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第17计 化归开门 江山一统


数学破题 36 计

第 17 计

江山一统 化归开门 江山一统

●计名释义 计名释义
整数乘法有口诀:2×3=6,5×7=35.这就是整数乘法的法则.分数乘法无口诀,那么分数 在怎样作乘法呢?

2 3 2×3 6 × = = ,原来是在进行"转化" ,变成了分子分

母上的整数 5 7 5 × 7 35

乘法. 化归思想, 连小学生都在用, 有一老师问学生: 100 个偶数的和为多少?一学生回答: 前 10100. 老师问怎么来的?学生回答:由前 100 个自然数的和来的: 2+4+…+200=2×(1+2+…+100)=2×5050=10100. 这就是数学解题中的"化归法" ,复杂向简单化归,陌生向熟悉化归,未知向已知化归.

●典例示范 典例示范
【例 1】 已知数列{an}中,a1=1,an+1 =2an+1.求数列的通项公式及前 n 项和 Sn. 例 【分析 分析】 这个数列既不是等差数列也不是等比数列,但又看到其中既含等差数列又含等 分析 比数列: 比如把递推式中的常数 1 去掉, 则变成等比数列, 把系数 2 换成 1 则变成等差数列. 为此,破题工作在化归上寻找入口:向等比(等差)数列转换. 【解答 解答】 在递推式 an+1=2an+1 两边加 1,化为(an+1+1)=2(an+1),数列{an+1}为等比数列, 解答 公比 q=2. 所以 an+1=2n-1 (a1+1),即 an=2n-1,且 Sn=2n-n-1. 【插语 插语】 本数列的一般形式为:an+1=kan+b(k≠0,1,b≠0),有人称其为"等差比数列". 插语 等差,等比数列都是它的特例,分别是 k=1,或 b=0 时的特殊情况.用换元法化归为等比数列 的"常数匹配"可用待定系数法求得: 设 an+1+c=k(an+c)=kan+kc an+1=kan+kc-c kc-c=b,c=

b . k 1

对于上题,b=1,k=2,因此解得 c=1. 【点评 点评】 化归开门体现在本题中:把我们不熟悉的"等差比数列"化归到我们熟悉的等 点评 比数列来解.化归采用的办法是换元,实际上是 an+1+c=bn+1=kbn. 说来也很滑稽,对中学生来讲,不向"等比(等差) "化归,还有什么别的出路呢? 2 2 【例 2】 已知三条抛物线 y=x +4ax-4a+3,y=x +(a-1)x+a2,y=x2+2ax-2a 中至少有一条抛 例 物线与 x 轴有交点,求实数 a 的取值范围. 【解答 解答】 解答本题如果从正面入手,将要分有一条抛物线,两条抛物线,三条抛物线与 解答 x 轴有交点的三类七种情况加以讨论,过程十分繁琐.但是如果转化为从反面思考,即考虑三 条抛物线都不与 x 轴相交,则只要解下列不等式组:

1 = 16a 2 + 4(4a 3) < 0, 2 2 2 = (a 1) 4a < 0 2 3 = 4 a + 8a < 0

1 3 2 < a < 2 , 1 解得a > 或a < 1 3 2 < a < 0
3 或a ≥ 1. 2

从而可得

3 < a < 1. 2

所以使得原命题成立的实数 a 的取值范围是 a≤

【点评 点评】 很多的数学问题,如果直接从正面入手求解,难度较大,致使解题思路受阻,但如果 点评 转化为考虑问题的反面,则往往可以将问题轻松解决.数学解题中的反证法,补集法等体现 的就是这种思想. 【例 3】 例

1 1 1 已知 a,b,c 均为正整数,且 a +b +c +48<4a+6b+12c,求 + + a b c
2 2 2

abc

的值.

【解答 解答】 因为原不等式两边均为正整数,所以不等式 a2+b2+c2+48<4a+6b+12c 与不等式 解答 a2+b2+c2+48+1≤4a+6b+12c 等价,这个等价不等式又可化为(a-2)2+(b-3)2+(c-6)2+(c-6)2≤0,

a = 2. 故 b = 3 c = 6
【点评 点评】 点评

1 1 1 于是可得 + + a b c

abc

= 1.

将等式与不等式对应转化,是转化数学问题常用的,有效的手段.

●对应训练
1.空间两条异面直线 a,b 所成的角为

π
3

,过不在 a,b 上的任意一点 P 作一条直线 c,使直线 ( )

c 与直线 a,b 成相等的角θ,则θ的取值范围为 A.θ∈Φ C.θ∈[ B.θ∈{

π
2

} ,

π
3

,

π
2

]

D.θ∈[

π
6

π
2

]

2.过抛物线 y=ax2(a>0)的焦点 F 作一直线交抛物线于 P, 两点, Q 若线段 PF 与 FQ 的长分别 是 p,q,则

1 1 + 等于 p q
B.

(

)

A.2a

1 2a

C.4a

D.

4 a

3.函数 f (x)满足:对任意实数 x,y 都有 f (x)+f (y)= f ( 求证: f ( ) + f (

x+ y ) ,且当 x<0 时,都有 f (x)>0. 1 + xy

1 5

1 1 1 ) ++ f ( 2 ) > f ( ). 11 2 n + 3n + 1

●参考答案
1.解析 若在三维空间考虑该问题, 解析 就显得千头万绪.如右图所示, 过直线 b 上任意一点 A 作直线 a′‖a,a′与 b 确定平面 a, 把点 P 移动到 A 点,问题便转化 为过 A 点作一条直线 c′与直线 a′,b 所成的角均为θ,求θ的取值范围. 易知当直线 c′在平面 a 内时,

第 1 题解图

直线 c′与 a′, 所成的角最小为 b 故选 D . 2.解析 解析

π
6

, c′⊥a 时, 当 直线 c′与 a′, 所成的角最大为 b

π
2

,

一般解法是先求出焦点 F 坐标为(0,

1 ),然后由直线 PQ 的方程与抛物线的方 4a 1 ,很 4a

程联立,求出 p,q 的值,运算过程繁杂,容易出错. 若把一般性的 PQ 的直线方程转化为特殊性的方程,即取 PQ 与 x 轴平行的方程 y=

快就能选出正确答案 C.应当看到相当多的一类选择题与填空题,或者可赋予变量的特殊值, 或者可从符合一般条件的特殊点中求得正确的答案,这种从一般到特殊的转化常常能收到事 半功倍的效果. 3.证明 证明 易证 f (x)为奇函数,且当 x>0 时都有 f (x)<0.先从 f

1 向题设条 入手, 2 n + 3n + 1

件转化:

1 1 1 1 由于 2 = = n +1 n + 2 , n + 3n + 1 (n + 1)(n + 2) 1 1 1 1 n +1 n + 2
故有 f

1 1 1 = f f . 2 n + 3n + 1 n + 1 n+ 2

再整体处理不等式左端数列的和有

1 f + 5

1 f ++ 11 1 1 = f f + 2 3

1 f 2 n + 3n + 1 1 1 f f ++ 3 4

1 f n + 1

1 f n+ 2

1 1 = f f . 2 n + 2
依题意

1 1 1 1 1 > 0 ,恒有 f < 0 ,则 f f > f . n+2 n+ 2 2 n + 2 2

故原不等式成立. 本题融函数,数列,不等式为一体,正确解答本题的关键是注意整体和式与局部数 点评 列的通项的转化.

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