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排列组合和二项式定理(第16课)小结与复习(1)




题:

小结与复习 (一)

教学目的: 1 使学生掌握两个原理以及排列组合的概念、计算等内容,并能比较熟练 地运用. 2.通过问题形成过程和解决方法的分析,提高学生的分析问题和解决问题 的能力. 3.引导养成学生分析过程、深刻思考、灵活运用的习惯和态度 教学过程: 一、知识点: 1 分类计数原理:做一件事情,完成

它可以有 n 类办法,在第一类办法
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中有 m1 种不同的方法,在第二类办法中有 m2 种不同的方法,??,在第 n 类 办法中有 mn 种不同的方法 那么完成这件事共有 N ? m1 ? m2 ??? mn 种不
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同的方法

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2.分步计数原理:做一件事情,完成它需要分成 n 个步骤,做第一步有 m1 种不同的方法,做第二步有 m2 种不同的方法,??,做第 n 步有 mn 种不同的 方法,那么完成这件事有 N ? m1 ? m2 ??? mn 种不同的方法
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3.排列的概念:从 n 个不同元素中,任取 m ( m ? n )个元素(这里的被 取元素各不相同)按照一定的顺序排成一列,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个 ..... 元素的一个排列 .... 4.排列数的定义:从 n 个不同元素中,任取 m ( m ? n )个元素的所有排
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m 列的个数叫做从 n 个元素中取出 m 元素的排列数,用符号 An 表示

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m 5.排列数公式: An ? n(n ?1)(n ? 2)?(n ? m ? 1) ( m, n ? N , m ? n )

?

6 阶乘: n ! 表示正整数 1 到 n 的连乘积,叫做 n 的阶乘 规定 0! ? 1 .
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m 7.排列数的另一个计算公式: An =

n! (n ? m)!

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8 组合的概念:一般地,从 n 个不同元素中取出 m ? m ? n? 个元素并成一
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组,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合

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9.组合数的概念:从 n 个不同元素中取出 m ? m ? n? 个元素的所有组合的

m 个数,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数.用符号 C n 表示. ...

m 10.组合数公式: Cn ?

Anm n(n ? 1)(n ? 2)?(n ? m ? 1) ? m Am m!

或 C n?
m

n! (n, m ? N ? , 且m ? n) m!(n ? m)!

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m n 0 11 组合数的性质 1: Cn ? Cn ?m .规定: Cn ? 1 ;
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m m m 12.组合数的性质 2: Cn?1 = C n + Cn ?1

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二、解题思路: 解排列组合问题,首先要弄清一件事是“分类”还是“分步”完成,对于 元素之间的关系,还要考虑“是有序”的还是“无序的” ,也就是会正确使用分 类计数原理和分步计数原理、排列定义和组合定义,其次,对一些复杂的带有 附加条件的问题,需掌握以下几种常用的解题方法: 特殊优先法 对于存在特殊元素或者特殊位置的排列组合问题,我们可以从 这些特殊的东西入手,先解决特殊元素或特殊位置,再去解决其它元素或位置, 这种解法叫做特殊优先法.例如:用 0、1、2、3、4 这 5 个数字,组成没有重复 数字的三位数,其中偶数共有________个.(答案:30 个) 科学分类法 对于较复杂的排列组合问题,由于情况繁多,因此要对各种不 同情况,进行科学分类,以便有条不紊地进行解答,避免重复或遗漏现象发生 例如:从 6 台原装计算机和 5 台组装计算机中任取 5 台,其中至少有原装与组 装计算机各两台,则不同的选取法有_______种.(答案:350) 插空法 解决一些不相邻问题时,可以先排一些元素然后插入其余元素,使 问题得以解决 例如:7 人站成一行,如果甲乙两人不相邻,则不同排法种数是 ______.(答案:3600) 捆绑法 相邻元素的排列,可以采用“整体到局部”的排法,即将相邻的元 素当成“一个”元素进行排列,然后再局部排列 例如:6 名同学坐成一排,其 中甲、乙必须坐在一起的不同坐法是________种.(答案:240) 排除法 从总体中排除不符合条件的方法数,这是一种间接解题的方法. b、排列组合应用题往往和代数、三角、立体几何、平面解析几何的某些知识联 系,从而增加了问题的综合性,解答这类应用题时,要注意使用相关知识对答 案进行取舍.例如:从集合{0,1,2,3,5,7,11}中任取 3 个元素分别作为直 线方程 Ax+By+C=0 中的 A、B、C,所得的经过坐标原点的直线有_________条. (答案:30) 三、讲解范例: 例 1 由数字1、2、3、4、5、6、7组成无重复数字的七位数
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(1)求三个偶数必相邻的七位数的个数; (2)求三个偶数互不相邻的七位数的个数 解 (1):因为三个偶数2、4、6必须相邻,所以要得到一个符合条件的七 位数可以分为如下三步:
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第一步将1、3、5、7四个数字排好有 P44 种不同的排法; 第二步将2、4、6三个数字“捆绑”在一起有 P33 种不同的“捆绑” 方法; 第三步将第二步“捆绑”的这个整体“插入”到第一步所排的四个不同 数字的五个“间隙”(包括两端的两个位置)中的其中一个位置上,有 P51 种不 同的“插入”方法
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根据乘法原理共有 P44 ? P33 ? P51 =720 种不同的排法 所以共有 720 个符
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合条件的七位数 解(2) :因为三个偶数2、4、6 互不相邻,所以要得到符合条件的 七位数可以分为如下两步:
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第一步将1、3、5、7四个数字排好,有 P44 种不同的排法; 第二步将2、4、6分别“插入”到第一步排的四个数字的五个“间隙” (包括两端的两个位置)中的三个位置上,有 P53 种“插入”方法
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根据乘法原理共有 P44 ? P53 =1440 种不同的排法 所以共有 1440 个符合 条件的七位数 例2 将A、B、C、D、E、F分成三组,共有多少种不同的分法? 解:要将A、B、C、D、E、F分成三组,可以分为三类办法: (1-1-4)分法、 (1-2-3)分法、 (2-2-2)分法 下面分别计算每一类的方法数: 第一类(1-1-4)分法,这是一类整体不等分局部等分的问题,可 以采用两种解法 解法一:从六个元素中取出四个不同的元素构成一个组,余下的两个元
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4 素各作为一个组,有 C 6 种不同的分法

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1 解法二:从六个元素中先取出一个元素作为一个组有 C6 种选法,再从
1 余下的五个元素中取出一个元素作为一个组有 C5 种选法, 最后余下的四个

元素自然作为一个组, 由于第一步和第二步各选取出一个元素分别作为一个 组有先后之分,产生了重复计算,应除以 P2 所以共有
2
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C ?C P22
1 6

1 5

=15 种不同的分组方法

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第二类(1-2-3)分法,这是一类整体和局部均不等分的问题,首
1 先从六个不同的元素中选取出一个元素作为一个组有 C6 种不同的选法, 再 2 从余下的五个不同元素中选取出两个不同的元素作为一个组有 C5 种不同

的选法,余下的最后三个元素自然作为一个组,根据乘法原理共有 C6 ? C5
1

2

=60 种不同的分组方法

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第三类(2-2-2)分法,这是一类整体“等分”的问题,首先从六
2 个不同元素中选取出两个不同元素作为一个组有 C 6 种不同的取法, 再从余
2 下的四个元素中取出两个不同的元素作为一个组有 C 4 种不同的取法,最后 余下的两个元素自然作为一个组 由于三组等分存在先后 选取的不同的顺
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2 C 62 ? C 4 序,所以应除以 P ,因此共有 =15 种不同的分组方法 P33

3 3

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根据加法原理,将A、B、C、D、E、F六个元素分成三组共有:15 +60+15=90 种不同的方法 例3 一排九个坐位有六个人坐,若每个空位两边都坐有人,共有多少种不 同的坐法? 解:九个坐位六个人坐,空了三个坐位,每个空位两边都有人,等价于三个
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空位互不相邻,可以看做将六个人先依次坐好有 P66 种不同的坐法,再将三 个空坐位“插入”到坐好的六个人之间的五个“间隙” (不包括两端)之中
3 的三个不同的位置上有 C5 种不同的“插入”方法
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根据乘法原理共有 P ? C
6 6

3 5

=7200 种不同的坐法

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四、课堂练习: 1.从{1、2、3、4、?、20}中任选 3 个不同的数,使这三个数成等差数列,这 样的等差数列最多有( ) 90 个 (B)180 个 (C)200 个 (D)120 个 2.男女学生共有 8 人,从男生中选取 2 人,且从女生中选取 1 人,共有 30 种 不同的选法,其中女生有( ) 2 人或 3 人 (B)3 人或 4 人 (C)3 人 (D)4 人 3.从编号分别为 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11 的 11 个球中,取出 5 个 小球,使这 5 个小球的编号之和为奇数,其方法总数为( ) (A)200 (B)230 (C)236 (D)206 4.兰州某车队有装有 A,B,C,D,E,F 六种货物的卡车各一辆,把这些货物运 到西安, 要求装 A 种货物, 种货物与 E 种货物的车, B 到达西安的顺序必须是 A, B,E(可以不相邻,且先发的车先到) ,则这六辆车发车的顺序有几种不同的方 案( ) (A)80 (B)120 (C)240 (D)360 5.用 0,1,2,3,4 这五个数字组成无重复数字的五位数,其中恰有一个偶数 夹在两个奇数之间的五位数的个数是( ) (A)48 (B)36 (C)28 (D)12 6.某药品研究所研制了 5 种消炎药 a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , 4 种退烧药 b1 , b2 , b3 , b4 , 现 从中取出两种消炎药和一种退烧药同时使用进行疗效实验,但又知 a1 , a2 , 两种 药必须同时使用,且 a3 ,b4 两种药不能同时使用,则不同的实验方案有( ) (A)27 种 (B)26 种 (C)16 种 (D)14 种 7.某池塘有 A,B,C 三只小船,A 船可乘 3 人,B 船可乘 2 人,C 船可乘 1 人, 今天 3 个成人和 2 个儿童分乘这些船只,为安全起见,儿童必须由成人陪同方 能乘船,他们分乘这些船只的方法共有( ) 120 种 (B)81 种 (C)72 种 (D)27 种 8.梯形的两条对角线把梯形分成四部分,有五种不同的颜色给这四部分涂色,

每一部分涂一种颜色,任何相邻(具有公共边)的两部分涂不同的颜 色,则不同的涂色方法有( ) 180 种 (B)240 种 (C)260 种 (D)320 种 9.将 1,2,3,4,5,6,7,8,9 这九个数排成三横三纵的方阵, 要求每一竖列的三个数从前到后都是由从小到大排列,则不同的排法种数是__ 10.10 个相同的小球放入编号为 1,2,3 的三个盒子内,要求每个盒子的球数 不小于它的编号数,则不同的放法共有 ______ 种, C1 D1 11.过正方体的每三个顶点都可确定一个平面,其中能与这个正方体 A1 的 12 条棱所成的角都相等的不同平面的个数为 _______ 个 B1 12.从单词 “equation” 中选取 5 个不同的字母排成一排, 含有 “qu” D C (其中“qu”相连且顺序不变)的不同的排列共有( ) A B 120 个 (B)480 个 (C)720 个 (D)840 个 13.将 5 枚相同的纪念邮票和 8 张相同的明信片作为礼品送给甲、乙两名学生, 全部分完且每人至少有一件礼品,不同的分法是( ) (A)52 (B)40 (C)38 (D)11 参 考 答 案 : 1.(B). 2.(A). 3.(C). 4.(B). 5.(C). 6.(D). 7.(D). 8.(C). 9.1680. 10.15. 11.8. 12.(B). 13.(A) 五、小结 :
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m ⑴m个不同的元素必须相邻,有 Pm 种“捆绑”方法

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⑵m个不同元素互不相邻,分别“插入”到n个“间隙”中的m个位置 有 Pnm 种不同的“插入”方法
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⑶m个相同的元素互不相邻,分别“插入”到n个“间隙”中的m个位
m 置,有 C n 种不同的“插入”方法
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⑷若干个不同的元素“等分”为 m个组,要将选取出每一个组的组合数
m 的乘积除以 Pm
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六、课后作业: 1. ①有 1 元、 元、 元、 元、 2 5 50 100 元的人民币各一张,取其中的一张或几张, 能组成多少种不同的币值? ②7 个电阻串联在一起连成一串,中间只要有一个坏了,这串电阻就失效, 因电阻损坏而失效的可能性种数是多少?
1 2 6 解: ① C6 ? C6 ? ? ? C6 ? 2 6 ? 1 ? 63 种

② 仿照①,共有 127 种. 2 在 (2 x ? 3 y)10 的展开式中,求:①二项式系数的和; ②各项系数的和; ③奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和; 项系数和; ⑤ x 的奇次项系数和与 x 的偶次项系数和. ④奇数项系数和与偶数

r 分析:因为二项式系数特指组合数 C n ,故在①,③中只需求组合数的和,而

与二项式 2 x ? 3 y 中的系数无关. 解:设 (2x ? 3 y)10 ? a0 x10 ? a1 x 9 y ? a2 x 8 y 2 ? ? ? a10 y10 (*), 各项系数和即为 a 0 ? a1 ? ? ? a10 ,奇数项系数和为 a0 ? a2 ? ? ? a10 ,偶数项 系数和为 a1 ? a3 ? a5 ? ? ? a9 , x 的奇次项系数和为 a1 ? a3 ? a5 ? ? ? a9 , x 的偶次项系数和 a0 ? a 2 ? a 4 ? ? ? a10 . 由于(*)是恒等式,故可用“赋值法”求出相关的系数和.
0 1 10 ①二项式系数和为 C10 ? C10 ? ? ? C10 ? 210 .

②令 x ? y ? 1 ,各项系数和为 (2 ? 3)10 ? (?1)10 ? 1 .
0 2 10 ③奇数项的二项式系数和为 C10 ? C10 ? ? ? C10 ? 2 9 , 1 3 9 偶数项的二项式系数和为 C10 ? C10 ? ? ? C10 ? 2 9 .

④设 (2x ? 3 y)10 ? a0 x10 ? a1 x 9 y ? a2 x 8 y 2 ? ? ? a10 y10 , 令 x ? y ? 1 ,得到 a0 ? a1 ? a 2 ? ? ? a10 ? 1 ?(1), 令 x ? 1 , y ? ?1 (或 x ? ?1 , y ? 1 )得 a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a10 ? 510 ?(2) (1)+(2)得 2(a0 ? a2 ? ? ? a10 ) ? 1 ? 510 , ∴奇数项的系数和为 1 ? 5 ;
10

2

(1)-(2)得 2(a1 ? a3 ? ? ? a9 ) ? 1 ? 510 , ∴偶数项的系数和为 1 ? 5 .
10

2

⑤ x 的奇次项系数和为 a1 ? a3 ? a5 ? ? ? a9 ? 1 ? 5 ;
10

2

10 x 的偶次项系数和为 a 0 ? a 2 ? a 4 ? ? ? a10 ? 1 ? 5 .

2

点评:要把“二项式系数的和”与“各项系数和”,“奇(偶)数项系数和与 奇(偶)次项系数和”严格地区别开来,“赋值法”是求系数和的常规方法之一. 3 已知 (3 x ? x 2 ) 2n 的展开式的系数和比 (3x ? 1) n 的展开式的系数和大 992,求
1 (2 x ? ) 2n 的展开式中:①二项式系数最大的项;②系数的绝对值最大的项. x

解:由题意 2 2n ? 2 n ? 992 ,解得 n ? 5 . ① (2 x ? ) 的展开式中第 6 项的二项式系数最大,
10

1 x

5 即 T6 ? T5?1 ? C10 ? (2x) 5 ? (? ) 5 ? ?8064 .

1 x

②设第 r ? 1项的系数的绝对值最大,
r r 则 Tr ?1 ? C10 ? (2 x)10?r ? (? ) r ? (?1) r ? C10 ? 210?r ? x10?2r
r r r r ?C10 ? 210 ? r ? C10?1 ? 210 ? r ?1 ?C10 ? 2C10?1 ?11 ? r ? 2r ? ? ∴? r ,得 ? r ,即 ? r r ?C10 ? 210 ? r ? C10?1 ? 210 ? r ?1 ?2C10 ? C10?1 ?2(r ? 1) ? 10 ? r ? ?

1 x

∴ 8 ? r ? 11 ,∴ r ? 3 ,故系数的绝对值最大的是第 4 项
3 3

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七、板书设计(略) 八、课后记:
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