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2014届步步高大一轮复习讲义创新题目技能


创新题目技能练——统计、统计案例
A 组 专项基础训练 (时间:35 分钟,满分:57 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 1.从 2 012 名学生中选取 50 名学生参加数学竞赛,若采用下面的方法选取:先用简单随机 抽样从 2 012 人中剔除 12 人, 剩下的 2 000 人再按系统抽样的方法抽取 50 人, 则在 2 012 人中,每人入选的概率

A.不全相等 25 C.都相等,且为 1 006 答案 C 解析 在各种抽样中,不管是否剔除个体,也不管抽取的先后顺序,每个个体被抽到的 可能性都是相等的,这是各种抽样的一个特点,也说明了抽样的公平性.故本题包括被 50 25 剔除的 12 人在内,每人入选的概率是相等的,都是 = . 2 012 1 006 2 . 右图是根据某校 10 位高一同学的身高(单位:cm)画出的茎叶图,其中左 边的数字从左到右分别表示学生身高的百位数字和十位数字,右边的数 字表示学生身高的个位数字,从图中可以得到这 10 位同学身高的中位数 是 A.161 cm B.162 cm C.163 cm D.164 cm 答案 B 161+163 解析 由给定的茎叶图可知,这 10 位同学身高的中位数为 =162(cm). 2 3.已知数组(x1,y1),(x2,y2),?,(x10,y10)满足线性回归方程 y=bx+a,则“(x0,y0)满 x1+x2+?+x10 y1+y2+?+y10 足线性回归方程 y=bx+a,”是“x0= ,y0= ”的( ) 10 10 A.充分不必要条件 C.充要条件 答案 B 解析 x0,y0 为这 10 组数据的平均值, 根据公式计算线性回归方程 y=bx+a 的 b 以后, 再根据 a= y -b x ( x , y 为样本平均值)求得 a. 因此( x , y )一定满足线性回归方程,但满足线性回归方程的除了( x , y )外,可能还 有其他样本点. 4.在样本频率分布直方图中,共有 11 个小长方形,若中间一个小长方形的面积等于其他 1 10 个小长方形面积和的 ,且样本容量为 160,则中间一组的频数为 ( ) 4 A.32 B.0.2 C.40 D.0.25 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ( ) B.均不相等 D.都相等,且为 1 40 ( )

答案 A 解析 由频率分布直方图的性质,可设中间一组的频率为 x,则 x+4x=1, ∴x=0.2,故中间一组的频数为 160×0.2=32,选 A. 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 5 . 某校开展“爱我海西、爱我家乡”摄影比赛,9 位评委为参赛作品 A 给出的分数如茎叶 图所示. 记分员在去掉一个最高分和一个最低分后, 算得平均分为 91, 复核员在复核时, 发现有一个数字(茎叶图中的 x)无法看清, 若记分员计算无误, 则数字 x 应该是________.

答案 1 解析 当 x≥4 时, 89+89+92+93+92+91+94 640 = ≠91, 7 7 ∴x<4, 89+89+92+93+92+91+x+90 则 =91, 7 ∴x=1. 6.甲、乙两人在 10 天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如下图,中间一列的数字表示零 件个数的十位数,两边的数字表示零件个数的个位数,则这 10 天甲、乙两人日加工零件 的平均数分别为________和________.

答案 24 23 1 解析 x 甲= ×(19+18+20+21+23+22+20+31+31+35)=24. 10 1 x 乙= ×(19+17+11+21+24+22+24+30+32+30)=23. 10 7.如图所示是某公司(员工总人数 300 人)2012 年员工年薪情况的频率分布直方图,由此可 知,员工中年薪在 2.4 万元~2.6 万元之间的共有________人.

答案 72 解析 由所给图形,可知员工中年薪在 2.4 万元~2.6 万元之间的频率为 1-(0.02+0.08

+ 0.08 + 0.10 + 0.10)×2 = 0.24 ,所以员工中年薪在 2.4 万元~ 2.6 万元之间的共有 300×0.24=72(人). 三、解答题(共 22 分) 8.(10 分)某个体服装店经营某种服装,一周内获纯利 y(元)与该周每天销售这种服装的件数 x 之间的一组数据如下: x
7

3
7

4 69
7

5 73

6 81

7 89

8 90

9 91

y

66

已知:∑ x2 y2 xiyi=3 487. i =280,∑ i =45 309,∑ = = =
i 1 i 1 i 1

(1)求 x , y ; (2)判断纯利润 y 与每天销售件数 x 之间是否线性相关,如果线性相关,求出线性回归 方程. 解 1 (1) x = (3+4+5+6+7+8+9)=6, 7 1 y = (66+69+73+81+89+90+91)≈79.86. 7
7 7 i 1 i 1

(2)根据已知∑ x2 y2 i =280,∑ i =45 309, = =
7 i=1

∑xiyi=3 487,得相关系数 ≈0.973. ?280-7×62??45 309-7×79.862? 3 487-7×6×79.86

r=

由于 0.973>0.75,所以纯利润 y 与每天销售件数 x 之间具有显著的线性相关关系. 利用已知数据可求得线性回归方程为 y=4.75x+51.36. 9.(12 分)某初级中学共有学生 2 000 名,各年级男、女生人数如表: 初一年级 女生 男生 373 377 初二年级 x 370 初三年级 y z

已知在全校学生中随机抽取 1 名,抽到初二年级女生的概率是 0.19. (1)求 x 的值; (2)现用分层抽样的方法在全校抽取 48 名学生,问应在初三年级抽取多少名? (3)已知 y≥245,z≥245,求初三年级中女生比男生多的概率. x 解 (1)因为 =0.19,所以 x=380. 2 000 (2)初三年级人数为 y+z=2 000-(373+377+380+370)=500, 现用分层抽样的方法在全校抽取 48 名学生, 应在初三年级抽取的人数为 500× 48 =12. 2 000

(3)设“初三年级中女生比男生多”的事件为 A,初三年级中女生、男生人数记为(y,z); 由(2),知 y+z=500,且 y,z∈N,基本事件空间包含的基本事件有 (245,255)、(246,254)、(247,253)、?、(255,245)共 11 个,

事件 A 包含的基本事件有(251,249)、(252,248)、(253,247)、(254,246)、(255,245)共 5 5 个,所以 P(A)= . 11 B 组 专项能力提升 (时间:25 分钟,满分:43 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 15 分) 1.某地区选出 600 名消防官兵参与灾区救援,将其编号为 001,002,?,600.为打通生命通 道, 先采用系统抽样方法抽出 50 名为先遣部队, 且随机抽得的号码为 003.这 600 名官兵 来源于不同的县市,从 001 到 300 来自 A 市,从 301 到 495 来自 B 市,从 496 到 600 来 自 C 市,则三个市被抽中的人数依次为 A.26,16,8 答案 B 解析 依题意可知,在随机抽样中,首次抽到 003 号,以后每隔 12 个号抽到一个人,则 分别是 003、015、027、039、051、063、075、?,容易知道抽到的编号构成以 3 为首 项, 12 为公差的等差数列, 故被抽到的第 n 名消防官兵的编号为 an=3+(n-1)×12=12n -9,由 1≤12nA-9≤300,则 1≤nA≤25,因此抽取到的 A 市的人数为 25 人. 同理可知其他两市的人数为 17 和 8.故选 B. 2 . 若某校高一年级 8 个班参加合唱比赛的得分茎叶图如图所示,则这组数 据的中位数和平均数分别是 A.91.5 和 91.5 C.91 和 91.5 答案 A 1 解析 中位数为 ×(91+92)=91.5. 2 1 平均数为 ×(87+89+90+91+92+93+94+96)=91.5. 8 3.在 2012 年 3 月 15 日那天,南昌市物价部门对本市 5 家商场某商品的一天销售量及其价 格进行了调查,5 家商场的售价 x 元和销售量 y 件之间的一组数据如表所示: 价格 x 销售量 y 9 11 9.5 10 10 8 10.5 6 11 5 B.91.5 和 92 D.92 和 92 ( ) B.25,17,8 C.25,16,9 D.24,17,9 ( )

通过散点图,可知销售量 y 与价格 x 之间有较好的线性相关关系,其线性回归方程是 y =-3.2x+a,则 a 等于 A.-24 答案 D 1 解析 由题意,得 x = ×(9+9.5+10+10.5+11)=10, 5 1 y = ×(11+10+8+6+5)=8, 5 B.35.6 C.40.5 ( D.40 )

且回归直线必经过点( x , y )即点(10,8), 则有 8=-3.2×10+a,解得 a=40. 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 4.已知某商场新进 3 000 袋奶粉,为检查其三聚氰胺是否达标,现采用系统抽样的方法从 中抽取 150 袋进行检查,若第一组抽出的号码是 11 ,则第六十一组抽出的号码为 _________. 答案 1211 3 000 解析 每组袋数 d= =20,由题意知抽出的这些号码是以 11 为首项,20 为公差的 150 等差数列,故第六十一组抽出的号码为 11+60×20=1211. 5.从一堆苹果中任取了 20 个,并得到它们的质量(单位:克)数据分布如表所示: 分组 频数 [90,100) 1 [100,110) 2 [110,120) 3 [120,130) 10 [130,140) [140,150] 1

则这堆苹果中,质量不小于 120 克的苹果数约占苹果总数的________%. 答案 70 解析 根据样本容量为 20, 得苹果质量不小于 120 克的样本数量是 14, 故样本中质量不 14 小于 120 克的频率是 =0.7.以样本的频率估计总体的频率, 即在总体中质量不小于 120 20 克的苹果数占苹果总数的 70%. 6. 有同学在用电子邮件时发现了一个有趣的现象, 中国人的邮箱名称里含有数字的比较多, 而外国人邮箱名称里含有数字的比较少.为了研究国籍与邮箱名称是否含有数字有关, 于是我们共收集了 124 个邮箱名称,其中中国人的 64 个,外国人的 60 个,中国人的邮 箱中有 43 个含数字,外国人的邮箱中有 27 个含数字.那么认为“国籍和邮箱名称里是 否含有数字有关”的把握性为________.(用百分数表示) n?ad-bc?2 χ2= ?a+b??c+d??a+c??b+d? P(χ2≥k0) k0 答案 97.5% 解析 中国人 有数字 无数字 43 21 外国人 27 33 总计 70 54 0.25 1.323 0.15 2.072 0.10 2.706 0.05 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635

总计 64 60 124 2 124 × ? 43 × 33 - 27 × 21 ? 由表中数据,得 χ2= ≈6.201, 70×54×64×60 ∵χ2≥3.841,∴有 95%的把握认为“国籍和邮箱名称里是否含有数字有关”.

三、解答题 7.(13 分)某校高三数学竞赛初赛后,对考生成绩进行统计(考生成绩均不低于 90 分,满分 150 分),将成绩按如下方式分成六组,第一组[90,100),第二组[100,110),……,第六组 [140,150].如图所示为其频率分布直方图的一部分,第四组,第五组,第六组的人数依 次成等差数列,且第六组有 4 人.

(1)请补充完整频率分布直方图,并估计这组数据的平均数 M;(计算时可以用组中值代 替各组数据的平均值) (2)现根据初赛成绩从第四组和第六组中任意选 2 人,记他们的成绩分别为 x,y,若|x- y|≥10,则称此 2 人为“黄金帮扶组”,试求选出的 2 人为“黄金帮扶组”的概率. 解 (1)设第四组,第五组的频率分别为 m,n,

则 2n=m+0.005×10,① m+n=1-(0.005+0.015+0.020+0.035)×10,② 由①②解得 m=0.15,n=0.1, 从而得出频率分布直方图(如图所示).

M=95×0.2+105×0.15+115×0.35+125×0.15+135×0.1+145×0.05=114.5. 0.015 (2)依题意,知第四组人数为 4× =12,而第六组有 4 人,所以第四组和第六组一共 0.005 有 16 人,从中任选 2 人,一共有 C2 16=120(种)选法,若满足|x-y|≥10,则一定是分别
1 从两个小组中各选 1 人,因此有 C1 12C4=48(种)选法, 48 2 所以选出的 2 人为“黄金帮扶组”的概率 P= = . 120 5


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