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球的体积与表面积 教案


1.3.2

球的体积和表面积
龙赛中学 数学组 郑思诗

教学目标: 1. 知识与技能目标:了解球的体积与表面积推导过程,熟记球的体积公式和表面积公式; 会用球的体积公式 V ?

4 ? R 3 和表面积公式 S ? 4? R2 解决有关问题; 3

2. 过程与方法目标:经历球的体积与表面积推导过程,体会分割——求近似和——取极限 ——求精确和的数学过程,体会微积分思想; 3. 情感态度与价值观目标:培养学生转化化归的思维方式,体会数学的应用价值。 教学重点:球的体积公式和表面积公式及其应用 教学难点:球的体积公式和表面积推导 教学过程: 一、温故知新: 1.球的定义: 以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球。 2.球面上的点的性质: 球面上的点到球心的距离等于定长(半径) 3.用一个平面去截球 O,得到的截面是圆面 4.球的截面圆性质: (1)球心和截面圆圆心的连线垂直于截面 (2)球心到截面的距离为 d,球的半径为 R,则 r ? R2 ? d 2 二、 创设情景,引入新课:
王新敞
奎屯 新疆

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奎屯

新疆

提出问题:球既没有底面,也无法像在柱体、锥体和台体那样展开成平面图形,那么怎 样来求球的表面积与体积呢?引导学生进行思考。 设疑引课: 球的大小是与球的半径有关, 如何用球半径来表示球的体积和面积?激发学生推 导球的体积和面积公式。 三、探究新知: 1.探究球的体积公式: 当 n→∞时,每层近似于圆柱 每个圆柱的厚度为: R

R ri ? R 2 ? [(i ? 1) ]2 ,i ? 1,2,?,n. 第 i 层圆柱底面半径: n
n
第 i 层圆柱体积: Vi ? πri2 ?
V 半球=V1+V2+···+Vn ≈
2 R πR3 ? ? i ? 1 ? ? ? ? ? ?1 ? ? n n ? ? ? n ? ? ?

?R 3
n

{1+(1-

12 n2

)+(1-

22 n2

)+···+[1-

(n ? 1) 2 n2

]}



?R 3
n

[n-

12 ? 2 2 ? ? ? ? ? (n ? 1) 2 n2





?R 3
n
3

[n-

1 (n ? 1)n(2n ? 1) ? 6 n2

= ?R

(n ? 1)( 2n ? 1) ) 6n 2 1 1 ? ? (1 ? )(2 ? ) ? ? n n = ?R 3 ?1 ? ? 6 ? ? ? ? ? ? (1 ?
当所分的层数不断增加,也就是说,当 n 不断变大时,①式越来越接近于半球的体积,如果 n 无限变大,

就能由①式推出半径的体积。事实上,n 增大, =

1 n

就越来越小,当 n 无限大时,

1 n

趋向于 0,这时,有 V 半



2 3 ?R ,所以,半径为 R 的球的体积为: 3

V=

4 3 ?R 3 4 3 ?R 3

结论:如果球的半径为 R,那么它的体积 v ?

2. 探究球的表面积公式: 设球 O 的半径为 R ,我们把球面任意分割为一些“小球面片”,它们的面积分别用

?S1 , ?S2 ,?, ?Si ,? 表示,则球的表面积:
S ? ?S1 ? ?S2 ??? ?Si ??
以这些“小球面片”为底,球心为顶点的“小锥体”的体积和等于球的体积,这些“小锥体” 可近似地看成棱锥,“小锥体”的底面积 ?Si 可近似地等于“小棱锥”的底面积,球的半径

1 R 近似地等于小棱锥的高 hi ,因此,第 i 个小棱锥的体积 Vi ? hi ? ?Si ,当“小锥体”的底 3
面非常小时,“小锥体”的底面几乎是“平的”,于是球的体积:

1 V ? (h1 ? ?S1 ? h2 ? ?S 2 ? ? ? hi ? ?Si ? ?) , 3
又∵ hi ? R ,且 S ? ?S1 ? ?S2 ??? ?Si ??

1 R?S , 3 1 4 4 3 3 又∵ V ? ? R ,∴ R ? S ? ? R , 3 3 3
∴可得 V ?
2 结论:球的表面积公式: S ? 4? R

三、 知识应用: 1.基本计算问题 (1)把球的半径扩大到原来的 3 倍,则体积扩大到原来的________倍. (2)把球的表面积扩大到原来的 4 倍,则体积扩大到原来的_______倍. (3)三个球的体积之比为 1:8:27,则它们的表面积之比为________. 答案:27,8,1:4:9 (4)有半径为 1 的 8 个铁球,将它们溶化后铸成一个大铁球(不计损耗),求铸成大铁球 的体积与表面积。 2.截面问题 例 1 已知过球面上 A, B, C 三点的截面和球心的距离为球半径
王新敞
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的一半,且 AB ? BC ? CA ? 2 ,求球的表面积 解:设截面圆心为 O? ,连结 O?A ,设球半径为 R ,
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则 O?A ?

2 3 2 3 , ? ?2 ? 3 2 3

C A

O O'

B

在 Rt ?O?OA 中, OA2 ? O?A2 ? O?O2 , ∴ R2 ? (

4 2 3 2 1 2 ) ? R ,∴ R ? , 3 3 4 64 ?. 9
2 2

2 ∴ S ? 4? R ?

变式: 变式:在球内有相距 9cm 的两个平行截面,截面面积分别为 49π cm 和 400π cm , 求球的表面积. 例 2. 过球面上三点 A、B、C 的截面和球心 O 的距离等于球的半径的一半,且 AB=BC=CA =3,求球的体积. 变式:在半径为 13cm 的球面上有 A、B、C 三点,AB=6cm,BC=8cm,CA=10cm,求经过 A、 B、C 三点的截面与球心 O 之间的距离. 四、 小结归纳 :

如果球的半径为 R,那么它的体积 v ?
2 球的表面积公式: S ? 4? R

4 3 ?R 3

思想方法 “分割 ? 求近似和 ? 化为准确和”的方法,是一种重要的数学思想方法——极 限思想,它是今后要学习的微积分部分“定积分”内容的一个应用 五、作业布置:


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