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2012高考二轮复习专题限时集训:数学(文)第14讲 直线与圆


专题限时集训(十四)A (时间:10 分钟+25 分钟)

[第 14 讲 直线与圆]

2.若点 P(x0,y0)在直线 Ax+By+C=0 上,则直线方程可表示为( ) A.A(x-x0)+B(y-y0)=0 B.A(x-x0)-B(y-y0)=0 C.B(x-x0)+A(y-y0)=0 D.B(x-x0)-A(y-y0)=0 3.圆 x2+y2-4x+6y=0 的圆心坐标是( ) A.(2,3) B.(-2,3) C.(-2,-3) D.(2,-3) 4.若直线 3x+y+a=0 过圆 x2+y2+2x-4y=0 的圆心,则 a 的值为( A.-1 B.1 C.3 D.-3

)

1.若直线 l1:y=2x+3,直线 l2 与 l1 关于直线 y=-x 对称,则直线 l2 的斜率为( 1 A. B. C.2 D.-2 2 2.直线 2x-y+3=0 关于直线 x-y+2=0 对称的直线方程是( ) A.x-2y+3=0 B.x-2y-3=0 C.x+2y+1=0 D.x+2y-1=0 3.“a=3”是“直线 ax+2y+2a=0 和直线 3x+(a-1)y-a+7=0 平行”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.直线 x-y+1=0 与圆(x+1)2+y2=1 的位置关系是( ) A.相切 B.直线过圆心 C.直线不过圆心但与圆相交 D.相离

)

1 5. 已知点 P(x, y)在直线 x+2y=3 上移动, 2x+4y 取得最小值时, 当 过点 P(x, y)引圆?x-2? ? ? 1 1 2+?y+4?2= 的切线,则此切线段的长度为( ) ? ? 2 6 3 1 3 A. B. C. D. 2 2 2 2 6.直线 x+y+ 2=0 截圆 x2+y2=4 所得劣弧所对圆心角为( ) π π π 2π A. B. C. D. 6 3 2 3 7.若直线 2x-y+a=0 与圆(x-1)2+y2=1 有公共点,则实数 a 的取值范围为( ) A.(-2- 5,-2+ 5) B.[-2- 5,-2+ 5] D.(- 5, 5) C.[- 5, 5] 8.若 a,b,c 是直角△ABC 的三边的长(c 为斜边),则圆 M:x2+y2=4 截直线 l:ax+by +c=0 所得的弦长为________. 9.过原点的直线与圆 x2+y2-2x-4y+4=0 相交所得的弦长为 2,则该直线的方程为 ________. 10.在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 y=x2-6x+1 与坐标轴的交点都在圆 C 上. (1)求圆 C 的方程; (2)若圆 C 与直线 x-y+a=0 交于 A、B 两点,且 OA⊥OB,求 a 的值.

1

专题限时集训(十四)B [第 14 讲 直线与圆] (时间:10 分钟+25 分钟)

1.已知两直线 x+ay+1=0 与 ax-y-3=0 互相垂直,则 a 的取值集合是( ) A.{-1,1} B.{x|x≠0} C.R D.? 2. 直线(a+1)x-y+1-2a =0 与直线(a2-1)x+(a-1)y-15=0 平行, 则实数 a 的值为( ) A.1 B.-1,1 C.-1 D.0 3.过点(1,3)作直线 l,使 l 过点(a,0)与(0,b),a,b∈N*,则可作出的直线 l 的条数为( ) A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.多于 3 条 → → → 4.已知点 M(0,1)、A(1,1)、B(0,2),且MP=cosθMA+sinθMB(θ∈[0,π]),则点 P 的轨迹方 程是( ) A.x2+y2=1(0≤x≤1) B.x2+y2=1(0≤y≤2) C.x2+(y-1)2=1(0≤y≤1) D.x2+(y-1)2=1(1≤y≤2) 1.若直线 2ay-1=0 与直线(3a-1)x+y-1=0 平行,则实数 a 等于( ) 1 1 1 1 A. B.- C. D.- 2 2 3 3 2.与圆 x2+y2-2y-1=0 关于直线 x-2y-3=0 对称的圆的方程是( ) 1 A.(x-2)2+(y+3)2= B.(x-2)2+(y+3)2=2 2 1 C.(x+2)2+(y-3)2= D.(x+2)2+(y-3)2=2 2 3.把直线 x-2y+λ=0 向左平移 1 个单位,再向下平移 2 个单位后,所得直线正好与圆 x2 +y2+2x-4y=0 相切,则实数 λ 的值为( ) A.3 或 13 B.-3 或 13 C.3 或-13 D.-3 或-13 c 4. 两圆相交于两点(1,3)和(m,1), 两圆的圆心都在直线 x-y+ =0 上, m+c 的值是( 则 ) 2 A.-1 B.2 C.3 D.0 5.已知两点 P(-1,1),Q(2,2),若直线 l:x+my+m=0 与线段 PQ 的延长线相交.如图 14 -2,则 m 的取值范围是( ) 1 3 A.?3,2? ? ? 2 B.?-3,-3? ? ? C.(-∞,-3) 2 D.?-3,+∞? ? ?

3 6 . 过 点 P ?-3,-2? 且 被 圆 x2 + y2 = 25 所 截 得 的 弦 长 为 8 的 直 线 l 的 方 程 为 ? ? ____________________. 1 7.过点 M?2,1?的直线 l 与圆 C:(x-1)2+y2=4 交于 A、B 两点,当∠ACB 最小时,直线 ? ? l 的方程为________. 8.已知点 A(1,-1),点 B(3,5),点 P 是直线 y=x 上动点,当|PA|+|PB|的值最小时,点 P 的坐标是________. 9.过点(-1,-2)的直线 l 被圆 x2+y2-2x-2y+1=0 截得的弦长为 2,则直线 l 的斜率 为________. 10.圆 C1:x2+y2-5x-5y+6=0 与圆 C2:x2+y2-4x-4y=0 相交 所得公共弦长为 ________. 11.圆 O1 的方程为 x2+(y+1)2=4,圆 O2 的圆心 O2(2,1). (1)若圆 O2 与圆 O1 外切,求圆 O2 的方程,并求内公切线方程; (2)若圆 O2 与圆 O1 交于 A、B 两点,且|AB|=2 2,求圆 O2 的方程.
2

专题限时集训(十四)A 【基础演练】 b 1.D 【解析】 由 a+b=0 得 a=-b,直线在 x 轴上的截距为- =1,故选 D. a 2.A 【解析】 依题意得 Ax0+By0+C=0,即 C=-Ax0-By0,代入直线方程得 Ax +By-Ax0-By0=0,故直线方程为 A(x-x0)+B(y-y0)=0,选 A. 3.D 【解析】 圆的方程可化为(x-2)2+(y+3)2=13,所以圆心坐标是(2,-3),选 D. 4.B 【解析】 圆的方程可化为(x+1)2+(y-2)2=5,因为直线经过圆的圆心(-1,2), 所以 3×(-1)+2+ a=0,得 a=1. 【提升训练】 1.A 【解析】 依题意,在 l1 方程中以-x 代替 y,-y 代替 x,则得直线 l1 关于直线 1 y=-x 对称的直线 l2 的方程为 x-2y+3=0,所以直线 l2 的斜率为 ,选择 A. 2
?x=y-2, ? 2.A 【解析】 因为直线 x-y+2=0 的斜率为 1,故有? 将其代入直线 2x ? ?y=x+2,

-y+3=0 即得:2(y-2)-(x+2)+3=0,整理即得 x-2y+3=0.故选 A. 3.A 【解析】 由 a(a-1)-2×3=0,解得 a=3 或 a=-2,且两直线均不重合,即 当 a=3 或 a=-2 时,两直线平行,故选 A. 4.B 【解析】 圆心坐标为(-1,0)满足直线方程. 5.A 【解析】 2x+4y≥2 2x4y=2 2x
+2y

3 =4 2,当且仅当 2x=4y=2 2,即 x=2y= 2

3 3 时取得最值,所以 P?2,4?,所以切线长 l= ? ? 6.D 【解析】 弦心距为 |0+0+ 2| 12+12

?3-1?2+?3+1?2-1= 6.故选 A. ? 2 2? ? 4 4? 2 2

=1,圆的半径为 4=2,于是弦长为 2 3,设劣

4+4-12 1 2π 弧所对角为 θ,则 cosθ= =- ,故 θ= . 2 3 2×2×2 |2+a| 7.B 【解析】 依题意得 ≤1,- 5-2≤a≤ 5-2,选择 B. 5 8.2 3 【解析】 圆 M:x2+y2=4 截直线 l:ax+by+c=0 所得的弦长 l=2 r2-d2= ? c ?2,由于 a2+b2=c2 ,所以 l=2 3. 4-? 2 ? ? a +b2? 【点评】 如果圆的半径是 r,圆心到直线的距离是 d,则圆截直线所得的弦长 l=

2

2 r2-d2,这个公式是根据平面几何中直线与圆的位置关系和勾股定理得到的.在解决直线 与圆的位置关系时要充分考虑平面几何知识的运用. 9.2x-y=0 【解析】 将圆 x2+y2-2x-4y+4=0 配方得(x-1)2+(y-2)2=1, ∴该圆半径为 1,圆心 M(1,2). ∵直线与圆相交所得弦的长为 2,即为该圆的直径, 2-0 =2, ∴该直线的方程的斜率 k= 1-0

3

∴该直线的方程为 y=2x,即 2x-y=0. 10. 【解答】 (1)曲线 y=x2-6x+1 与 y 轴的交点为(0,1),与 x 轴的交点为(3+2 2,0), (3-2 2,0). 故可设 C 的圆心为(3,t),则有 32+(t-1)2=(2 2)2+t2,解得 t=1. 则圆 C 的半径为 32+(t-1)2=3. 所以圆 C 的方程为(x-3)2+(y-1)2=9. (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),其坐标满足方程组
?x-y+a=0, ? ? 2 2 ? ?(x-3) +(y-1) =9.

消去 y,得到方程 2x2+(2a-8)x+a2-2a+1=0. 由已知可得,判别式 ?=56-16a-4a2>0.从而 a2-2a+1 x1+x2=4-a,x1x2= .① 2 由于 OA⊥OB,可得 x1x2+y1y2=0. 又 y1=x1+a,y2=x2+a,所以 2x1x2+a(x1+x2)+a2=0.② 由①,②得 a=-1,满足 ?>0,故 a=-1. 专题限时集训(十四)B 【基础演练】 1.C 【解析】 当 a=0 时,两直线为 x=-1 和 y=-3,则两直线垂直,当 a≠0 时, 1 1 两直线的斜率分别为- 和 a,又- ×a=-1,则两直线垂直,故 a 的取值集合是 R,选 a a C. 2.C 【解析】 将-1,1,0 分别代入两直线方程检验得 a=-1 符合题意.
?a=4, ?a=2, ? ? 1 3 3.B 【解析】 因为 + =1,且 a,b∈N*,所以? 或? 故选 B. a b ? ? ?b=4 ?b=6.

→ → → 4.D 【解析】 设 P(x,y),则MP=(x,y-1),又MA=(1,0),MB=(0,1),故有(x,y -1)=(cosθ,sinθ),
? ?x=cosθ, ∴? x2+(y-1)2=1. ?y-1=sinθ, ?

又∵θ∈[0,π],∴y=sinθ+1,且 1≤sinθ+1≤2.∴选 D. 【提升训练】 1 1.C 【解析】 因为两直线平行,所以 3a-1=0,即 a= .故选 C. 3 2.B 【解析】 将圆 x2+y2-2y-1=0 化为 x2+(y-1)2=2,因为两圆关于直线 x-2y -3=0 对称,故半径相等,故排除 A、C,又两圆圆心关于直线 x-2y-3=0, 故两圆圆心 连线斜率为 k=-2,故排除 D.选 B. 3.A 【解析】 直线 x-2y+λ=0 按 a=(-1,-2)平移后的直线为 x-2y+λ-3=0, 由该直线与圆 x2+y2+2x-4y=0 相切,易得 λ=13 或 3.

4

4.C 【解析】 由题意知两点(1,3)、(m,1)的中点? m+1 c -2+ =0.∴m+c=3. 2 2 5.B 【解析】 易知 kPQ=

m+1 ? c ? 2 ,2?在直线 x-y+2=0 上,即

2-1 1 = ,直线 x+my+m=0 过点 M(0,-1).当 m=0 2-(-1) 3

1 时,直线化为 x=0,一定与 PQ 相交,所以 m≠0,当 m≠0 时,k=- ,考虑直线 l 的两 m 2-(-1) 3 个极限位置.(1)l 经过 Q,即直线 l1,则 k1= = ;(2)l 与 PQ 平行,即直线 l2,则 2 2-0 1 1 1 3 k2=kPQ= ,所以 <- < , 3 3 m 2 2 即-3<m<- .故选 B. 3 3 6.3x+4 y+15=0 或 x=-3 【解析】 由题意知,斜率存在时,过 P 的直线为 y+ = 2 k(x+3)?2kx-2y+6k-3=0,圆心到直线的距离 d= |6k-3|
2

3
2=3?k=-4;斜率不存在时

2 +4k 直线 x=-3 满足条件.故直线 l 的方程为 3x+4y+15=0 或 x=-3. 7.2x-4y+3=0 【解析】 由平面几何知识可知,当 l 与 CM 垂直时∠ACB 最小.∵ 1 1 1 1 =-2,∴kl= ,故直线 l 方程为 y-1= ?x-2?,即 2x-4y+3=0. ? 1 2 2? -1 2

kCM=

8.(2,2) 【解析】 连接 AB 与直线 y=x 交于点 Q,则当 P 点移动到 Q 点位置时,|PA| +|PB|的值最小.
?3x-y-4=0, ? 5-(-1) ( x-3), 3x-y-4=0.解方程组? 即 得 直线 AB 的方程为 y-5= 3-1 ? ?y=x, ?x=2, ? ? 于是当|PA|+|PB|的 值最小时,点 P 的坐标为(2,2). ? ?y=2.

17 9.1 或 7

【解析】 由题意,直线与圆要相交,斜率必须存在,设为 k,则直线 l 的

方程为 y+2=k(x+1).又圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=1,圆心为(1,1),半径为 1,所以 圆心到直线的距离 d= 10 . 2 6

|k-1+k-2|
1+k
2



1-?

2 17 2?2 = ,解得 k=1 或 . 7 ?2? 2

【解析】 设两圆的交点为 A,B,则这两点的坐标都满足方程组

?x2+y2-5x-5y+6=0, ? ? 2 2 ? ?x +y -4x-4y=0,

对应的方程相减可得两圆的公共弦所在的直线方程为 x+y-6=0, 根据圆 C2:x2+y2-4x-4y=0 可得圆心坐标 C2(2,2),半径 r=2 2,则 C2(2,2)到直线

5

|2+2-6| AB 的距离为 d= = 2, 12+12 所以|AB|= 2 r2-d2=2 6,即两圆的公共弦长为 2 6. 11. 【解答】 (1)由两圆外切, ∴|O1O2|=r1+r2,r2=|O1O2|-r1=2( 2-1), 故圆 O2 的方程是:(x-2)2+(y-1)2=4( 2-1)2, 两圆的方程相减,即得两圆内公切线的方程为 x+y+1-2 2=0. 2 (2)设圆 O2 的方程为:(x-2)2+(y-1)2=r2, ∵圆 O1 的方程为:x2+(y+1)2=4,此两圆的方程相减,即得两圆公共弦 AB 所在直线 的方程为 4x+4y+r2-8=0.① 2 1 作 O1H⊥AB于 H,则|AH|= |AB|= 2,又 r1=2, 2 故|O1H|= 2, |r2-12| 2 由圆心(0,-1)到直线①的距离得 = 2,得 r2=4 或 r2=20, 2 2 4 2 故圆 O2 的方程为(x-2)2+(y-1)2=4 或(x-2)2+(y-1)2=20.

6



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