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等差数列知识点总结1111111111


等差数列
1. 定义

一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个 数列就叫等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示。 用递推公式表示为 an ? an?1 ? d (d为常数) ( n ? 2) ;
2.等差数列通项公式: (1) an ? a1 ? (n ?1)d ? dn ? a1 ? d (n ? N * ) (首项: a1 ,公差:d,末项: an ) (2) an ? am ? (n ? m)d . 3.等差中项 (1)如果 a , A , b 成等差数列,那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项.即: A ?
a?b 或 2A ? a ? b 2

从而 d ?

an ? am ; n?m

(2)等差中项:数列 ?an ? 是等差数列 ? 2an ? an-1 ? an?1 (n ? 2) ? 2an?1 ? an ? an?2 4.等差数列的前 n 项和公式: sn ?

n(a1 ? an ) n(n ? 1) d 1 ? na1 ? d ? n 2 ? (a1 ? d )n ? An2 ? Bn 2 2 2 2

(其中A、B是常数) (当d≠0时,Sn是关于n的二次式且常数项为0)
5.等差数列的证明方法 (1) 定义法:若 an ? an?1 ? d 或 an?1 ? an ? d (常数 n ? N ) ?
?

?an ?是等差数列.

(2) 等差中项:数列 ?an ? 是等差数列 ? 2an ? an-1 ? an?1 (n ? 2) ? 2an?1 ? an ? an?2 . (3)数列 ?an ? 是等差数列 ? an ? kn ? b (其中 k , b 是常数)。 (4)数列 ?an ? 是等差数列 ? Sn ? An2 ? Bn ,(其中A、B是常数)。 注: (1)等差数列的通项公式及前 n 和公式中,涉及到 5 个元素: a1 、 d 、 n 、 an 及 Sn ,其中 a1 、 d 称 作为基本元素。只要已知这 5 个元素中的任意 3 个,便可求出其余 2 个,即知 3 求 2。 (2)为减少运算量,要注意设元的技巧,如奇数个数成等差,可设为…, a ? 2d , a ? d , a, a ? d , a ? 2d … (公差为 d ) ;偶数个数成等差,可设为…, a ? 3d , a ? d , a ? d , a ? 3d ,…(公差为 2 d ) 7.等差数列的性质: (1)当公差 d ? 0 时,等差数列的通项公式 an ? a1 ? (n ?1)d ? dn ? a1 ? d 是关于 n 的一次函数,且

n(n ? 1) d d d ? n 2 ? (a1 ? )n 是关于 n 的二次函数且常数项为 0. 2 2 2 (2)若公差 d ? 0 ,则为递增等差数列,若公差 d ? 0 ,则为递减等差数列,若公差 d ? 0 ,则

斜率为公差 d ; 前 n 和 Sn ? na1 ?

为常数列。
(3)当 m ? n ? p ? q 时,则有 am ? an ? a p ? aq ,特别地,当 m ? n ? 2 p 时,则有 am ? an ? 2a p .

注: a1 ? an ? a2 ? an?1 ? a3 ? an?2

a1 ? an ????? ????? ? a , a , a , ? , a , a , 2? 3 n?2 n ?1 a n ? ?? ,图示: 1 ? ? ? ?? ?? ? a2 ? an ?1

(4) 若{ an }是等差数列,则 Sn , S2n ? Sn , S3n ? S2n ,…也成等差数列
S3 m ??????????? ? ?????????? ? 图示: a 1 ? a2 ? a3 ? ? ? am ? am?1 ? ? ? a2 m ? a2 m?1 ? ? ? a3m ? ??? ???? ? ?? ? ??? ? ?? ? ??? ? Sm S2 m ? Sm S3 m ?S2 m

(5) 若等差数列 {an } 、 且 {bn } 的前 n 和分别为 An 、 Bn ,

An a (2n ? 1)an A2 n?1 ? f ( n) , 则 n? ? ? f (2n ? 1) . Bn bn (2n ? 1)bn B2 n?1

(6)若 ?an ? 、 ?bn ? 为等差数列,则 ?an ? bn ? 为等差数列

等差数列的性质以及常见题型 一 等差数列的定义及应用 1.已知数列 ?an ?的通项公式为 an ? ?3n ? 2 ,试问该数列是否为等差数列。

1 1 1 y?z z?x x? y 2.已知: , , 成等差数列,求证: 也成等差数列。 , , x y z x y z



等差数列的性质考察
an ? am 问题 n?m

(1)熟用 an ? a1 ? (n ? 1)d ? am ? (n ? m)d , d ?

1、等差数列 ?an ? 中, a3 ? a5 ? 24 , a2 ? 3 ,则 a6 ?

. .

2、已知等差数列 ?an ? 中, a2与a6 的等差中项为 5 , a3与a7 的等差中项为 7 ,则 an ? 3、已知等差数列 ?an ? 中, a p ? q , aq ? p ,则 a p?q ? ____.

(2)公差 d 的巧用 1、已知等差数列共有 10 项,其中奇数项之和为 15 ,偶数项之和为 30 ,则其公差等于_____ 2、等差数列 {an } 中,已知公差 d ? ,且 a1 ? a3 ? A.170 B.150 C.145
1 2
? a99 ? 60 ,则 a1 ? a2 ? ? a100 ?

D.120
a2 ? a1 等于( b2 ? b1

4.已知 x ? y 且两个数列 x, a1 , a2 ,? ? ?am , y 与 x, b1 , b2 ,? ? ?bn , y 各自都成等差数列则
m m ?1 n n ?1 B C D n m n ?1 m ?1 (3) m ? n ? s ? t ? am ? an ? as ? at 性质的应用

)

A

1. 等差数列 ?an ? 中,若 a3 ? a4 ? a5 ? a6 ? a7 ? 450,则 a2 ? a8 ? _____。 2.等差数列 ?an ? 中,若 S13 ? 20 。则 a7 ? _______ 。 3.在等差数列 ?an ? 中 a3 ? a11 ? 40 ,则 a4 ? a5 ? a6 ? a7 ? a8 ? a9 ? a10 ? _______ 。 4.等差数列 ?an ? 中, a1 ? a2 ? a3 ? ?24, a18 ? a19 ? a20 ? 78 ,则 S 20 ? _____。 5.在等差数列 ?an ? 中, a4 ? a5 ? 12 ,那么它的前 8 项和 S 8 等于 _______ 。 6.等差数列 ?an ? 中,它的前5项和为34,最后5项和146,所有项和为234,则 a7 ? _______ . 7.{an}为等差数列,a1+ (4)方程思想的运用 1.已知等差数列{an}中,S3=21,S6=24,求数列{an}的前n项和 S n

a2+ a3=15,an+ an-1+ a n-2=78,Sn=155,则n=

_______ 。

2. 已知等差数列{an}中, a3 a7 ? ?16 , a4 ? a6 ? 0 ,求数列{an}的前 n 项和 S n

(5) S n , S 2n ? S n , S 3n ? S 2n 也成等差数列的应用 1、等差数列前 m 项和是 30 ,前 2m 项和是 100 ,则它的前 3m 项和 _______ 。 2、等差数列{an}的前 n 项的和为 40,前 2 n 项的和为 120,求它的前 3 n 项的和为 _______ 。 3.a1, a2

, a3, …… a2n+1

为 等差数列奇数项和为60,偶数项的和为45,求该数列的项数.

4.若一个等差数列前 3 项的和为 34,最后 3 项的和为 146,且所有项的和为 390,则这个数 列有 _______ 项。 5.在等差数列{an}中,S4=1,S8=3,则a17+a18+a19+a20的值是 _______ 。 (6) an ?
S 2 n ?1 的运用 2n ? 1

1.设 S n 和 Tn 分别为两个等差数列 ?an ?, ?bn ?的前 n 项和,若对任意 n ? N * ,都有
a11 = ________ b11

Sn 7n ? 1 ? , Tn 4n ? 27





(7) an 与 S n 的关系问题; 1.数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn=3n ? n2 ,则 an =_______ 2.数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn=n2 ? n ? 1 ,则 an =_ 3.数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn=2n ?1 ,则 an =___________ 4.数列 {4n ? 2} 的前 n 项和 Sn=______. (八)巧设问题; 一 般 情 况 , 三 个 数 成 等 差 数 列 可 设 : a ? d , a, a ? d ; 四 个 数 成 等 差 数 列 可 设: a ? 3d , a ? d , a ? d , a ? 3d . 1.四个数成等差数列,和为 26,第二个数和第三个数的积为 40,求这四个数. ___

2.四个数成等差数列,中间两个数的和为 13,首末两个数的积为 22,求这四个数.

3.一个等差数列的前 12 项之和为 354,前 12 项中偶数项与奇数项之比为 32:27,求公差

(九) .最值问题:; 1.在等差数列 {an } 中, a1 ? 80, d ? ?6 ,求 S n 的最大值.

2.等差数列 ?an ? 中, a1 ? 0, S4 ? S9 ,则 n 的取值为多少时? Sn 最大

3.已知等差数列{ an }中 a1 =13且 S 3 = S11 ,那么n取何值时, S n 取最大值.

(10)累加法的应用-------裂项相消

1.已知数列{an}满足: an ? an?1 ? 2n ? 1, a1 ? 1 ,求 an .

2.已知数列{an}满足: an?1 ? an ? 4n ? 1, a1 ? 1 ,求 an .

1 4.在数列{an}中, a1 ? 2, a n ?1 ? a n ? ln(1 ? ) ,求 an. n

(11)由 an 求 a n 的前 n 项和 1.数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? n2 ? 4n ,则 | a1 | ? | a2 | ? ? | a10 |? _______.

2.数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? n2 ? 4n , bn ? an ,则数列 {bn } 的前 n 项和 Tn ? _______.

(12)由 Sn 得 an 的题型、 直接法 1.已知正项数列 {an } 的前 n 项和为 S n , a1 ?

2 2 ,且满足 2S n?1 ? 2S n ? 3an?1 (n ? N * ) 。 3

(1)求数列 {an } 通项公式 an ; 1 1 1 1 9 (2)求证:当 n ? 2 时, 2 ? 2 ? 2 ?L ? 2 ? 。 a2 a3 a4 an 4

倒数法 1.已知数列 ?a n ?中,a n ≠0,a 1 =

an 1 ,a n?1 = (n∈N ? ) ,求 a n 1 ? 2an 2


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