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2009全国高中数学联赛试题


2009 年全国高中数学联合竞赛试题
(考试时间:10 月 11 日上午 8∶00—9∶20)

一、填空题:本大题共 8 小题,每小题 7 分,共 56 分.把答案填在横线上. 1.若函数 f ( x ) = ,且 f ( n ) ( x ) = f [ f [ f L f ( x)]] ,则 f (99) (1) = 14 3 24 1+ x n


2

x



2. 已知直线 L :x + y ? 9 = 0 和圆 M :2 x 2 + 2 y 2 ? 8 x ? 8 y ? 1 = 0 , A 在直线 L 上,B 、 点
C 为圆 M 上两点,在△ ABC 中, ∠BAC = 45° , AB 过圆心 M ,则点 A 横坐标范围





?y ≥ 0 ? 3.在坐标平面上有两个区域 M 和 N , M 为: ? y ≤ x N 是随 t 变化的区域,它由 ?y ≤ 2? x ?
不等式 t ≤ x ≤ t + 1 所确定, t 的取值范围是 0 ≤ t ≤ 1 ,设 M 和 N 的公共面积是函数

f ( t ) ,则 f ( t ) =
4.使不等式



1 1 1 1 + +L + < a ? 2007 对一切正整数 n 都成立的最小正整数 n +1 n + 2 2n + 1 3

a 的值为
5.椭圆



x2 y2 + = 1( a > b > 0 )上任意两点 P ,Q ,若 OP ⊥ OQ ,则乘积 OP ? OQ 的 a2 b2

最小值为

. .

6.若方程 lg kx = 2 lg ( x + 1) 仅有一个实根,那么 k 的取值范围是

7.一个由若干行数字组成的数表,从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个

数之和,最后一行仅有一个数,第一行是前 100 个正整数按从小到大排成的行,则最 后一行的数是 (可以用指数表示) .

1

8.某车站每天 8∶00—9∶00,9∶00—10∶00 都恰有一辆客车到站,但到站的时刻 是随机的,且两者到站的时间是相互独立的,其规律为 8∶10 到站时刻 9∶10 概率
1 6

8∶30 9∶30
1 2

8∶50 9∶50
1 3

一旅客 8∶20 到车站, 则它候车时间的数学期望为

(精确到分) .

二、解答题:本大题共 3 小题,共 44 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤.
1. (本小题满分 14 分)设直线 l : y = kx + m (其中 k , m 为整数)与椭圆

x2 y 2 + =1 16 12

x2 y 2 交于不同两点 A , B ,与双曲线 ? = 1 交于不同两点 C , D ,问是否存在直线 l , 4 12

uuur uuu r r 使得向量 AC + BD = 0 ,若存在,指出这样的直线有多少条?若不存在,请说明理由.

2

2. (本小题满分 15 分)已知 p , q ( q ≠ 0 )是实数,方程 x 2 ? px + q = 0 有两个实根

α , β ,数列 {an } 满足 a1 = p , a2 = p 2 ? q , an = pan?1 ? qan ? 2 ( n = 3,4,…) .
(I)求数列 {an } 的通项公式(用 α , β 表示) ; (II)若 p = 1 , q =
1 ,求 {an } 的前 n 项和. 4

(本小题满分 15 分)求函数 y = x + 27 + 13 ? x + x 的最大值和最小值. 3.

3

2009 年全国高中数学联合竞赛加试试题(A 卷) (考试时间:10 月 11 日上午 9∶40—12∶10)

一、如图, M , N 分别为锐角三角形△ ABC ( ∠A < ∠B )的外接圆 Γ 上弧 BC 、 AC 的中点. 过点 C 作 PC // MN 交圆 Γ 于 P 点,I 为△ ABC 的内心, 连接 PI 并延长交圆 Γ 于T . (I)求证:当 MP ? MT = NP ? NT ; (II)在弧 AB (不含点 C )上任取一点 Q ( Q ≠ A ,T , B ) ,记△ AQC ,△ QCB 的 内心分别为 I1 , I 2 ,求证: Q , I1 , I 2 , T 四点共圆.

P

C

N M

I

B A Q T

4

二、求证不等式: ?1 < ∑

k 1 ? ln n ≤ , n = 1,2,…. 2 k =1 k + 1
2

n

k 三、设 k ,l 是给定的两个正整数.求证:有无穷多个正整数 m ≥ k ,使得 Cm 与 l 互素.

5

四、在非负数构成 3 × 9 数表

? x11 ? P = ? x21 ?x ? 31

x12 x22 x32

x13 x23 x33

x14 x24 x34

x15 x25 x35

x16 x26 x36

x17 x27 x37

x18 x28 x38

x19 ? ? x29 ? ? x39 ?

中每行的数互不相同,前 6 列中每列的三数之和为 1, x17 = x28 = x39 = 0 , x27 , x37 , x18 , x38 , x19 , x29 均大于 1.如果 P 的前三列构成的数表

? x11 ? S = ? x21 ?x ? 31

x12 x22 x32

x13 ? ? x23 ? ? x33 ?

? x1k ? ? ? 满足下面的性质(O) :对于数表 P 中的任意一列 ? x2 k ? ( k = 1,2,…,9)均存在某 ?x ? ? 3k ?

i ∈ {1,2,3}使得 xik ≤ ui = min { xi1 , xi 2 , xi 3 }.

求证: (I)最小值 ui = min { xi1 , xi 2 , xi 3 }, i = 1,2,3 一定取自数表 S 的不同列.

? x1k * ? ? ? (II)存在数表 P 中的唯一的一列 ? x2 k * ? , k * ≠ 1,2,3 使得 3 × 3 数表 ?x ? ? 3k* ? ? x11 ? S ' = ? x21 ?x ? 31 x12 x22 x32 x1k * ? ? x2 k * ? ? x3k * ?

? x1k ? ? ? 仍然具有性质(O) ,即对于数表 P 中的任意一列 ? x2 k ? ( k = 1,2,…,9)均存在某 ?x ? ? 3k ?

i ∈ {1,2,3}使得 xik ≤ ui = min { xi1 , xi 2 , xik * }.

6


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