析】由题意可知:S5= =15,求得 a1=1,则 a5=a1+4d=5,即可求得 d=1,根

据等差数列前 n 项和公式即可求得 an=n,则

=

=



,采用“裂项法”

即可求得数列

的前 2016 项和.

【解答】解:设等差数列{an}公差为 d, ∵a5=5,S5=15, 由 S5= =15,解得:a1=1,

a5=a1+4d=5,则 d=1, 等差数列{an}首项为 1,公差为 1, an=a1+(n﹣1)d=n, = = ﹣ ,

∴数列

S2016= + +…+ 的前 2016 项和 S2016, (1﹣ ) ( ﹣ ) (



) ,

=1﹣ = ,



故选 A. 【点评】本题考查等差数列的通项公式及前 n 项和公式,“裂项法”求数列的前 n 项和,考查 计算能力,属于中档题.

11. (2013 秋?深圳期末)定义算式?:x?y=x(1﹣y) ,若不等式(x﹣a)?(x+a)<1 对任 意 x 都成立,则实数 a 的取值范围是( )

A.﹣1<a<1

B.0<a<2

C.

D.

【考点】二次函数的性质. 【专题】计算题. 【分析】由已知中算式?:x?y=x(1﹣y) ,我们可得不等式(x﹣a)?(x+a)<1 对任意 x 都成立,转化为一个关于 x 的二次不等式恒成立,进而根据二次不等式恒成立的充要条件, 构造一个关于 a 的不等式,解不等式求出实数 a 的取值范围. 【解答】解:∵x?y=x(1﹣y) , ∴若不等式(x﹣a)?(x+a)<1 对任意 x 都成立, 则(x﹣a)?(1﹣x﹣a)﹣1<0 恒成立 即﹣x2+x+a2﹣a﹣1<0 恒成立 则△=1+4(a2﹣a﹣1)=4a2﹣4a﹣3<0 恒成立 解得 故选 D 【点评】本题考查的知识点是二次函数的性质,其中根据二次不等式 ax2+bx+c<0 恒成立充 要条件是 a<0,△<0 构造一个关于 a 的不等式,是解答本题的关键.

12. (2016?桂林模拟)等差数列{an}、{bn}的前 n 项和分别为 Sn、Tn,且

,则使

得 A.3

为整数的正整数的 n 的个数是( B.4

) C .5 D.6

【考点】等差数列的性质. 【专题】计算题. 【分析】由等差数列{an}、{bn},利用等差数列的性质表示出 an 和 bn,将 分子分母同时

乘以 n,将表示出的 an 与 bn 代入,再利用等差数列的前 n 项和公式变形,根据已知的等式 化简,整理后将正整数 n 代入进行检验,即可得到 【解答】解:∵等差数列{an}、{bn}, 为整数的正整数的 n 的个数.

∴an=

,bn=





=

=

=

,又

=





=

=7+



经验证,当 n=1,3,5,13,35 时,

为整数,

则使得 故选 C.

为整数的正整数的 n 的个数是 5.

【点评】此题考查了等差数列的性质,以及等差数列的前 n 项和公式,熟练掌握性质及公式 是解本题的关键.

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.) 13. (2016 秋?福州期中)已知△ABC 中,AC= 【考点】正弦定理. 【专题】计算题;转化思想;综合法;解三角形. 【分析】由已知利用余弦定理可得 BC2﹣2BC+1=0,进而即可解得 BC 的值. 【解答】解:∵AC= ,AB=2,∠B=60° , ,AB=2,∠B=60° ,则 BC= 1 .

∴由余弦定理 AC2=AB2+BC2﹣2AB?BC?cosB,可得:3=4+BC2﹣2BC,即:BC2﹣2BC+1=0, ∴解得:BC=1. 故答案为:1. 【点评】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用,熟练掌握余弦定理是解题的关键, 属于基础题.

14. (2016 秋?福州期中)在各项均为正数的等比数列{an}中,a1=2,且 a2,a4+2,a5 成等差 数列,记 Sn 是数列{an}的前 n 项和,则 S5= 62 .

【考点】数列的求和. 【专题】方程思想;转化思想;等差数列与等比数列. 【分析】a2,a4+2,a5 成等差数列,可得 a2+a5=2(a4+2) ,把已知代入解得 q.再利用求和 公式即可得出. 【解答】解:设正数的等比数列{an}的公比为 q>0,∵a2,a4+2,a5 成等差数列, ∴a2+a5=2(a4+2) ,∴2q+2q4=2(2q3+2) ,解得 q=2. ∵S5= 故答案为:62. 【点评】 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式, 考查了推理能力与计算 能力,属于中档题. =62.

15. (2016 秋?福州期中)设实数 x,y 满足条件

,若目标函数 z=ax+by(a

>0,b>0)的最大值为 12,则 【考点】简单线性规划.

的最小值为



【专题】数形结合;转化法;不等式的解法及应用. 【分析】作出不等式对应的平面区域,利用线性规划的知识先求出 a,b 的关系,然后利用 基本不等式求 的最小值. ,

【解答】解:由 z=ax+by(a>0,b>0)得 y= 作出可行域如图: ∵a>0,b>0, ∴直线 y= 平移直线 y=

的斜率为负,且截距最大时,z 也最大. ,由图象可知当 y= 经过点 A 时,

直线的截距最大,此时 z 也最大. 由 ,解得 ,即 A(6,8) .

此时 z=6a+8b=12, 即 + 则 = + =1, =( + + = ) ( ≥ + +2 ) = +4= ,

当且仅当 故答案为:

时取=号,

【点评】 本题主要考查线性规划的应用以及基本不等式的应用, 利用数形结合是解决线性规 划题目的常用方法.

16. (2014?烟台模拟)设 Sn 为数列{an}的前 n 项和,若

(n∈N )是非零常数,则称该

+

数列为“和等比数列”,若数列{Cn}是首项为 2,公差为 d(d≠0)的等差数列,且数列{Cn} 是“和等比数列”,则 d= 4 .

【考点】等差数列的通项公式;等比数列的通项公式. 【专题】新定义;等差数列与等比数列. 【分析】由题意设数列{Cn}的前 n 项和为 Tn,可得 = =k,对于 n∈N*都成

立,化简得, (k﹣4)dn+(k﹣2) (4﹣d)=0,由题意可得 4﹣d=0,解之即可. 【解答】解:由题意设数列{Cn}的前 n 项和为 Tn,

则 Tn=2n+

,T2n=4n+



因为数列{Cn}是“和等比数列”,

所以

=

=

=k,对于 n∈N*都成立,

化简得, (k﹣4)dn+(k﹣2) (4﹣d)=0, 因为 d≠0,故只需 4﹣d=0,解得 d=4 故答案为:4 【点评】本题考查等差数列与等比数列的综合应用,涉及新定义,属基础题.

三、解答题(本大题 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17. AB= (10 分) (2016 秋?福州期中) 如图, 平面四边形 ABCD 中, ∠CBD=30° ,∠BCD=120° . (1)求 BD 的长; (2)求∠ADC 的度数. AD=2 , CD= , ,

【考点】余弦定理;正弦定理. 【专题】综合题;综合法;解三角形. 【分析】 (1)方法一:在△BCD 中,由题意和正弦定理求出 BD; 方法二:由∠BDC=30° 求出 BC,利用条件和余弦定理列出方程,求出 BD; (2)在△ABD 中,利用条件和余弦定理求出 cos∠ADB 的值,结合图象求出∠ADC 的度 数. 【解答】解: (1)方法一:在△BCD 中,由正弦定理得: ,即 解得 BD=3…(4 分) 方法二:由已知得∠BDC=30° ,故 …(1 分) …(3 分)

由余弦定理得: BD2=CD2+BC2﹣2CD?BC?cos∠BCD = ∴BD=3… (2)在△ABD 中,由余弦定理得: …(7 分) ∴∠ADB=45° …(8 分) 由已知∠BDC=30°…(9 分) ∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=45° +30°=75°…(10 分) 【点评】本题考查正弦、余弦定理在解三角形中的应用,考查一题多解,化简、计算能力. …(4 分)

18. (12 分) (2016 秋?福州期中)连江一中第 49 届田径运动会提出了“我运动、我阳光、我 健康、我快乐”的口号,某同学要设计一张如图所示的竖向张贴的长方形海报进行宣传,要 求版心面积为 162dm2(版心是指图中的长方形阴影部分,dm 为长度单位分米) ,上、下两 边各空 2dm,左、右两边各空 1dm. (1)若设版心的高为 xdm,求海报四周空白面积关于 x 的函数 S(x)的解析式; (2)要使海报四周空白面积最小,版心的高和宽该如何设计?

【考点】函数模型的选择与应用. 【专题】计算题;函数思想;解题方法;函数的性质及应用. 【分析】 (1)由已知版心的高为 xdm,则版心的宽为 (2)利用基本不等式求解即可. 【解答】 (本小题满分 12 分) dm,求出海报四周空白面积.

解: (1)由已知版心的高为 xdm,则版心的宽为 故海报四周空白面积为 即 S(x)=2x+ +8,x>0…(6 分)

dm…(1 分) ,…(4 分)

(2)由基本不等式得: 当且仅当 时取等号 …(11 分)

…(9 分)

∴要使海报四周空白面积最小,版心的高应该为 18 dm、宽为 9 dm…(12 分) 【点评】本题考查实际问题选择函数的模型,基本不等式的应用,考查计算能力.

19. (12 分) (2016 秋?福州期中)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已 知 2ccosA+a=2b. (Ⅰ)求角 C 的值; (Ⅱ)若 a+b=4,当 c 取最小值时,求△ABC 的面积. 【考点】余弦定理;正弦定理. 【专题】函数思想;综合法;解三角形. 【分析】方法一: (Ⅰ)利用正弦定理、诱导公式、两角和的正弦公式化简已知的式子,由 内角的范围和特殊角的三角函数值求出角 C; (Ⅱ)利用余弦定理列出方程,由条件和完全平方公式化简后,利用基本不等式求出 c 的最 小值,由面积公式求出△ABC 的面积; 方法二: (Ⅰ)利用余弦定理化简已知的式子得到边的关系,由余弦定理求出 cosC 的值,由 内角的范围和特殊角的三角函数值求出角 C; (Ⅱ) 利用余弦定理列出方程, 结合条件消元后, 利用一元二次函数的性质求出 c 的最小值, 由面积公式求出△ABC 的面积. 【解答】解:方法一: (Ⅰ)∵2ccosA+a=2b, ∴2sinCcosA+sinA=2sinB,…(1 分) ∵A+B+C=π, ∴2sinCcosA+sinA=2sin(A+C) ,…(2 分) 即 2sinCcosA+sinA=2sinAcosC+2cosAsinC,…(3 分) ∴sinA=2sinAcosC,…(4 分)

∵sinA≠0,∴cosC= ,… 又∵C 是三角形的内角,∴C= . …(6 分)

(Ⅱ)由余弦定理得:c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab,…(7 分) ∵a+b=4,故 c2=a2+b2﹣ab=(a+b)2﹣3ab=16﹣3ab,…(8 分) ∴ ∴c 的最小值为 2,故 方法二: (Ⅰ)∵2ccosA+a=2b, ∴ ,…(1 分) (当且仅当 a=b=2 时等号成立) ,…(10 分) .…(12 分)

∴b2+c2﹣a2+ab=2b2,即 c2=a2+b2﹣ab,…(3 分) ∴ ,…

又∵C 是三角形的内角,∴c=

. …(6 分)

(Ⅱ)由已知,a+b=4,即 b=4﹣a, 由余弦定理得,c2=a2+b2﹣ab=(a+b)2﹣3ab,…(8 分) ∴c2=16﹣3a(4﹣a)=3(a﹣2)2+4,…(10 分) ∴当 a=2 时,c 的最小值为 2,故 . …(12 分)

【点评】本题考查正弦、余弦定理,三角恒等变换中的公式,以及求最值的方法:基本不等 式、一元二次函数的性质,考查一题多解,化简、变形能力.

20. (12 分) (2016 秋?福州期中)已知 f(x)=ax2+x﹣a.a∈R (1)若不等式 f(x)<b 的解集为(﹣∞,﹣1)∪(3,+∞) ,求 a,b 的值; (2)若 a<0,解不等式 f(x)>1. 【考点】二次函数的性质. 【专题】分类讨论;方程思想;分类法;函数的性质及应用. 【分析】 (1)由题意可得方程 ax2+x﹣a﹣b=0 的两根分别为﹣1、3, 且 a<0, 利用韦达定理, 可得 a,b 的值;

2 (2)若 a<0,等式为 ax +x﹣(a+1)>0,即

,分类讨论,可得不

同情况下不等式的解集. 【解答】 (本小题满分 12 分) 解: (1)由题意可得方程 ax2+x﹣a﹣b=0 的两根分别为﹣1、3,且 a<0 …(1 分)



解得

…(4 分)

2 (2)若 a<0,不等式为 ax +x﹣(a+1)>0,即

…(6 分)

∵ ∴当 当 当 时, 时, 时,

. ,不等式的解集为 ,不等式的解集为?; …(10 分) ,不等式的解集为 …(12 分) ; …(8 分)

(如上,没有“综上所述…”,不扣分,但解集表达不规范每处扣(1 分) ,最多累计扣 2 分) 【点评】 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质, 熟练掌握二次函数的图象和性质是解 答的关键.

21. (12 分) (2016 秋?福州期中)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a1=1,Sn+1=4an+2(n ∈N*) . (1)设 bn=an+1﹣2an,证明数列{bn}是等比数列(要指出首项、公比) ; (2)若 cn=nbn,求数列{cn}的前 n 项和 Tn. 【考点】数列递推式;数列的求和. 【专题】综合题;函数思想;定义法;等差数列与等比数列. 【分析】 (1)由已知数列递推式可得当 n≥2 时,Sn=4an﹣1+2,与原递推式联立可得 an+1=4an ﹣4an﹣1,然后利用定义证明数列{bn}是等比数列; (2)由数列{bn}的通项公式求出数列{cn}的通项公式,再由错位相减法求数列{cn}的前 n 项 和 Tn. 【解答】 (1)证明:∵Sn+1=4an+2,∴当 n≥2 时,Sn=4an﹣1+2, 两式相减得:an+1=4an﹣4an﹣1,

∴ ∵当 n=1 时,S2=4a1+2,a1=1,∴a2=5,从而 b1=3, ∴数列{bn}是以 b1=3 为首项,2 为公比的等比数列; (2)解:由(1)知 ,从而 ,




∴Tn=c1+c2+c3+…+cn﹣1+cn=3×20+6×21+9×22+…+3(n﹣1)×2n 2+3n×2n 1,


2Tn=3×21+6×22+9×23+…+3(n﹣1)×2n 1+3n×2n,


两式相减得:

=







【点评】本题考查数列递推式,考查了等比关系的确定,训练了错位相减法求数列的前 n 项和,是中档题.

* 22. (12 分) (2016 秋?福州期中)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,对任意的 n∈N ,点(n,

Sn)恒在函数 y=

x 的图象上.

(1)求数列{an}的通项公式; (2)记 Tn= ,若对于一切的正整数 n,总有 Tn≤m 成立,求实数 m 的取值范围;

an (3)设 Kn 为数列{bn}的前 n 项和,其中 bn=2 ,问是否存在正整数 n,t,使

成立?若存在,求出正整数 n,t;若不存在,请说明理由. 【考点】数列与函数的综合;数列的应用. 【专题】转化思想;综合法;等差数列与等比数列. 【分析】 (1)利用 an=Sn﹣Sn﹣1 求解; (2)要使 Tn≤m 对于一切的正整数 n 恒成立,只需 m ≥{Tn}中的最大值即可; (3)求解有关正整数 n 的不等式. 【解答】解: (1)由已知,得 …(1 分)

当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1= 当 n=1 时,a1=S1=3.∴an=3n…(3 分) (2)解法一:

=3n…(2 分)

. (4 分) 当 n=1 时,Tn+1>Tn,即 T2>T1;当 n=2 时,Tn+1=Tn,即 T3=T2; 当 n≥3 时,Tn+1<Tn,即 Tn<Tn﹣1<…<T4<T3…(6 分) ∴{Tn}中的最大值为 , ∴ …(7 分)

要使 Tn≤m 对于一切的正整数 n 恒成立,只需

解法二:

…(4 分)

当 n=1,2 时,Tn+1≥Tn;当 n≥3 时,n+2<2n? Tn+1<Tn ∴n=1 时,T1=9;n=2,3 时, ∴{Tn}中的最大值为 , ∴ …(7 分) n≥4 时,Tn<T3…(6 分)

要使 Tn≤m 对于一切的正整数 n 恒成立,只需

(3)

…(8 分)

将 Kn 代入

,化简得,

(﹡)…(9 分)

若 t=1 时,

,显然 n=1 时成立; …(10 分)

若 t>1 时,

(﹡)式化简为

不可能成立 … (11 分)

综上,存在正整数 n=1,t=1 使

成立 …(12 分)

【点评】本题考察了数列中 an 和 sn 的转换关系式,数列中恒成立问题的处理方法,属于难 题.


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