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2014新课标2高考预测金卷(数学理)(7194538)


2014 新课标 II 高考预测金卷

理科数学
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.已知集合 A={0,1,2},B={x|x=2a,a∈A},则 A∩ B 中元素的个数为( A.0 B.1 C.2 D .3 ) D.﹣1﹣2i )

2.

已知复数 z 满足 z?i=2﹣i,i 为虚数单位,则 z 的共轭复数 为( A.﹣1+2 i B.l+2i C.2﹣i

3. 由 y=f(x)的图象向左平移 得到 y=2sin A.2sin

个单位,再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍 ) D.2sin

的图象,则 f(x)为( B.2sin C.2sin

4.已知函数 A.9 B.﹣9

,则 C.

的值是( D.



5. 设随机变量 X ~ N (3,1),若 P( X ? 4) ? p , ,则 P(2<X<4)= ( A)

1 ?p 2

( B)l—p

(C)l-2p

(D)

1 ?p 2

6. 6.运行右面框图输出的 S 是 254,则①应为 (A)

n ≤5
(B)

n ≤6

(C) n ≤7 (D)

n ≤8
在点(a,f(a) )处的切线与两条坐标 ) C.16 D.8

7. 若曲线

轴围成的三角形的面积为 18,则 a=( A.64
2

B.32
2

8.已知 A 、B 是圆 O : x ? y ? 1 上的两个点,P 是 AB 线段上的动点, 当 ?AOB 的面积最大时, 则 AO ? AP ? AP 的最大值是(
2


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A. ?1 D.

B. 0

C.

1 8

1 2

9.一个四面体的四个顶点在空间直角坐标系 O ? x yz 中的坐标分别是(0,0,0) , (1,2,0) , (0,2,2) , (3,0,1) ,则该四面体中以 yOz 平面为投影面的正视图的面积为 A. 3 B.

5 2

C. 2

D.

7 2

10. .已知函数 f (n) ? n2 cos(n? ) ,且 an ? f (n) ? f (n ? 1) ,则 a1 ? a2 ? a3 ? A. 0 B. ?100 C. 100 D. 10200

? a100 ?

11.设 x,y 满足约束条件

,若目标函数 z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为

12,则 + 的最小值为( A.4 B.

) C.1 D .2

12.设双曲线



=1(a>0,b>0)的右焦点为 F,过点 F 作与 x 轴垂直的直线 l 交两

渐近线于 A、B 两点,且与双曲线在第一象限的交点为 P,设 O 为坐标原点,若 (λ,μ∈R) ,λμ= A. ,则该双曲线的离心率为( B. C. ) D.





二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题卡的相应位置. 13.某棉纺厂为了了解一批棉花的质量,从中随机抽取了 100 根棉花纤维的长度(棉花纤 维的长度是棉花质量的重要指标) ,所得数据都在区间[5,40]中,其频率分布直方图如图所 示. 从抽样的 100 根棉花纤维中任意抽取一根, 则其棉花纤维的长度小于 20mm 的概率为 .

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14.已知

1 ? cos 2? 1 ? 1 , tan(? ? ? ) ? ? ,则 tan( ? ? 2? ) 的值为 sin ? cos ? 3



15.函数 y ? x ?

4 ( x ? ?3) 的最小值是 x?3



16.已知函数 f(x)=x3+x,对任意的 m∈[-2,2],f(mx-2)+f(x)<0 恒成立,则 x 的取值范围为 ________. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答 写在答题卡上的指定区域内. 17.已知函数 f ( x) ? 2 sin x cos x ? 2 3 cos2 x ? 3 , x ? R . (Ⅰ)求函数 y ? f (?3x) ? 1 的最小正周期和单调递减区间; (Ⅱ)已知 ?ABC 中的三个内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,若锐角 A 满足

f(

A ? 13 3 ? ) ? 3 ,且 a ? 7 , sin B ? sin C ? ,求 ?ABC 的面积. 2 6 14

18.随机询问某大学 40 名不同性别的大学生在购买食物时是否读营养说明,得到如下列联表: 性别与读营养说明列联表 男 读营养说明 不读营养说明 总计 16 4 20 女 8 12 20 总计 24 16 40

⑴根据以上列联表进行独立性检验,能否在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为性别与是 否读营养说明之间有关系? ⑵从被询问的 16 名不读营养说明的大学生中,随机抽取 2 名学生,求抽到男生人数 ? 的分布 列及其均值(即数学期望) .

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K2 ?
(注:

n(ad ? bc) 2 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d ) ,其中 n ? a ? b ? c ? d 为样本容量. )

19.已知正四棱柱 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, AB ? 2, AA 1 ? 4. (Ⅰ)求证: BD ? AC 1 ; (Ⅱ)求二面角 A ? AC 1 ?D 1 的余弦值;

? 平面 PBD ,若存在,求出 (Ⅲ)在线段 CC1 上是否存在点 P ,使得平面 ACD 1 1
若不存在,请说明理由.

CP 的值; PC1

2 2 20.已知动圆 P 与圆 F 且与圆 F2 : ( x ? 3)2 ? y 2 ? 1相内切, 记圆心 P 1 : ( x ? 3) ? y ? 81 相切,

的轨迹为曲线 C ;设 Q 为曲线 C 上的一个不在 x 轴上的动点,O 为坐标原点,过点 F2 作 OQ 的平行线交曲线 C 于 M , N 两个不同的点. (Ⅰ)求曲线 C 的方程; (Ⅱ)试探究 | MN | 和 | OQ | 的比值能否为一个常数?若能,求出这个常数,若不能,请说 明理由; (Ⅲ)记 ?QF2 M 的面积为 S1 , ?OF2 N 的面积为 S2 ,令 S ? S1 ? S2 ,求 S 的最大值. 21.已知 t ? 0 ,函数 f ( x) ?
2

x ?t . x ? 3t

(1) t ? 1 时,写出 f ( x ) 的增区间;
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(2)记 f ( x ) 在区间[0,6]上的最大值为 g (t ) ,求 g (t ) 的表达式; (3)是否存在 t ,使函数 y ? f ( x) 在区间(0,6)内的图象上存在两点,在该两点处的切线互相 垂直?若存在,求 t 的取值范围;若不存在,请说明理由.

请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.作答时请写 清题号. 22.选修 4﹣1:几何证明选讲 如图,AB 是⊙ O 的直径,AC 是弦,直线 CE 和⊙ O 切于点 C,AD 丄 CE,垂足为 D. (I) 求证:AC 平分∠ BAD; (II) 若 AB=4AD,求∠ BAD 的大小.

23.选修 4﹣4:坐标系与参数方程 将圆 x +y =4 上各点的纵坐标压缩至原来的 ,所得曲线记作 C;将直线 3x﹣2y﹣8=0 绕原点 逆时针旋转 90°所得直线记作 l. (I)求直线 l 与曲线 C 的方程; (II)求 C 上的点到直线 l 的最大距离. 24. 选修 4﹣5:不等式选讲 设函数,f(x)=|x﹣1|+|x﹣2|. (I)求证 f(x)≥1; (II)若 f(x)= 成立,求 x 的取值范围.
2 2

2014 新课标 II 高考预测金卷

理科数学参考答案
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1. 【gkstk 答案】A. 【gkstk 解析】由 A={0,1,2},B={x|x=2a,a∈A}={0,2,4}, 所以 A∩ B={0,1,2}∩ {0,2,4}={0,2}. 所以 A∩ B 中元素的个数为 2. 故选 C. 2. 【gkstk 答案】A. 【gkstk 解析】由 z?i=2﹣i,得 ,

∴ 故选:A.



3. 【gkstk 答案】B. 【gkstk 解析】由题意可得 y=2sin 得函数 y=2sin(6x﹣ 再把函数 y=2sin(6x﹣ )]=2sin(6x﹣2π﹣ 故选 B. )的图象. )的图象向右平移 )=2sin 个单位,即可得到 f(x)=2sin[6(x﹣ 的图象, )﹣ 的图象上各个点的横坐标变为原来的 ,可

4. 【gkstk 答案】C. 【gkstk 解析】 故选 C. 5. 【gkstk 答案】C. 【gkstk 解析】因为 P( X ? 4) ? P( X ? 2) ? p , 所以 P(2<X<4)= 1 ? P( X ? 4) ? P( X ? 2) ? 1 ? 2 p ,选 C. 6. 【gkstk 答案】C. 【gkstk 解析】本程序计算的是 =f(log2 )=f(log22 2)=f(﹣2)=3 2= ,
﹣ ﹣

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S ? 2 ? 22 ?

? 2n ?

2(1 ? 2n ) ? 2n?1 ? 2 ,由 2n?1 ? 2 ? 254 ,得 2n?1 ? 256 ,解得 n ? 7 。 1? 2

此时 n ? 1 ? 8 ,不满足条件,输出,所以①应为 n ? 7 ,选 C. 7. 【gkstk 答案】A. 【gkstk 解析】∵ ∴ f'(x)= , , (x>0) ,

∴ 在点(a,f(a) )处的切线斜率 k=f'(a)=

(a>0) .

且 f(a)=

, = (x﹣a) ,

∴ 切线方程为 y﹣

令 x=0,则 y=



令 y=0,则 x=3a,即切线与坐标轴的交点坐标为(0,

) , (3a,0) ,

∴ 三角形的面积为



即 ∴ a=64.



故选:A. 8. 【gkstk 答案】C 【gkstk 解析】

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9. 【gkstk 答案】A 【gkstk 解析】设 O(0,0,0) ,A(0,2,0) ,B(0,2,2) ,C(0,0,1) ,易知该四面体 中以 yOz 平面为投影面的正视图为直角梯形 OABC,其中 OA=1,AB=2,OA=2,所以 S=3. 10. 【gkstk 答案】B 【gkstk 解析】因为 f (n) ? n2 cos(n? ) ,所以

a1 ? a2 ? a3 ?
f (1) ? f (2) ?

? a100 ? [ f (1) ? f (2) ?

? f (100)] ?[ f (2) ?

? f (101)]

? f (100) ? ?12 ? 22 ? 32 ? 42 ?

? 992 ? 1002

? (22 ?12 ) ? (42 ? 32 ) ?
f (2) ?

(1002 ? 992 ) ? 3 ? 7 ?

? 199 ?

50(3 ? 199) ? 5050 , 2

? f (101) ? 22 ? 32 ? 42 ?

? 992 ? 1002 ? 1012

=(22 ? 32) ? (42 ? 52) +


? ?5 ? 9 ? ? ( 1002 ? 1012)

? 201 ?

50(?5 ? 201) ? ?5150 ,所 2

a1 ? a2 ? a3 ?

? a100 ?

[ f (1) ? f (2) ?

? f (100)] ? [ f (2) ?

? f (101)]

? ?5150 ? 5050 ? ?100 ,选 B.
11. 【gkstk 答案】A.

【gkstk 解析】作出不等式组

表示的平面区域,

得到如图的四边形 OABC 及其内部,其中
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A(2,0) ,B(4,6) ,C(0,2) ,O 为坐标原点 设 z=F(x,y)=ax+by(a>0,b>0) ,将直线 l:z=ax+by 进行平移, 观察 y 轴上的截距变化,可得当 l 经过点 B 时,目标函数 z 达到最大值 ∴ z 最大值=F(4,6)=12,即 4a+6b=12. 因此, + =( + )× ∵ a>0,b>0,可得 ∴ 当且仅当 (4a+6b)=2+ ( ≥ =12, 的最小值为 12, ) ,

即 2a=3b=3 时,

相应地, + =2+ ( 故选:A

)有最小值为 4.

12. 【gkstk 答案】C. 【gkstk 解析】双曲线的渐近线为:y=± x,设焦点 F(c,0) ,则 A(c, P(c, ∵ ) , ,∴ (c, )=( (λ+μ)c, (λ﹣μ) ,μ= , ) , ) ,B(c,﹣ ) ,

∴ λ+μ=1,λ﹣μ= ,解得 λ=

又由 λμ=



=

,解得

= ,

∴ e= = 故选 C. 13. 【gkstk 答案】 【gkstk 解析】根据题意,棉花纤维的长度小于 20mm 的有三组, [5,10)这一组的频率为 5× 0.01=0.05,有 100× 0.05=5 根棉花纤维在这一组,
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[10,15)这一组的频率为 5× 0.01=0.05,有 100× 0.05=5 根棉花纤维在这一组, [15,20)这一组的频率为 5× 0.04=0.2,有 100× 0.2=20 根棉花纤维在这一组, 则长度小于 20mm 的有 5+5+20=30 根, 则从抽样的 100 根棉花纤维中任意抽取一根,其长度小于 20mm 的概率为 故答案为 . = ;

14. 【gkstk 答案】. ?1 【gkstk 解析】由

1 1 ? (1 ? 2sin 2 ? ) 2sin 2 ? 1 ? cos 2? ?? ? 2tan ? ? 1 ,所以 tan ? ? 。 ?1 得 sin ? cos ? sin ? cos? sin ? cos? 2

所以 tan(b - 2a ) = tan[(b - a ) - a ] =

tan(b - a ) - tan a 1 + tan(b - a ) tan a

1 1 3 2 = - 1。 = 1 1 1 + (- ) ( ) 3 2 15. 【gkstk 答案】1. 【gkstk 解析】 y ? x ?

4 4 ? ? x ? 3? ? ?3? 2 x?3 x?3

? x ? 3? ?

4 ? 3 ? 1 ,当且仅当 x?3

16. 【gkstk 答案】 ? ?2, ? . 【gkstk 解析】∵f′(x)=3x +1>0 恒成立, ∴f(x)在 R 上是增函数. 又 f(-x)=-f(x),∴y=f(x)为奇函数. 由 f(mx-2)+f(x)<0 得 f(mx-2)<-f(x)=f(-x), ∴mx-2<-x,即 mx-2+x<0 在 m∈[-2,2]上恒成立. 记 g(m)=xm-2+x,
2

? ?

2? 3?

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17. 【gkstk 解析】(Ⅰ)

f ( x) ? 2sin x cos x ? 3(2cos2 x ?1)

? sin 2 x ? 3 cos 2 x ? 2sin(2 x ? ) ………………………………………………………2 分 3 ) ? 1 ? ?2sin(6 x ? ) ? 1 3 3 2? ? ? ………………………………………3 分 ? y ? f (?3x) ? 1 的最小正周期为 T ? 6 3 ? ? ? 1 ? 1 5? ? x ? k? ? 由 2k? ? ? 6 x ? ? 2k? ? 得: k? ? ,k ?Z , 2 3 2 3 36 3 36 1 ? 1 5? ? y ? f (?3x) ? 1 的单调递减区间是 [ k? ? , k? ? ] , k ? Z ………………6 分 3 36 3 36
(Ⅱ)∵ f ( ∵0 ? A ?

?

? y ? f (?3x) ? 1 ? 2sin(?6 x ?

?

?

A ? ? ? 3 ? ) ? 3 ,∴ 2sin( A ? ? ) ? 3 ,∴ sin A ? ………………7 分 2 6 3 3 2
,∴ A ?

?
2

?
3

.由正弦定理得: sin B ? sin C ?

b?c sin A , a



13 3 b ? c 3 ,∴ b ? c ? 13 ……………………………………………………9 分 ? ? 14 7 2

2 2 2 由余弦定理 a ? b ? c ? 2bc cos A 得: a2 ? (b ? c)2 ? 2bc ? 2bc cos A ,

即 49 ? 169 ? 3bc ,∴ bc ? 40 ∴ S?ABC ?

………………………………………………………11 分 …………………………………………12 分

1 1 3 bc sin A ? ? 40 ? ? 10 3 2 2 2

k?
18. 【gkstk 解析】⑴由表中数据,得 式 2 分,计算 1 分,比较 1 分) ,

40 ? (16 ? 12 ? 8 ? 4) 2 ? 6.67 ? 6.635 24 ? 16 ? 20 ? 20 ……4 分(列

因此,能在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下,认为性别与读营养说明有关……5 分 ⑵ ? 的取值为 0,1,2……6 分

P(? ? 0) ?

2 1 1 2 C12 C12 ? C4 C4 11 2 1 ? P ( ? ? 1 ) ? ? P ( ? ? 2 ) ? ? 2 2 2 5, C16 20 , C16 C16 20 ……12 分

?

0

1

2

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? 的分布列为

P

11 20

2 5

1 20

……13 分

? 的均值为

E? ? 0 ?

11 2 1 1 ? 1? ? 2 ? ? 20 5 20 2 ……14 分.gkstk

19. 【gkstk 解析】证明:(Ⅰ)因为 ABCD ? A 1B 1C1D 1 为正四棱柱, 所以 AA1 ? 平面 ABCD ,且 ABCD 为正方形. 因为 BD ? 平面 ABCD , 所以 BD ? AA1 , BD ? AC . 因为 AA1 ………2 分 ………1 分

AC ? A ,
………3 分

所以 BD ? 平面 A 1 AC . 因为 AC ? 平面 A1 AC , 1 所以 BD ? AC 1 . (Ⅱ) 如图,以 D 为原点建立空间直角坐标系 D ? xyz .则

………4 分

D(0,0,0), A(2,0,0), B(2,2,0), C(0,2,0), A1(2,0,4), B1 (2,2,4), C1 (0, 2, 4), D1 (0,0, 4)
………5 分

所以 D1 A1 ? (2,0,0), D1C ? (0,2, ?4) . 设平面 A1D1C 的法向量 n ? ( x1 , y1 , z1 ) .

uuuu r

uuur

uuuu r ? ? x1 ? 0, ?n ? D1 A1 ? 0, 所以 ? uuur .即 ? ……6 分 2 y1 ? 4 z1 ? 0 ? n ? D C ? 0 ? ? 1
令 z1 ? 1,则 y1 ? 2 . 所以 n ? (0, 2,1) . 由 ( Ⅰ ) 可 知 平 面 AA1C 的 法 向 量 为

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uuu r DB ? (2,2,0) .
所以 cos ? DB, n ??

……7 分

uuu r

4 10 . ? 5 5 ?2 2

……8 分

因为二面角 A ? AC 1 ?D 1 为钝二面角, 所以二面角 A ? AC 1 ?D 1 的余弦值为 ?

10 . 5

………9 分

(Ⅲ)设 P( x2 , y2 , z2 ) 为线段 CC1 上一点,且 CP ? ? PC1 (0 ? ? ? 1) . 因为 CP ? ( x2 , y2 ? 2, z2 ), PC1 ? (? x2 , 2 ? y2 , 4 ? z2 ) . 所以 ( x2 , y2 ? 2, z2 ) ? ? (? x2 , 2 ? y2 , 4 ? z2 ) . 即 x2 ? 0, y2 ? 2, z2 ? 所以 P(0, 2, ………10 分

uur

uuu r

uur

uuu r

4? ). 1? ?

4? . 1? ?
………11 分

设平面 PBD 的法向量 m ? ( x3 , y3 , z3 ) . 因为 DP ? (0, 2,

uuu r

r 4? uuu ), DB ? (2, 2, 0) , 1? ?

uuu r 4? ? ? m ? DP ? 0, z3 ? 0, ? ?2 y3 ? 所以 ? .即 ? . 1? ? uuu r ? ? ?m ? DB ? 0 ?2 x3 ? 2 y3 ? 0
令 y3 ? 1 ,则 x3 ? ?1, z3 ? ? 所以 m ? (?1,1, ?

………12 分

1? ? ). 2?

1? ? . 2?
………13 分

? 平面 PBD ,则 m ? n ? 0 . 若平面 ACD 1 1
即2?

1? ? 1 ? 0 ,解得 ? ? . 2? 3

所以当

CP 1 ? 平面 PBD . ? 时,平面 ACD 1 1 PC1 3

………14 分

20. 【gkstk 解析】(I)设圆心 P 的坐标为 ( x, y ) ,半径为 R

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2 2 2 2 由于动圆 P 与圆 F 1 : ( x ? 3) ? y ? 81 相切,且与圆 F 2 : ( x ? 3) ? y ? 1 相内切,所以动 2 2 圆 P 与圆 F 1 : ( x ? 3) ? y ? 81 只能内切

?| PF |? 9 ? R ?| PF1 | ? | PF2 |? 8 ?| F1F2 |? 6 ………………………………………2 分 ?? 1 ?| PF2 |? R ? 1
? 圆心 P 的轨迹为以 F1 , F2 为焦点的椭圆,其中 2a ? 8, 2c ? 6 ,

?a ? 4, c ? 3, b2 ? a2 ? c2 ? 7
故圆心 P 的轨迹 C :

x2 y 2 ? ? 1 …………………………………………………………4 分 16 7

(II)设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ), Q( x3 , y3 ) ,直线 OQ : x ? my ,则直线 MN : x ? my ? 3

? 2 ? 2 112m 2 112m 2 x ? my ? x ? x ? ? ? ? 3 7m 2 ? 16 ? 7 m 2 ? 16 , ? ? 由 ? x2 y 2 可得: ? ? ?1 ? y 2 ? 112 ? y 2 ? 112 ? ? ?16 7 2 ? ? 3 7m 2 ? 16 7 m ? 16 ? ?
? | OQ |2 ? x32 ? y32 ? 112m2 112 112(m2 ? 1) ? ? ……………………………6 分 7m2 ? 16 7m2 ? 16 7m2 ? 16

? x ? my ? 3 ? 2 2 由 ? x2 y 2 可得: (7m ? 16) y ? 42my ? 49 ? 0 ?1 ? ? ?16 7
? y1 ? y2 ? ? 42m 49 , y1 y2 ? ? 2 7m ? 16 7 m 2 ? 16

2 2 2 2 ? | MN |? ( x2 ? x1 ) ? ( y2 ? y1 ) ? [(my2 ? 3) ? (my1 ? 3)] ? ( y2 ? y1 )

? m 2 ? 1 | y2 ? y1 | ? m2 ? 1 ( y1 ? y2 ) 2 ? 4 y1 y2

? m2 ? 1 ( ?

42m 2 49 56(m2 ? 1) ) ? 4( ? ) ? ………………………………8 分 7m2 ? 16 7m2 ? 16 7m2 ? 16

56(m2 ? 1) 2 | MN | 16 ? 1 ? 7m ? ? 2 2 | OQ | 112(m ? 1) 2 7m2 ? 16
1 ? | MN | 和 | OQ |2 的比值为一个常数,这个常数为 ……………………………………9 分 2
(III)

MN / /OQ ,? ?QF2 M 的面积 ? ?OF2 M 的面积,? S ? S1 ? S2 ? S?OMN
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O 到直线 MN : x ? my ? 3 的距离 d ?

3 m2 ? 1

?S ?

1 1 56(m2 ? 1) 3 84 m2 ? 1 …………………………11 分 | MN | ?d ? ? ? ? 2 2 2 7m2 ? 16 m2 ? 1 7m ? 16
2

令 m ?1 ? t ,则 m2 ? t 2 ? 1 (t ? 1)

S?

84t 84t 84 ? 2 ? 7(t ? 1) ? 16 7t ? 9 7t ? 9 t
2

9 9 3 9 14 7t ? ? 2 7t ? ? 6 7 (当且仅当 7t ? ,即 t ? ,亦即 m ? ? 时取等号) t 7 t t 7
?当 m ? ?
14 时, S 取最大值 2 7 ……………………………………………………13 分 7

21. 【gkstk 解析】(1) (??, ?3), (1, ??) ; (2)当 0≤x≤t 时,f(x)=

t?x x?t ;当 x>t 时,f(x)= . x ? 3t x ? 3t

因此,当 x∈(0,t)时,f′(x)=

?4t <0,f(x)在(0,t)上单调递减; ? x ? 3t ?2

当 x∈(t,+∞)时,f′(x)=

4t >0,f(x)在(t,+∞)上单调递增. ? x ? 3t ?2
1 . 3

①若 t≥6,则 f(x)在(0,6)上单调递减,g(t)=f(0)=

②若 0<t<6,则 f(x)在(0,t)上单调递减,在(t,6)上单调递增. 所以 g(t)=mtx{f(0),f(6)}. 而 f(0)-f(6)=

1 6 ? t 2t ? 4 6?t ? ? ,故当 0<t≤2 时,g(t)=f(6)= ; 3 6 ? 3t 6 ? 3t 6 ? 3t

? 6?t , 0 ? t ? 2, ? 1 ? 6 ? 3t 当 2<t<6 时,g(t)=f(0)= .综上所述,g(t)= ? 3 ? 1 , t ? 2. ? ?3
(3)由(1)知,当 t≥6 时,f(x)在(0,6)上单调递减,故不满足要求. 当 0<t<6 时,f(x)在(0,t)上单调递减,在(t,6)上单调递增. 若存在 x1,x2∈(0,6)(x1<x2),使曲线 y=f(x)在(x1,f(x1)),(x2,f(x2))两点处的切线互相 垂直,则 x1∈(0,t),x2∈(t,6),且 f′(x1)·f′(x2)=-1,
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?4t 4t 4t .(*) ? ? ?1 .亦即 x1+3t= 2 2 ? x1 ? 3t ? ? x2 ? 3t ? x2 ? 3t

由 x1∈(0,t),x2∈(t,6)得 x1+3t∈(3t,4t),

4t ? 4t ? ∈? ,1? . x2 ? 3t ? 6 ? 3t ?

故(*)成立等价于集合 T={x|3t<x<4t}与集合 B= ? x

?

4t ? ? x ? 1? 的交集非空.因为 ? 6 ? 3t ?

4t 1 <4t,所以当且仅当 0<3t<1,即 0<t< 时,T∩B≠ ? . 6 ? 3t 3
综上所述, 存在 t 使函数 f(x)在区间(0,6)内的图象上存在两点, 在该两点处的切线互相垂直, 且 t 的取值范围是 ? 0, ? . 22. 【gkstk 解析】证明: (Ⅰ )连接 BC,∵ AB 是圆 O 的直径,∴ ∠ ACB=90°. ∴ ∠ B+∠ CAB=90° ∵ AD⊥ CE,∴ ∠ ACD+∠ DAC=90°, ∵ AC 是弦,且直线 CE 和圆 O 切于点 C, ∴ ∠ ACD=∠ B ∴ ∠ DAC=∠ CAB,即 AC 平分∠ BAD; (Ⅱ )由(Ⅰ )知△ ABC∽ △ ACD,∴ ,由此得 AC2=AB?AD.

? ?

1? 3?

∵ AB=4AD,∴ AC2=4AD?AD?AC=2AD,于是∠ DAC=60°, 故∠ BAD 的大小为 120°.

23. 【gkstk 解析】(Ⅰ )设曲线 C 上任一点为(x,y) ,则(x,2y)在圆 x2+y2=4 上, 于是 x2+(2y)2=4,即 .

直线 3x﹣2y﹣8=0 的极坐标方程为 3ρcosθ﹣2ρsinθ﹣8=0,将其记作 l0, 设直线 l 上任一点为(ρ,θ) ,则点(ρ,θ﹣90°)在 l0 上, 于是 3ρcos(θ﹣90°)﹣2ρsin(θ﹣90°)﹣8=0,即:3ρsinθ+2ρcosθ﹣8=0, 故直线 l 的方程为 2x+3y﹣8=0;

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(Ⅱ )设曲线 C 上任一点为 M(2cosψ,sinψ) , 它到直线 l 的距离为 d= = ,

其中 ψ0 满足:cosψ0= ,sinψ0= . 24. 【gkstk 解析】(Ⅰ )证明:由绝对值不等式得: f(x)=|x﹣1|+|x﹣2|≥|(x﹣1)﹣(x﹣2)|=1 (Ⅱ )∵ = = + ≥ 2, …(5 分)

∴ 要使 f(x)=

成立,需且只需|x﹣1|+|x﹣2|≥2,



,或

,或



解得 x≤ ,或 x≥ . 故 x 的取值范围是(﹣∞, ]∪ [ ,+∞) .…(10 分)

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