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基本不等式求最值方法


基本不等式
知识点:
1. (1)若 a, b ? R ,则 a 2 ? b 2 ? 2ab (2)若 a, b ? R ,则 ab ?

a ? b 时取“=”)
2. (1)若 a, b ? R * ,则

a2 ? b2 2

(当且仅当

a?b ? ab 2

r />(当且仅当 a ? b 时取“=” ) (当且仅当 a ? b 时取“=” )

(2)若 a, b ? R * ,则 a ? b ? 2 ab

a ?b? (3)若 a, b ? R * ,则 ab ? ? ? ? ? 2 ?
3.若 x ? 0 ,则 x ?

2

1 ? 2 (当且仅当 x ? 1 时取“=” ) x 1 若 x ? 0 ,则 x ? ? ?2 (当且仅当 x ? ?1 时取“=” ) x
若 x ? 0 ,则 x ? 1 ? 2即x ? 1 ? 2或x ? 1 ? -2 x x x (当且仅当 a ? b 时取“=” )

4. 若 ab ? 0 , 则 a ? b ? 2 b a

( 当 且 仅 当 a ? b 时 取 “ = ”) 若 ab ? 0 , 则

a b a b ? ?2即 ? ? 2 或 b a b a
5.若 a, b ? R ,则 (

a b ) ? -?2(当且仅当 a ? b 时取“=” b a

a ? b 2 a2 ? b2 (当且仅当 a ? b 时取“=” ) ) ? 2 2

注意: (1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值, 当两个正数的和为定植时, 可以求它们的积的最小值, 正所谓 “积定和最小, 和定积大” . (2)求最值的条件“一正,二定,三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有 广泛的应用

应用:求最值解题技巧
1 例:求下列函数的值域: (1)y=3x 2+ 2 2x 1 (2)y=x+

x

技巧一:凑项 变式:已知 x?

例 1. 已知 x ?

5 ,求函数 y ? 4 x ? 2 ? 1 的最大值。 4 4x ? 5

3 ,求函数 y ? 2x ? 1 的最小值。 2 2x ? 3

技巧二:凑系数 例 2: 当

时,求 y ? x(8 ? 2 x) 的最大值。

变式:设 0 ? x ?

3 ,求函数 y ? 4 x(3 ? 2 x) 的最大值。 2

技巧三: 分离换元 例 3:求 y ?

x 2 ? 7 x ? 10 ( x ? ?1) 的值域。 x ?1

变式:当 x ? 1 时,求 y ?

2x 2 ? 2x ? 1 的最小值. x ?1

技巧五:在应用最值定理求最值时,若遇等号取不到的情况,结合函数 f ( x ) ? x ? 例:求函数 y ?

a 的单 x

调性。

x2 ? 5 x2 ? 4

的值域。

技巧六:整体代换( “1”的应用) 例:已知 x ? 0, y ? 0 ,且

1 9 ? ? 1 ,求 x ? y 的最小值。 x y

变式:正数 x, y 满足 x ? 2 y ? 1 ,求

1 1 ? 的最小值 x y
1 a 1 b

设 a ? 0, b ? 0. 若 3是3a 与3b的等比中项,则 ? 的最小值为
y2
2

技巧七例:已知 x,y 为正实数,且 x +

2

=1,求 x 1+y

2

的最大值.

分析:因条件和结论分别是二次和一次,故采用公式 ab≤ 1 2

a 2+ b 2
2

。 1+y 2 2· 2

同时还应化简 1 2
1 2

1+y

2



y2

前面的系数为 1 2



x 1+y

2

=x



2





y2
2

,下面将 x,
1 2 2 y2 + 2



y2
2

分别看成两个因式:





y2
2

x 2 +( ≤

)2 =

y2 1 x 2+ + 2 2 2

3 = 4

即x

1+y 2 =

2 ·x

1 2



y2
2



3 4

2

技巧八:已知 a,b 为正实数,2b+ab+a=30,求函数 y=

1

ab

的最小值.

分析:这是一个二元函数的最值问题,通常有两个途径,一是通过消元,转化为一元函数问 题,再用单调性或基本不等式求解,对本题来说,这种途径是可行的;二是直接用基本不等 式,对本题来说,因已知条件中既有和的形式,又有积的形式,不能一步到位求出最值,考 虑用基本不等式放缩后,再通过解不等式的途径进行。

技巧九、取平方 例: 求函数 y ? 2 x ? 1 ? 5 ? 2 x ( 1 ? x ? 5 ) 的最大值。 2 2

数列检测练习
1. 已知等差数列 的前 n 项和为 Sn,若 等于 ( ) A.18 B.36 C.54 D.72 2. 已知正项等比数列数列{an},bn=log a an, 则数列{bn}是 ( ) A、等比数列 B、等差数列 C、既是等差数列又是等比数列 D、以上都不对 3. 在等差数列{a }中,3(a +a )+2(a +a +a 项之和为 ( ) A.156 B.13 C.12 D.26 )=24,则此数列的前 13

4.在等比数列 {an } 中,已知 a1a3a11 ? 8 ,则 a2 a8 等于( A.16 B.6 C.12

) D.4 )

5.一个等比数列 {an } 的前 n 项和为 48,前 2n 项和为 60,则前 3n 项和为( A、63 B、108 C、75
1 n ?1 ? n
(D)101
2

D、83
且 Sn= 101 ? 1 ,则 n 的值为( )

6.已知数列{an}的通项公式为 an= (A)98 (B)99 (C)100
2 2

7.在正项等比数列{an}中,a 1+a 2+??a n= (A)2
n

4n ?1 ,则 a1+a2+?an 的值为( 3
n+1



(B)2 -1

n

(C)2 +1

n

(D)2 -2

8.已知首项为正数的等差数列 ?an ? 满足: a2010 ? a2009 ? 0 , a2010 a2009 ? 0 , 则使其前 n 项和 Sn ? 0 成立的最大自然数 n 是( A. 4016
9.已知数列 1,

). D. 4019


B. 4017

C. 4018

,则其前 n 项的和等于

10、等差数列 {an } , {bn } 的前 n 项和分别为 Sn , Tn ,若
11.已知等比数列 {an } 满足 an ? 0, n ? 1, 2,

Sn a 2n ,则 n = ? Tn 3n ? 1 bn

,且 a5 ? a2n?5 ? 22n (n ? 3) ,则当 n ? 1 时,

log2 a1 ? log2 a3 ?

? log2 a2n?1 ?
,若

12.设等比数列{ an }的前 n 项和为 Sn

S6 =3 ,则 S3

S9 = S6

13.设数列 {an } 的前 n 项和为 S n , 已知 a1 ? 1, Sn?1 ? 4an ? 2
(I)设 bn ? an?1 ? 2an ,证明数列 {bn } 是等比数列 (II)求数列 {an } 的通项公式。
n ?1 14.已知数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ? ? an ? ( ) ? 2 (n 为正整数) 。

1 2

(Ⅰ)令 bn ? 2n an ,求证数列 ?bn ? 是等差数列,并求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)令 cn ?

n ?1 an ,求 Tn ? c1 ? c2 ? ........ ? cn 的值 n

15.已知数列 {an } 满足 an ? 2an?1 ? 2n ?1(n ? N * , n ? 2) ,且 a4 ? 81 (1)求数列的前三项 a1、a2、a3 的值; (2)是否存在一个实数 ? ,使得数列 {
an ? ? } 为等差数列?若存在,求出 ? 2n

的值;若不存在,说明理由;求数列 {an } 通项公式。 (3)求数列 {an } 的前 n 项的和

16. 已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且有 S n ?

1 2 11 n ? n ,数列 {bn } 满足 2 2

bn?2 ? 2bn?1 ? bn ? 0 (n ? N * ) ,且 b3 ? 11 ,前 9 项和为 153;
(1)求数列 {an } 、 {bn } 的通项公式; (2)设 cn ?
3 ,求数列 {cn } 的前 n 项和为 Tn , (2an ? 11)(2bn ? 1)
k 对一切 n ? N * 都成立的最大正整数 k 的值; 57

(3)求使不等式 Tn ?


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