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哈师大附中2013届高三第二次月考数学(理)


哈师大附中 2013 届高三第二次月考数学(理)试题
考试说明: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,考试时间 120 分钟. 2.答卷前,考生务必写好姓名、并将考号、考试科目用 2B 铅笔涂写在答题卡上. 3.将第Ⅰ卷选择题的答案涂在答题卡上,第Ⅱ卷每题的答案写在答题纸的指定位置. 4.考试结束,将答题纸和答题卡一并交回,答案写在试卷上视为无效答案



第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的) 1.下列各组中的两个集合 A 和 B ,表示同一集合的是 ( ) A. A ? ? ?, B ? ?3.14159 ? ? B. A ? ?2,3?, B ? ??2,3??

1 C. A ? x ? 1 ? x ? 1, x ? N , B ? ? ?
2

?

?

D. A ? 1, 3 , ? , B ? ? ,1, ? 3

?

?

?

?
( )

2.已知函数 f (x) 的定义域为 ?0,1? ,则 f ( x ) 的定义域为 A. ?? 1,0? B. ?? 1,1? C. ?0,1? D. ?0,1?

3. a ? log 0.3 4, b ? log 4 3, c ? 0.3?2 ,则 A. a ? c ? b B. c ? b ? a C. a ? b ? c D. b ? a ? c





4.“ p且q为真 ”是“ p或q为真 ”的 A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件





5.设函数 f (x) 对任意 x, y 满足 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ,且 f (2) ? 4 ,则 f (?1) 的值为 ( A. ? 3 B. ? 2
x



C. 2

D. 3

6.若函数 f (x) 的零点与 g ( x) ? 4 ? 2 x ? 2 的零点之差的绝对值不超过 0.25 ,则 f (x) 可以是 ( A. f ( x) ? 4 x ? 1 C. f ( x) ? e ? 1
x



B. f ( x) ? ( x ? 1)

2

D. f ( x) ? ln( x ? )

1 2

7.曲线 C : y ? e 在点 A 处的切线 l 恰好经过坐标原点,则曲线 C 、直线 l 、 y 轴围成的图形面
x

积为 A.

( B.



3e ?1 2

e ?1 2

C.

e 2

D.

e ?1 2

8.在“家电下乡”活动中,某厂要将 100 台洗衣机运往邻近的乡镇,现有 4 辆甲型货车和 8 辆乙型货 车可供使用. 每辆甲型货车运输费用 400 元, 可装洗衣机 20 台; 每辆乙型货车运输费用 300 元, 可装洗衣机 10 台.若每辆车至多只运一次,则该厂所花的最少运输费用为 ( ) A. 2800 元 B. 2400 元 C. 2200 元 D. 2000 元 9. 函数 f (x) 的定义域为 A , x1 , x2 ? A 且 f ? x1 ? =f ? x2 ? 时总有 x1 ? x2 , 若 则称 f (x) 为单函数. 下 列命题中的真命题是 A. 函数 f ( x) ? x ( x ? R) 是单函数;
2





B. f (x) 为单函数, x1 , x2 ? A ,若 x1 ? x2 ,则 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ; C.若 f :A ? B 为单函数,则对于任意 b ? B , A 中至少有一个元素与 b 对应; D.函数 f (x) 在某区间上具有单调性,则 f (x) 一定是单函数. 10.已知定义在 R 上的函数 f (x) 满足: f ( x) ? f ( x ? 2) ,当 x ? ?3,5? 时, f ( x) ? 2 ? x ? 4 .下 列四个不等关系中正确的是 ( B. f (sin1) ? f (cos1) D. f (cos 2) ? f (sin 2)
q



) ? f (cos ) 6 6 2? 2? C. f (cos ) ? f (sin ) 3 3
A. f (sin
p

?

?

11.若函数 f ( x) ? a( x ? 1) ( x ? 1) 在区间 ?? 2,1? 上的图象如图所示,则 p, q 的值可能是 ( A. p ? 2, q ? 2 B. p ? 2, q ? 1 C. p ? 3, q ? 2



D. p ? 1, q ? 1

12.已知函数 f ( x) ? x ? 2 x ? 4 x ? 7 ,其导函数为 f ?(x) .
3 2

① f (x) 的单调减区间是 ? ,2 ? ; ② f (x) 的极小值是 ? 15 ; ③当 a ? 2 时,对任意的 x ? 2 且 x ? a ,恒有 f ( x) ? f (a) ? f ?(a)( x ? a) ④函数 f (x) 满足 f ( ? x) ? f ( ? x) ? 0 其中假命题的个数为 A.0 个 ( B.1 个 C.2 个 D.3 个 )

?2 ?3

? ?

2 3

2 3

第Ⅱ卷(非选择题
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.已知集合 M ? y y ? x ? 1, x ? R , N ? x y ?
2

共 90 分)
2 ? x 2 ,则 M ? (

?

?

?

?

R

N ) ? ______.

14.命题“ ?x ? R ,使得 x ? x ? 1 ? 0 .”的否定是___________________.
2

15. 函数 f ? x ? ? ax ? 3x ? 1 对于 x ? ? ?1,1? 总有 f ? x ? ≥0 成立,则 a =
3



16. 已知函数 f ( x) ? x ? 2 x, g ( x) ? ax ? 2 ,对任意的 x1 ? ? ?1, 2 ? ,都存在 x0 ? ? ?1, 2 ? ,使得
2

g ? x1 ? ? f ? x0 ? , 则实数 a 的取值范围是______________.
三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本题满分 12 分) 已知 a, b, c 是三个连续的自然数,且成等差数列,a ? 1, b ? 2, c ? 5 成等比数列,求 a, b, c 的值.

18. (本题满分 12 分)

2 已知集合 A ? x x ? 6 x ? 8 ? 0 , B ? x ? x ? a ?? x ? 4a ? ? 0 ,

?

?

?

?

(1) 若 a ? 0 且 A ? B ? x 3 ? x ? 4 ,求 a 的值; (2) 若 A ? B ? A ,求 a 的取值范围.

?

?

19. (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x | x ? m | ?n ,其中 m, n ? R (1) 若 f ( x) 为 R 上的奇函数,求 m, n 的值; (2) 若常数 n ? ?4 ,且 f ( x) ? 0 对任意 x ? [0, 1] 恒成立,求 m 的取值范围.

20. (本题满分 12 分) 已知椭圆 C 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,椭圆 C 上的点到焦点距离的最大值为 3 ,最小 值为 1 .

(1)求椭圆 C 的标准方程; (2)若直线 l : y ? kx ? m 与椭圆 C 相交于 A, B 两点( A, B 不是左右顶点) ,且以 AB 为直径的 圆过椭圆 C 的右顶点.求证:直线 l 过定点,并求出该定点的坐标.

21. (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? (k ? k ln x)e
2 x

( k 为非零常数, e ? 2.71828 ??? 是自然对数的底数),曲线

y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线与 x 轴平行.
(1)判断 f (x) 的单调性; (2)若 f ( x) ? (1

a) x - e x ln x + b(b > 0) , 求 (a ? 1)b 的最大值.

请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,如多选,则按所做的第一题计分.作答时请写清题 号. 22. (本题满分 10 分) 选修 4-1: 几何证明选讲如图, 在正 ? ABC 中, D , E 分别在边 BC , AC 上, 点 且 BD ? 求证: (1) P, D, C, E 四点共圆; (2) AP ? CP .

1 1 BC , CE ? CA , AD, BE 相交于点 P , 3 3

23. (本题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处,极

? 3 t ? x ? ?1 ? ? 2 ( t 为参数) 轴与 x 轴非负半轴重合.直线 l 的参数方程为: ? ,曲线 C 的极坐标 ?y ? 1 t ? 2 ?
方程为: ? ? 4 cos? . (1)写出曲线 C 的直角坐标方程,并指明 C 是什么曲线; (2)设直线 l 与曲线 C 相交于 P, Q 两点,求 PQ 的值.

24. (本题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知关于 x 的不等式 2 x ? 1 ? x ? 1 ? log 2 a (其中 a ? 0 ) . (1)当 a ? 4 时,求不等式的解集;

(2)若不等式有解,求实数 a 的取值范围.

参考答案

三、解答题 17. (本题满分 12 分) 解:因为 a, b, c 是三个连续的自然数,且成等差数列,故设 a ? n ? 1, b ? n, c ? n ? 1 ,--3 分 则 a ? 1 ? n, b ? 2 ? n ? 2, c ? 5 ? n ? 6 , 由 a ? 1, b ? 2, c ? 5 成等比数列, 可得 ?n ? 2? ? n?n ? 6? ,解得 n ? 2 ,-----9 分
2

所以 a ? 1, b ? 2, c ? 3 ------12 分

综上 1 ? a ? 2 .----12 分 19. (本题满分 12 分) 解: (Ⅰ) 若 f ( x) 为奇函数,? x ? R ,? f (0) ? 0 ,即 n ? 0 ,---2 分

? f ( x) ? x | x ? m |

由 f (?1) ? ? f (1) ,有 | m ? 1|?| m ? 1| ,? m ? 0 ---4 分

此时, f ( x) ? x | x | 是 R 上的奇函数,故所求 m, n 的值为 m ? n ? 0

(Ⅱ) ① 当 x ? 0 时, ?4 ? 0 恒成立,? m ? R ----6 分

则 g ( x) 在 (0, 1] 上单调递减,? m ? g ( x)min ? g (1) ? 3 对(2)式:令 h( x) ? ? x ?

4 4 ,当 x ? (0, 1] 时, h?( x) ? ?1 ? 2 ? 0 , x x

则 h( x ) 在 (0, 1] 上单调递增,? m ? h( x)max ? h(1) ? ?5 ---11 分 由①、②可知,所求 m 的取值范围是 ?5 ? m ? 3 .---12 分 20. (本题满分 12 分)

? y ? kx ? m, ? 2 2 2 联立 ? x 2 y 2 得 (3 ? 4k ) x ? 8mkx ? 4(m ? 3) ? 0 ,则----5 分 ?1 ? ? 3 ?4

? ?? ? 64m 2 k 2 ? 16(3 ? 4k 2 )(m 2 ? 3) ? 0,即3 ? 4k 2 ? m 2 ? 0, ? 8mk ? ? x1 ? x2 ? ? 3 ? 4k 2 ? ? 4(m 2 ? 3) ? x1 x2 ? 3 ? 4k 2 ? -----8 分
又 y1 y2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? k x1 x2 ? mk ( x1 ? x2 ) ? m ?
2 2

3(m2 ? 4k 2 ) 3 ? 4k 2

因为以 AB 为直径的圆过椭圆的右顶点 D(2, , 0)

解得: m1 ? ?2k,m2 ? ?

2k ,且均满足 3 ? 4k 2 ? m2 ? 0 ------9 分 7

当 m1 ? ?2k 时, l 的方程 y ? k ( x ? 2) ,直线过点 (2, ,与已知矛盾; 0)

当 m2 ? ?

2? 2k ? ?2 ? 时, l 的方程为 y ? k ? x ? ? ,直线过定点 ? ,? 0 7? 7 ? ?7 ?
?2 ?7 ? ? ------12 分

所以,直线 l 过定点,定点坐标为 ? ,? 0

所以 g ( x) ? 0 ,故 f ?( x) ? 0 所以 f (x) 在 (0, ??) 上是减函数.----4 分 (Ⅱ) f ( x) ? (1 ? a) x ? e ln x ? b ? h( x) ? e ? (a ? 1) x ? b ? 0 --6 分
x x

得 h?( x) ? e ? (a ? 1)
x

①当 a + 1 < 1时, h?( x) ? 0 ? y ? h( x) 在 x ? R 上单调递增

\ h( x) > h(0) = 1- b

0 ,所以 0 < b 1 .此时 (a ? 1)b < 1 .----7 分

综上当 a ?

e ? 1, b ? e 时, (a ? 1)b 的最大值为

e ---12 分 2

22. (本题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 证明: (I)在 ?ABC 中,由 BD ?

知: ?ABD ≌ ?BCE , ??ADB ? ?BEC 即 ?ADC ? ?BEC ? ? . 所以四点 P, D, C, E 共圆;---5 分

1 1 BC , CE ? CA, 3 3

(II)如图,连结 DE .在 ?CDE 中,CD ? 2CE , ?ACD ? 60 ,由正弦定理知 ?CED ? 90 由
? ?

23. (本题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

? 3 t ? x ? ?1 ? ? 2 代入 x 2 ? y 2 ? 4 x ,整理得 t 2 ? 3 3t ? 5 ? 0 ,---6 分 (2)把 ? ?y ? 1 t ? 2 ?

设其两根分别为 t1 , t 2 , 则 t1 ? t 2 ? 3 3 , t1t 2 ? 5 ,---8 分 所以 PQ ? t1 ? t 2 ?

7 .----10 分

? ?不等式的解集为 ? x ? 4 ? x ? ?

2? ? ---5 分 3?

1 ? ?? x ? 2, x ? ? 2 ? 1 ? (1)设 f ( x) ? 2 x ? 1 ? x ? 1 ? ?3 x,? ? x ? 1 ,---7 分 2 ? ? x ? 2, x ? 1 ? ?


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