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正弦定理教案


正弦定理
容县中学 李学铭
教学目标: (一)知识目标: 正弦定理 (二)能力目标 1、 掌握正弦定理的内容及其推导过程 2、 会运用正弦定理解决两类基本的解三角形问题 (三)德育目标: 通过三角函数、 正弦定理、 向量数量积等知识间联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一 教学重点: 1、 正弦定理的推导过程 2、 正弦定理的初步应用 教学难点: 用正弦定理解三角形时为何会出现一解、二解或无解的情况 教法:讲练结合 教具:多媒体、黑板 教学设计: 一、课题导入 引言:在初中,我们已知学会解直角三角形,也就是根据直角三角形中已知的边与角,运用 三角形内角和定理、 勾股定理、 锐角三角函数来求出未知的边和角。 那么如果是任意三角形, 又该如何解呢? ——提出课题:正弦定理 二、新课讲授 正弦定理:在任一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等。 即:

a b c ? ? ? 2 R (R 为 ?ABC 外接圆半径) sin A sin B sin C
a b ,sinB= , sinC=1 c c

1.直角三角形中:sinA= 即 ∴ c=

a b , c= , sin A sin B

c=

c . sin C

a b c = = sin A sin B sin C

2.斜三角形中 证法一: (外接圆法) 如图所示,∠A=∠D ∴

C

a b
A O B D

a a ? ? CD ? 2 R sin A sin D
b c =2R, =2R sin B sin C

同理

c

即得:

a b c ? ? sin A sin B sin C

证法二: (向量法) 若 ?ABC 是锐角三角形, 过点 A 作 AD ? BC , 垂足为 D, D 在线段 BC 内, AB 与 AD 的

??? ?

????

???? ???? ? ? ?B , AC 与 AD 的夹角为 ?CAD ? ? ?C , 2 2 ??? ? ??? ? ??? ? 由向量的减法法则,得 AB ? AC ? CB
夹角为 ?BAD ?

?

两边同时取与 AD 数量积运算,得 AD ? ( AB ? AC) ? AD ? CB

????

??? ?

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

???? ??? ? ???? ??? ? ???? ??? ? ? AD ? BC ,得 AD ? AB ? AD ? AC) ? 0
???? ??? ? ???? ???? ? ? AD AB cos( ? B) ? AD AC cos( ? C ) ? 0 2 2

???? AD (c sin B ? b sin C ) ? 0 , c sin B ? b sin C
b c ? sin B si C n a b ? 同理: sin A sin B a b c ? ? ? sin A sin B sin C (若 ?ABC 为钝角三角形,同学们自己伪证)
即 说明正弦定理的作用: 正弦定理可以解决三角形中哪类问题: ①已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角,进而求其它的边和角 ②已知两角和一边,求其它角和边 三、例题讲解 例 1、在 ?ABC 中,已知 C ? 45? , A ? 30? , a ? 2 2 ,求 b 、 c 。 解:?

a c ? sin A sin C

? a?s i n C 2 ? 2 sin 45 ? ?4 ? s i nA sin 30 b a ? ? , 且B ? 1 8 ?0? A ? C ? 1 ?0 5 sin B s iA n

?c ?

?b ?

a?s i n B 2 ? 2 s i n ?1 0 5 ? ? 2 3? 2 s i nA s i n?3 0

注:此类型是已知两角和任一边,求其它两边和一角 例 2:已知 a ? 16, b ? 16 3, A ? 30? ,求角 B、C 和边 c 解:由正弦定理

a b ? sin A sin B

b ? sin A 16 3 ? sin 30? 3 ? ? 得 a 16 2 ? ? ? B ? 60 或B ? 120 sin B ?

a c a ? sin C 16 ?1 ? ?c? ? ? 32 1 sin A sin C sin A 2 1 16 ? a c a ? sin C ? ? 2 ? 16 当 B ? 120 时,C=30 , ? ?c? ? 1 sin A sin C sin A 2
当 B ? 60?时,C=90? , 注:此类型是已知两边和其中一边的对角,求其它边和角 变式:在 ?ABC 中,已知 b ? 2, c ? 1, B ? 45? ,求角 A 、 C 和边 a 解:由正弦定理得,

b c ? sin B sin C

?sin C ?

c ? sin A 1? sin 45? 1 ? ? b 2 2

? c ? b,?C ? B ?C ? 30? , A ? 180? ? ( B ? C ) ? 105?
? a c ? sin A sin C c ? sin A 1? sin105? 2? 6 ? ? ? sin C sin 30 2

?a ?

思考:已知两边和其中一边的对角,求其它边和角时,三角形什么情况下有一解、二解或无 解呢?(用多媒体课件展示) 例 3:在 ?ABC 中, a, b, c 为边长, A, B, C 为 a, b, c 所对的角,且 cos A : cos B ? b : a , 试判断 ?ABC 的形状

cos A b ? cos B a a b b sin B ? ? ? 又由正弦定理 sin A sin B a sin A
解:?

?

sin B cos A ? sin A cos B

即 sin A cos A ? sin B cos B

? sin 2 A ? sin 2 B

? 2 A ? 2 B 或 2 A ? 180? ? 2B ,即 A ? B 或 A ? B ? 90? , C ? 90?

? ?ABC 为等腰三角形或直角三角形
四、课堂练习 1 在△ABC 中,
王新敞
奎屯 新疆

A 2R
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a b c ? ? ? k ,则 k 为( )? sin A sin B sin C 1 BR C 4R D R (R 为△ABC 外接圆半径) 2
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2 △ABC 中,sin A=sin B+sin C,则△ABC 为( )? A 直角三角形? B 等腰直角三角形? C 等边三角形 D 等腰三角形 3 在△ABC 中,sinA>sinB 是 A>B 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件
王新敞
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2

2

2

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五、课时小节 通过本节学习,研究了正弦定理的证明方法,同时了解了向量的工具性作用,并且明确 了利用正弦定理所能解决的两类有关三角形问题: 已知两角一边; 已知两边和其中一边的对 角。 六、课后作业 在△ABC 中,已知

sin A sin( A ? B) 2 2 2 ? ,求证:a ,b ,c 成等差数列 sin C sin(B ? C )

王新敞
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