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吉林省长春市东北师大附中2015届高考数学三模试卷(理科)


吉林省长春市东北师大附中 2015 届高考数学三模试卷(理科)
一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. (5 分)设集合 A={x||x﹣1|<2},B={x|2 A.[0,2] B.(1,3)
2 x+1

≥4},则 A∩B=() C.[1,3)

/>
D.(1,4)

2. (5 分)若命题 p:?x0∈R,x0 +1>3x0,则¬p 是() 2 2 A.?x0∈R,x0 +1≤3x0 B. ?x∈R,x +1≤3x 2 2 C. ?x∈R,x +1<3x D.?x∈R,x +1>3x 3. (5 分)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1=1,S5=15,则 a6 等于() A.8 B. 7 C. 6 D.5 4. (5 分)“λ<1”是“数列 an=n ﹣2λn(n∈N )为递增数列”的() A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件 5. (5 分)等比数列{an}中,a4=2,a5=5,则数列{lgan}的前 8 项和等于() A.6 B. 5 C. 4 D.3
2 *

6. (5 分)设 α,β 都是锐角,且 cosα= A. B. ﹣

,sin(α﹣β)= C.
2

,则 cosβ=() D. 或

或﹣

7. (5 分)已知函数 f(x)= 对称轴方程是() A.2π,x=

sin2x﹣2

cos x,则 f(x)的最小正周期 T 和其图象的一条 C.π,x= D.π,x=

B.2π,x=
2

8. (5 分)已知函数 f(x)=lnx+x ﹣3x,则其导函数 f′(x)的图象与 x 轴所围成的封闭图形 的面积为() A.ln2 B. ﹣ln2 C. +ln2 D.

9. (5 分)已知 x>0,y>0,lg2 +lg8 =lg2,则 A.2 B. 2 C. 4

x

y

的最小值是() D.2

10. (5 分)若 f(x)的定义域为 R,f′(x)>2 恒成立,f(﹣1)=2,则 f(x)>2x+4 解集 为()

A.(﹣1,1)

B.(﹣1,+∞)

C.(﹣∞,﹣1)

D.(﹣∞,+∞)

11. (5 分)设 0<a≤1,函数 f(x)=x+ ,g(x)=x﹣lnx,若对任意的 x1,x2∈[1,e],都有 f(x1)≥g(x2)成立,则 a 的取值范围为() A.(0,1] B.(0,e﹣2] C.[e﹣2,1] D.[1﹣ ,1]

12. (5 分)定义函数 f(x)= [1,2 ](n∈N )内的所有零点的和为() A.n B.2n
n *

,则函数 g(x)=xf(x)﹣6 在区间

C. (2 ﹣1)

n

D. (2 ﹣1)

n

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. (5 分)函数 f(x)= (x>0)的最大值为.

14. (5 分)△ ABC 中,内角 A、B、C 所对的边的长分别为 a,b,c,且 a =b(b+c) ,则 =.

2

15. (5 分)函数 f(x)=xln(ax) (a<0)的递增区间是. 16. (5 分)已知数列{an}中,a1=2,a2=5,an=2an﹣1+3an﹣2(n≥3) ,则 a20﹣3a19=.

三、解答题(本题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (10 分)已知△ ABC 是斜三角形,内角 A、B、C 所对的边的长分别为 a、b、c.己知 csinA= ccosC. (Ⅰ)求角 C; (Ⅱ)若 c= ,且 sinC+sin(B﹣A)=5sin2A,求△ ABC 的面积. 18. (12 分)已知等比数列{an}为递增数列,且 a5 =a10,2(an+an+2)=5an+1,n∈N . (Ⅰ)求 an; n * (Ⅱ)令 cn=1﹣(﹣1) an,不等式 ck≥2014(1≤k≤100,k∈N )的解集为 M,求所有 ak(k∈M) 的和. 19. (12 分)某高中数学竞赛培训在某学段共开设有初等代数、平面几何、初等数论和微积分 初步共四门课程,要求初等数论、平面几何都要合格,且初等代数和微积分初步至少有一门 合格,则能取得参加数学竞赛复赛的资格.现有甲、乙、丙三位同学报名参加数学竞赛培训,
2 *

每一位同学对这四门课程考试是否合格相互独立,其合格的概率均相同(见下表) ,且每一门 课程是否合格相互独立. 课 程[来 初等代数 平面几何 初等数论 微积分初步 合格的概率 (Ⅰ)求乙同学取得参加数学竞赛复赛的资格的概率; (Ⅱ)记 ξ 表示三位同学中取得参加数学竞赛复赛的资格的人数,求 ξ 的分布列及期望 Eξ. 20. (12 分)如图,在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,A1A⊥平面 ABC,∠BAC=90°,F 为棱 AA1 上的动点,A1A=4,AB=AC=2. (1)当 F 为 A1A 的中点,求直线 BC 与平面 BFC1 所成角的正弦值; (2)当 的值为多少时,二面角 B﹣FC1﹣C 的大小是 45°.

21. (12 分)已知双曲线 C 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,离心率 e=

,虚轴长为 2.

(Ⅰ)求双曲线 C 的标准方程; (Ⅱ)若直线 l:y=kx+m 与双曲线 C 相交于 A,B 两点(A,B 均异于左、右顶点) ,且以 AB 为直径的圆过双曲线 C 的左顶点 D,求证:直线 l 过定点,并求出该定点的坐标. 22. (12 分)已知函数 f(x)=ln(x﹣1)+ (Ⅰ)求函数 f(x)的单调区间; (Ⅱ)设 m,n 是正数,且 m≠n,求证: < . (a∈R)

吉林省长春市东北师大附中 2015 届高考数学三模试卷 (理 科)
参考答案与试题解析

一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. (5 分)设集合 A={x||x﹣1|<2},B={x|2 A.[0,2] B.(1,3)
x+1

≥4},则 A∩B=() C.[1,3)

D.(1,4)

考点: 交集及其运算. 专题: 集合. 分析: 根据集合的交集运算进行求解. 解答: 解:∵A={x|﹣1<x<3},B={x|x≥1}, ∴A∩B={x|1≤x<3}, 故选 C. 点评: 本题主要考查集合的基本运算,比较基础. 2. (5 分)若命题 p:?x0∈R,x0 +1>3x0,则¬p 是() 2 2 A.?x0∈R,x0 +1≤3x0 B. ?x∈R,x +1≤3x 2 2 C. ?x∈R,x +1<3x D.?x∈R,x +1>3x 考点: 命题的否定. 专题: 简易逻辑. 分析: 直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可. 解答: 解:因为特称命题的否定是全称命题.所以,命题 p:?x0∈R,x0 +1>3x0,则¬p 2 是?x∈R,x +1≤3x,故选 B. 点评: 本题考查全称命题与特称命题的否定关系,基本知识的考查. 3. (5 分)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1=1,S5=15,则 a6 等于() A.8 B. 7 C. 6 D.5 考点: 等差数列的前 n 项和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由等差数列性质计算可得,也可由 S5=15 直接求公差. 解答: 解: ,
2 2

公差 d=1,所以 a6=6, 故选:C. 点评: 本题考查数列的第 6 项的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意等差数列的性 质的合理运用. 4. (5 分)“λ<1”是“数列 an=n ﹣2λn(n∈N )为递增数列”的() A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断;数列的函数特性. 专题: 函数的性质及应用.
2 *

分析: 由“λ<1”可得 an+1﹣an>0, 推出“数列 an=n ﹣2λn (n∈N ) 为递增数列”. 由“数列 an=n * ﹣2λn(n∈N )为递增数列”,不能推出“λ<1”,由此得出结论. 2 2 解答: 解:由“λ<1”可得 an+1﹣an=[(n+1) ﹣2λ(n+1)]﹣[n ﹣2λn]=2n﹣2λ+1>0,故可 2 * 推出“数列 an=n ﹣2λn(n∈N )为递增数列”,故充分性成立. 2 * 2 2 由“数列 an=n ﹣2λn(n∈N )为递增数列”可得 an+1﹣an=[(n+1) ﹣2λ(n+1)]﹣[n ﹣2λn]=2n ﹣2λ+1>0,故 λ< ,

2

*

2

故 λ< ,不能推出“λ<1”,故必要性不成立. 故“λ<1”是“数列 an=n ﹣2λn(n∈N )为递增数列”的充分不必要条件, 故选 A. 点评: 本题主要考查充分条件、必要条件、充要条件的定义,数列的单调性的判断方法, 属于基础题. 5. (5 分)等比数列{an}中,a4=2,a5=5,则数列{lgan}的前 8 项和等于() A.6 B. 5 C. 4 D.3 考点: 等比数列的前 n 项和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 利用等比数列的性质可得 a1a8=a2a7=a3a6=a4a5=10.再利用对数的运算性质即可得出. 解答: 解:∵数列{an}是等比数列,a4=2,a5=5, ∴a1a8=a2a7=a3a6=a4a5=10. ∴lga1+lga2+…+lga8 =lg(a1a2?…?a8) = 4lg10 =4. 故选:C. 点评: 本题考查了等比数列的性质、对数的运算性质,属于基础题.
2 *

6. (5 分)设 α,β 都是锐角,且 cosα= A. B. ﹣

,sin(α﹣β)= C. 或﹣

,则 cosβ=() D. 或

考点: 两角和与差的余弦函数. 专题: 三角函数的求值. 分析: 注意到角的变换 β=α﹣(α﹣β) ,再利用两角差的余弦公式计算可得结果. 解答: 解:∵α,β 都是锐角,且 cosα= ∴sinα= = ; ,sin(α﹣β)= ,

同理可得

, ? + ? = ,

∴cosβ=cos[α﹣(α﹣β)]=cosαcos(α﹣β)+sinαsin(α﹣β)=

故选:A. 点评: 本题考查两角和与差的余弦公式,考查同角三角函数间的关系式的应用,属于中档 题. 7. (5 分)已知函数 f(x)= 对称轴方程是() A.2π,x= sin2x﹣2 cos x,则 f(x)的最小正周期 T 和其图象的一条 C.π,x= D.π,x=
2

B.2π,x=

考点: 两角和与差的正弦函数;二倍角的正弦;三角函数的周期性及其求法;正弦函数的 图象. 专题: 三角函数的求值. 分析: 先化简 解答: 解: = , ∴T=π, 对称轴: 当 k=0 时, . ,∴ , 即可求周期与对称轴方程.

故选 D. 点评: 本题考查三角函数图象与性质,两角和与差的三角函数,基本知识的考查. 8. (5 分)已知函数 f(x)=lnx+x ﹣3x,则其导函数 f′(x)的图象与 x 轴所围成的封闭图形 的面积为() A.ln2 B. ﹣ln2 C. +ln2 D.
2

考点: 定积分在求面积中的应用;导数的运算. 专题: 导数的综合应用. 分析: 由题可得 f′(x)的图象与 x 轴所围成的封闭图形的面积为: ,代入计算可得结果.

解答: 解:

令 f'(x)=0,得:

或 1,

所以 f′(x)的图象与 x 轴所围成的封闭图形的面积为: =

; 故选 B. 点评: 本题考查了利用定积分求曲边梯形的面积.
x y

9. (5 分)已知 x>0,y>0,lg2 +lg8 =lg2,则 A.2 B. 2 C. 4

的最小值是() D.2

考点: 基本不等式. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 利用对数的运算法则和基本不等式的性质即可得出. 解答: 解:∵lg2 +lg8 =lg2,∴lg(2 ?8 )=lg2,∴2 ∵x>0,y>0,∴ x=3y= 时取等号. 故选 C. 点评: 熟练掌握对数的运算法则和基本不等式的性质是解题的关键. 10. (5 分)若 f(x)的定义域为 R,f′(x)>2 恒成立,f(﹣1)=2,则 f(x)>2x+4 解集 为() A.(﹣1,1) B.(﹣1,+∞) C.(﹣∞,﹣1) D.(﹣∞,+∞) 考点: 函数单调性的性质. 专题: 导数的概念及应用. 分析: 利用条件,构造函数,利用函数的单调性和函数的取值进行求解. 解答: 解:设 F(x)=f(x)﹣2x﹣4, 则 F'(x)=f'(x)﹣2, 因为 f′(x)>2 恒成立,所以 F'(x)=f'(x)﹣2>0,即函数 F(x)在 R 上单调递增. 因为 f(﹣1)=2,所以 F(﹣1)=f(﹣1)﹣2(﹣1)﹣4=2+2﹣4=0. 所以所以由 F(x)=f(x)﹣2x﹣4>0,即 F(x)=f(x)﹣2x﹣4>F(﹣1) . 所以 x>﹣1, 即不等式 f(x)>2x+4 解集为(﹣1,+∞) . 故选 B. 点评: 本题主要考查导数与函数单调性的关系,利用条件构造函数是解决本题的关键. 11. (5 分)设 0<a≤1,函数 f(x)=x+ ,g(x)=x﹣lnx,若对任意的 x1,x2∈[1,e],都有 f(x1)≥g(x2)成立,则 a 的取值范围为() = =2+
x y x y x+3y

=2,∴x+3y=1. =4,当且仅当

A.(0,1]

B.(0,e﹣2]

C.[e﹣2,1]

D.[1﹣ ,1]

考点: 函数恒成立问题. 专题: 计算题;函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 分析: 运用导数可得 f(x) ,g(x)在 x∈[1,e]时单调递增,要使对任意的 x1,x2∈[1,e], 有 f(x1)≥g(x2)成立,只需 f(x)min≥g(x)max. 解答: 解:由于 , ,

∵x∈[1,e],0<a≤1,∴f'(x)>0,g'(x)>0, 即 f(x) ,g(x)在 x∈[1,e]时单调递增, 由任意的 x1,x2∈[1,e],都有 f(x1)≥g(x2)成立, 所以 f(x)min≥g(x)max,即 f(1)≥g(e) , ∴1+a≥e﹣1,∴a≥e﹣2,又 0<a≤1,得 e﹣2≤a≤1, 故选 C. 点评: 本题考查函数的单调性的运用,考查运用导数判断函数的单调性,考查不等式恒成 立问题转化为求最值,考查运算能力,属于中档题和易错题.

12. (5 分)定义函数 f(x)= [1,2 ](n∈N )内的所有零点的和为() A.n B.2n
n *

,则函数 g(x)=xf(x)﹣6 在区间

C. (2 ﹣1)

n

D. (2 ﹣1)

n

考点: 根的存在性及根的个数判断. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 函数 f(x)是分段函数,要分区间进行讨论,当 1≤x≤2,f(x)是二次函数,当 x>2 时,对应的函数很复杂,找出其中的规律,最后作和求出. 解答: 解:当 所以 当 时,f(x)=8x﹣8, ,此时当 时,g(x)max=0;
2

时,f(x)=16﹣8x,所以 g(x)=﹣8(x﹣1) +2<0;

由此可得 1≤x≤2 时,g(x)max=0. n﹣1 n 下面考虑 2 ≤x≤2 且 n≥2 时,g(x)的最大值的情况. 当2
n﹣1

≤x≤3?2

n﹣2

时,由函数 f(x)的定义知 ,



因为

所以 此时当 x=3?2 当 3?2
n﹣2 n﹣2 n

, 时,g(x)max=0; .

≤x≤2 时,同理可知,
n﹣1 n

由此可得 2 ≤x≤2 且 n≥2 时,g(x)max=0. * n﹣1 n 综上可得:对于一切的 n∈N ,函数 g(x)在区间[2 ,2 ]上有 1 个零点, 从而 g(x)在区间[1,2 ]上有 n 个零点,且这些零点为 的和为 .
n

,因此,所有这些零点

故选:D 点评: 本题属于根的存在性及根的个数的判断的问题,是一道较复杂的问题,首先它是分 段函数,各区间上的函数又很复杂,挑战人的思维和耐心. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. (5 分)函数 f(x)= (x>0)的最大值为 .

考点: 基本不等式. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 思路点拨令 t=2x+1(t>1) ,原式= = ,利用基本不等式即可得出.

解答: 解:令 t=2x+1(t>1) ,原式=

=



∵ ∴原式

,当且仅当 t=

时取等号. .

,故最大值为

点评: 本题考查了换元法、基本不等式的性质,考查了计算能力,属于基础题. 14. (5 分)△ ABC 中,内角 A、B、C 所对的边的长分别为 a,b,c,且 a =b(b+c) ,则 = .
2

考点: 余弦定理. 专题: 三角函数的求值. 分析: 利用余弦定理列出关系式, 将已知等式变形为 a =b +bc 代入, 约分后再将 b+c=
2 2



入, 利用正弦定理化简得到 sinA=2sinBcosB=sin2B, 进而得到 A=2B, 即可求出所求式子的值. 解答: 解:∵a =b(b+c) ,即 a =b +bc,b+c=
2 2 2



∴由正弦、余弦定理化简得:cosB= 则 sinA=sin2B,即 A=2B 或 A+2B=π, 2 2 2 2 2 ∵a =b +c ﹣2bccosA,且 a =b(b+c)=b +bc, ∴cosA= = =

=

=

=

=

=



>0,即 c>b,

∴C>B, ∵A+B+C=π, ∴A+2B<π, 故 A+2B=π 不成立,舍去, ∴A=2B, 则 = . 故答案为: 点评: 此题考查了正弦、余弦定理,熟练掌握定理是解本题的关键.

15. (5 分)函数 f(x)=xln(ax) (a<0)的递增区间是



考点: 专题: 分析: 解答:

利用导数研究函数的单调性. 导数的综合应用. 求单调区间先求定义域,再根据 f'(x)>0 解出 x 的范围即可. 解:∵a<0,∴定义域为(﹣∞,0) ,f'(x)=ln(ax)+1,当 f'(x)>0 时,函数 f ,故递增区间为 .

(x)递增,此时 故答案为:

点评: 本题考查函数的导数的应用,函数的单调区间的求法,考查分析问题解决问题的能 力. 16. (5 分)已知数列{an}中,a1=2,a2=5,an=2an﹣1+3an﹣2(n≥3) ,则 a20﹣3a19=﹣1. 考点: 数列递推式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 把给出的数列递推式变形,得到等比数列{an﹣3an﹣1},求出其通项公式即可. 解答: 解:由 an=2an﹣1+3an﹣2,得 an﹣3an﹣1=﹣(an﹣1﹣3an﹣2) (n≥3) , ∵a1=2,a2=5, ∴a2﹣3a1=5﹣3×2=﹣1≠0, ∴数列{an﹣3an﹣1}是以﹣1 为首项,以﹣1 为公比的等比数列, ∵a20﹣3a19 是这个数列的第 19 项, ∴ ,

故答案为:﹣1. 点评: 本题考查了递推式的变形、等比数列的通项公式,考查了推理能力与计算能力,属 于中档题. 三、解答题(本题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (10 分)已知△ ABC 是斜三角形,内角 A、B、C 所对的边的长分别为 a、b、c.己知 csinA= ccosC. (Ⅰ)求角 C; (Ⅱ)若 c= ,且 sinC+sin(B﹣A)=5sin2A,求△ ABC 的面积. 考点: 正弦定理;余弦定理. 专题: 计算题;三角函数的求值;解三角形. 分析: (I)根据正弦定理算出 csinA=asinC,与题中等式比较可得 ,结合 C 为三 角形内角,可得 C 的大小; 2 2 2 (II)余弦定理 c =a +b ﹣2abcosC 的式子,列式解出 a=5,b=1,再利用三角形的面积公式加 以计算,即可得到△ ABC 的面积. 解答: 解: (I)根据正弦定理 ∵ 可得 ∵C∈(0,π) ,∴ (II)∵ ∴sinC=sin(A+B)∴sin(A+B)+sin(B﹣A)=5sin2A, ∴2sinBcosA=2×5sinAcosA, ∵A、B、C 为斜三角形,∴cosA≠0,∴sinB=5sinA, 由正弦定理可知 b=5a…(1) 2 2 2 由余弦定理 c =a +b ﹣2abcosC, ∴ …(2) ,∴ ,得 ; ,可得 csinA=asinC, , ,

由(1) (2)解得 a=5,b=1, ∴ .

点评: 本题考查正弦定理、余弦定理和面积公式的运用,考查三角函数的化简和求值,考 查运算能力,属于基础题. 18. (12 分)已知等比数列{an}为递增数列,且 a5 =a10,2(an+an+2)=5an+1,n∈N . (Ⅰ)求 an; n * (Ⅱ)令 cn=1﹣(﹣1) an,不等式 ck≥2014(1≤k≤100,k∈N )的解集为 M,求所有 ak(k∈M) 的和. 考点: 数列递推式;等比数列的通项公式;数列的求和.
2 *

专题: 等差数列与等比数列. 分析: (Ⅰ)设{an}的首项为 a1,公比为 q,由 a5 =a10,可得 a1=q.再利用 2(an+an+2)=5an+1,可得 q,即可得出 an. (II)由(I)可得: 数,
11 2

,解得

.当 n 为偶数,不成立.当 n 为奇 ,可得 n=2m+1,得到 m 的取值范围.可知{ak}(k∈M)组成首项为

2 ,公比为 4 的等比数列.求出即可. 解答: 解: (Ⅰ)设{an}的首项为 a1,公比为 q, ∴ ,解得 a1=q,

又∵2(an+an+2)=5an+1, ∴ 则 2(1+q )=5q,2q ﹣5q+2=0,解得 ∴ (Ⅱ)由(I)可得: 当 n 为偶数, 当 n 为奇数, ∵2 =1024,2 =2048, ∴n=2m+1,5≤m≤49, ∴{ak}(k∈M)组成首项为 2 ,公比为 4 的等比数列. 则所有 ak(k∈M)的和 .
11 10 11 2 2

(舍)或 q=2.

. , ,即 2 ≤﹣2013,不成立. ,即 2 ≥2013,
n n

点评: 本题考查了等比数列的通项公式及其前 n 项和公式、分类讨论等基础知识与基本技 能方法,属于难题. 19. (12 分)某高中数学竞赛培训在某学段共开设有初等代数、平面几何、初等数论和微积分 初步共四门课程,要求初等数论、平面几何都要合格,且初等代数和微积分初步至少有一门 合格,则能取得参加数学竞赛复赛的资格.现有甲、乙、丙三位同学报名参加数学竞赛培训, 每一位同学对这四门课程考试是否合格相互独立,其合格的概率均相同(见下表) ,且每一门 课程是否合格相互独立. 课 程[来 初等代数 平面几何 初等数论 微积分初步 合格的概率 (Ⅰ)求乙同学取得参加数学竞赛复赛的资格的概率; (Ⅱ)记 ξ 表示三位同学中取得参加数学竞赛复赛的资格的人数,求 ξ 的分布列及期望 Eξ.

考点: 离散型随机变量的期望与方差;列举法计算基本事件数及事件发生的概率;离散型 随机变量及其分布列. 专题: 概率与统计. 分析: (I)分别记甲对这四门课程考试合格为事件 A,B,C,D,“甲能能取得参加数学竞 赛复赛的资格”的概率为 立能求出结果. (II)由题设知 ξ 的所有可能取值为 0,1,2,3, ,由事件 A,B,C,D 相互独 ,由此能求出 ξ 的分布

列和数学期望. 解答: 解: (1)分别记甲对这四门课程考试合格为事件 A,B,C,D, 且事件 A,B,C,D 相互独立, “甲能能取得参加数学竞赛复赛的资格”的概率为: = . ,

(2)由题设知 ξ 的所有可能取值为 0,1,2,3,且 , , , , ∴ξ 的分布列为: ξ 0 P ∵ ,∴ .

1

2

3

点评: 本题考查概率的求法,考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法,是中档题, 解题时要认真审题,在历年 2015 届高考中都是必考题型之一. 20. (12 分)如图,在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,A1A⊥平面 ABC,∠BAC=90°,F 为棱 AA1 上的动点,A1A=4,AB=AC=2. (1)当 F 为 A1A 的中点,求直线 BC 与平面 BFC1 所成角的正弦值; (2)当 的值为多少时,二面角 B﹣FC1﹣C 的大小是 45°.

考点: 与二面角有关的立体几何综合题;异面直线及其所成的角. 专题: 空间位置关系与距离;空间角. 分析: (1)以点 A 为原点建立空间直角坐标系,利用向量法能求出直线 BC 与平面 BFC1 所成角的正弦值. (2)求出平面 BFC1 的一个法向量,利用向量法能求出当 大小是 45°. 解答: 解: (1)如图,以点 A 为原点建立空间直角坐标系, 依题意得 A(0,0,0) ,B(2,0,0) ,C(0,2,0) , A1(0,0,4) ,C1(0,2,4) ,∵F 为 AA1r 中点, ∴ , 设 是平面 BFC1 的一个法向量, 时,二面角 B﹣FC1﹣C 的



,得 x=﹣y=z

取 x=1,得

, 的夹角为 θ,

设直线 BC 与平面 BFC1 的法向量





∴直线 BC 与平面 BFC1 所成角的正弦值为 (2)设 设

. ,

是平面 BFC1 的一个法向量,





取 z=2,得

是平面 FC1C 的一个法向量, ,

得 ∴当

,即

, 时,二面角 B﹣FC1﹣C 的大小是 45°.

点评: 本题考查直线与平面所成角的正弦值的求法,考查二面角为 45°时点的位置的确定, 解题时要认真审题,注意向量法的合理运用.

21. (12 分)已知双曲线 C 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,离心率 e=

,虚轴长为 2.

(Ⅰ)求双曲线 C 的标准方程; (Ⅱ)若直线 l:y=kx+m 与双曲线 C 相交于 A,B 两点(A,B 均异于左、右顶点) ,且以 AB 为直径的圆过双曲线 C 的左顶点 D,求证:直线 l 过定点,并求出该定点的坐标. 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 圆锥曲线中的最值与范围问题. 分析: (Ⅰ)由已知得: ,2b=2,易得双曲线标准方程;

(Ⅱ) )设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,联立

,得(1﹣4k )x ﹣8mkx﹣4(m +1)

2

2

2

=0, 以 AB 为直径的圆过双曲线 C 的左顶点 D (﹣2, 0) , ∴kADkBD=﹣1, 即 代入即可求解.



解答: 解: (Ⅰ)由题设双曲线的标准方程为
2 2 2



由已知得:

,2b=2,又 a +b =c ,解得 a=2,b=1, .

∴双曲线的标准方程为

(Ⅱ)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,联立

,得(1﹣4k )x ﹣8mkx﹣4(m +1)

2

2

2

=0,





, 以 AB 为直径的圆过双曲线 C 的左顶点 D(﹣2,0) , ∴kADkBD=﹣1,即 ∴y1y2+x1x2+2(x1+x2)+4=0, ∴ ∴3m ﹣16mk+20k =0. 解得 m=2k 或 m= .
2 2





当 m=2k 时,l 的方程为 y=k(x+2) ,直线过定点(﹣2,0) ,与已知矛盾; 当 m= 时,l 的方程为 y=k(x+ ) ,直线过定点(﹣ ,0) . ,0) ,经检验符合已知条件.

故直线 l 过定点,定点坐标为(﹣

点评: 本题主要考查双曲线方程的求解,以及直线和圆锥曲线的相交问题,联立方程,转 化为一元二次方程,利用根与系数之间的关系是解决本题的关键.综合性较强,运算量较大. (a∈R)

22. (12 分)已知函数 f(x)=ln(x﹣1)+

(Ⅰ)求函数 f(x)的单调区间; (Ⅱ)设 m,n 是正数,且 m≠n,求证: < .

考点: 利用导数研究函数的单调性;函数单调性的性质. 专题: 综合题;导数的综合应用. 分析: (Ⅰ)求出函数的导数,对 a 分情况讨论, (1)当 0≤a≤2 时, (2)当 a<0 或 a>2 时, 求出导数为 0 的根,即可得到单调区间; (Ⅱ)把所证的式子利用对数的运算法则及不等式的基本性质变形,即要证

,根据题意得到 g(x)在 x≥1 时单调递增,且

,利用函数的单

调性可得证. 解答: 解: (Ⅰ)函数 f(x)的定义域为(1,+∞) ,
2 2 2



令 h(x)=x ﹣2ax+2a,由题意得 x (x﹣1)>0,则△ =4a ﹣8a=4a(a﹣2) ,对称轴为 x=a, (1)当 0≤a≤2 时,h(x)≥0,即 f′(x)≥0,f(x)在(1,+∞)上递增; (2)当 a<0 或 a>2 时,h(x)=0 的两根为 , ,

由 h(1)=1﹣2a+2a=1>0,a>2,得 1<x1<x2, 当 x∈(x1,x2)时,h(x)<0,f′(x)<0,f(x)递减; 当 x∈(1,x1)∪(x2,+∞)时,h(x)>0,f′(x)>0,f(x)递增, 所以 f(x)的递增区间为 减区间为 . ,

a<0 时,对称轴在 y 轴左边,那么一根必然为负值,虽然有一根大于零,但由于此时 h(1) =1﹣2a+2a=1>0,也就是在对称轴与 1 之间产生了一个零点,而函数定义域为(1,+∞) ,所 以此时原函数在(1,+∞)恒为增函数.

(Ⅱ)要证

,只需证





,即





, ,所以 ,

由题知 g(x)在(1,+∞)上是单调增函数,又



成立,得到



点评: 本题考查利用导数求函数的单调区间,考查不等式的证明,正确利用函数的单调性 是关键.


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