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数列求和的基本方法和技巧


数列求和的基本方法和技巧
数列是高中代数的重要内容,又是学习高等数学的基础. 在高考和各种数学竞赛中都占有 重要的地位. 数列求和是数列的重要内容之一,除了等差数列和等比数列有求和公式外,大部 分数列的求和都需要一定的技巧. 下面,就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和 的基本方法和技巧. 一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式: S n ?

n(a1 ? an ) n(n ? 1) ? na1 ? d 2 2

(q ? 1) ? na1 ? n 2、等比数列求和公式: S n ? ? a1 (1 ? q ) a1 ? a n q ? (q ? 1) ? 1? q 1? q ?
3、 S n ?

1 ? k ? 2n(n ? 1) k ?1

n

4、 S n ?

?k
k ?1

n

2

1 ? n(n ? 1)(2n ? 1) 6

5、 S n ?

?k
k ?1

n

3

1 ? [ n(n ? 1)]2 2 ?1 2 3 n ,求 x ? x ? x ? ? ? ? ? x ? ? ? ? 的前 n 项和. log2 3 ?1 1 ? log3 x ? ? log3 2 ? x ? log2 3 2

[例 1] 已知 log3 x ?

解:由 log3 x ?

由等比数列求和公式得

Sn ? x ? x 2 ? x3 ? ? ? ? ? x n

(利用常用公式)

1 1 (1 ? n ) x (1 ? x n ) 2 2 =1- 1 = = 1 2n 1? x 1? 2
[例 2] 设 Sn=1+2+3+?+n,n∈N*,求 f (n) ?

Sn 的最大值. (n ? 32) S n ?1

解:由等差数列求和公式得 S n ?

1 n(n ? 1) , 2

1 S n?1 ? (n ? 1)( n ? 2) (利用常用公式) 2

∴ f ( n) ?

n Sn = 2 (n ? 32) S n ?1 n ? 34 n ? 64
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1 n ? 34 ? 64 n



( n?

1 8 n

?

) 2 ? 50

1 50

∴ 当

n?

1 8 ,即 n=8 时, f (n) max ? 50 8

二、错位相减法求和 这种方法是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法,这种方法主要用于求数列 {an· bn}的前 n 项和,其中{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列.

[例 3] 求和: S n ? 1 ? 3x ? 5x 2 ? 7 x 3 ? ? ? ? ? (2n ? 1) x n?1
解:由题可知,{ (2n ? 1) x 之积
n?1

(x

? 1 )????????①
n ?1

}的通项是等差数列{2n-1}的通项与等比数列{ x

}的通项

设 xSn ? 1x ? 3x 2 ? 5x 3 ? 7 x 4 ? ? ? ? ? (2n ? 1) x n ?????????. ②

(设

制错位)
①-②得 (1 ? x)S n ? 1 ? 2x ? 2x 2 ? 2x 3 ? 2x 4 ? ? ? ? ? 2x n?1 ? (2n ? 1) x n

(错

位相减)
再利用等比数列的求和公式得: (1 ? x) S n ? 1 ? 2 x ?

1 ? x n ?1 ? (2n ? 1) x n 1? x



Sn ?

(2n ? 1) x n?1 ? (2n ? 1) x n ? (1 ? x) (1 ? x) 2

[例 4] 求数列 ,

2 4 6 2n , 3 ,? ? ?, n ,? ? ? 前 n 项的和. 2 2 2 2 2 2n 1 解:由题可知,{ n }的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{ n }的通项之积 2 2 2 4 6 2n 设 S n ? ? 2 ? 3 ? ? ? ? ? n ?????????????① 2 2 2 2 1 2 4 6 2n S n ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? ? ? n ?1 ????????????② (设制错位) 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2n ①-②得 (1 ? ) S n ? ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? ? ? n ? n ?1 (错位相减) 2 2 2 2 2 2 2 1 2n ? 2 ? n ?1 ? n ?1 2 2 n?2 S n ? 4 ? n ?1 ∴ 2

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2

三、反序相加法求和 这是推导等差数列的前 n 项和公式时所用的方法,就是将一个数列倒过来排列(反序), 再把它与原数列相加,就可以得到 n 个 (a1 ? an ) .
0 1 2 n [例 5] 求证: Cn ? 3Cn ? 5Cn ? ? ? ? ? (2n ? 1)Cn ? (n ? 1)2 n 0 1 2 n 证明: 设 S n ? Cn ? 3Cn ? 5Cn ? ? ? ? ? (2n ? 1)Cn ??????????.. ①

把①式右边倒转过来得
n n 1 0 S n ? (2n ? 1)Cn ? (2n ? 1)Cn ?1 ? ? ? ? ? 3Cn ? Cn

(反序)
m n 又由 Cn ? Cn ?m 可得 0 1 n n S n ? (2n ? 1)Cn ? (2n ? 1)Cn ? ? ? ? ? 3Cn ?1 ? Cn ????..??.. ②

①+②得 ∴

0 1 n n 2S n ? (2n ? 2)(Cn ? Cn ? ? ? ? ? Cn ?1 ? Cn ) ? 2(n ? 1) ? 2n (反序相加)

S n ? (n ? 1) ? 2 n

[例 6] 求 sin 2 1? ? sin 2 2? ? sin 2 3? ? ? ? ? ? sin 2 88? ? sin 2 89? 的值
解:设 S ? sin 1 ? sin 2 ? sin 3 ? ? ? ? ? sin 88 ? sin 89 ????. ①
2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ?

将①式右边反序得

S ? sin 2 89? ? sin 2 88? ? ? ? ? ? sin 2 3? ? sin 2 2? ? sin 2 1? ???②
又因为 sin x ? cos(90 ? x),sin x ? cos x ? 1
? 2 2

(反序)

①+②得

(反序相加)

2S ? (sin 2 1? ? cos2 1? ) ? (sin 2 2? ? cos2 2? ) ? ? ? ? ? (sin 2 89? ? cos2 89? ) =89
∴ S=44.5 四、分组法求和 有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个等 差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可.

[例 7] 求数列的前 n 项和: 1 ? 1,

1 1 1 ? 4, 2 ? 7,? ? ?, n ?1 ? 3n ? 2 ,? a a a 1 1 1 解:设 S n ? (1 ? 1) ? ( ? 4) ? ( 2 ? 7) ? ? ? ? ? ( n ?1 ? 3n ? 2) a a a
将其每一项拆开再重新组合得

S n ? (1 ?
(分组)

1 1 1 ? 2 ? ? ? ? ? n ?1 ) ? (1 ? 4 ? 7 ? ? ? ? ? 3n ? 2) a a a
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(3n ? 1)n (3n ? 1)n = (分组求和) 2 2 1 1? n 1? n a ? (3n ? 1)n = a ? a ? (3n ? 1)n 当 a ? 1 时, S n ? 1 a ?1 2 2 1? a
当 a=1 时, S n ? n ?

[例 8] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前 n 项和.
解:设 ak ? k (k ? 1)(2k ? 1) ? 2k 3 ? 3k 2 ? k ∴

S n ? ? k (k ? 1)(2k ? 1) = ? (2k 3 ? 3k 2 ? k )
k ?1 k ?1

n

n

将其每一项拆开再重新组合得 Sn= 2

?
k ?1

n

k 3 ? 3? k 2 ? ? k
k ?1 k ?1

n

n

(分组)

= 2(1 ? 2 ? ? ? ? ? n ) ? 3(1 ? 2 ? ? ? ? ? n ) ? (1 ? 2 ? ? ? ? ? n)
3 3 3 2 2 2



n 2 (n ? 1) 2 n(n ? 1)(2n ? 1) n(n ? 1) ? ? 2 2 2

(分组求和)

n(n ? 1) 2 (n ? 2) = 2
五、裂项法求和 这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项(通项) 分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的. 通项分解(裂项)如: (1) an ? f (n ? 1) ? f (n) (2)

sin 1? ? tan(n ? 1)? ? tann? ? ? cos n cos(n ? 1) (2n) 2 1 1 1 ? 1? ( ? ) (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

(3) a n ?

1 1 1 ? ? n(n ? 1) n n ? 1

(4) an ?

(5) an ?

1 1 1 1 ? [ ? ] n(n ? 1)(n ? 2) 2 n(n ? 1) (n ? 1)(n ? 2)

(6) a n ?

n ? 2 1 2(n ? 1) ? n 1 1 1 1 ? n ? ? n ? ? , 则S n ? 1 ? n ?1 n n(n ? 1) 2 n(n ? 1) 2 n?2 (n ? 1)2 (n ? 1)2 n
1 1? 2 , 1 2? 3


[例 9] 求数列

,? ? ?,

1 n ? n ?1


,? ? ? 的前 n 项和. 1 n ? n ?1



an ?
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? n ?1 ? n
4

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(裂项)
则 Sn ?

1 1? 2

?

1 2? 3

? ??? ?

1 n ? n ?1

(裂项求和)

= ( 2 ? 1) ? ( 3 ? 2 ) ? ? ? ? ? ( n ? 1 ? n ) = n ? 1 ?1

[例 10] 在数列{an}中, an ?
项的和. 解:

1 2 n 2 ? ? ??? ? ,又 bn ? ,求数列{bn}的前 n n ?1 n ?1 n ?1 a n ? a n ?1

1 2 n n ? ? ??? ? ? n ?1 n ?1 n ?1 2 2 1 1 ∴ bn ? ? 8( ? ) n n ?1 n n ?1 ? 2 2
∵ an ? ∴ 数列{bn}的前 n 项和

(裂项)

1 1 1 1 1 1 1 S n ? 8[(1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ? ? ( ? )] 2 2 3 3 4 n n ?1 1 8n ) = = 8(1 ? n ?1 n ?1

(裂项求和)

1 1 1 cos1? ? ? ??? ? ? [例 11] 求证: cos0 ? cos1? cos1? cos 2 ? cos88? cos89? sin 2 1?
解:设 S ?

1 1 1 ? ? ??? ? ? ? ? ? cos 0 cos 1 cos 1 cos 2 cos 88 cos 89 ?
?



sin 1? ? tan(n ? 1)? ? tann? cos n? cos(n ? 1)?
?

(裂项)

∴S ? =

1 1 1 ? ? ??? ? ? ? ? ? cos 0 cos 1 cos 1 cos 2 cos 88 cos 89 ?

(裂项求和)

1 {(tan 1? ? tan 0 ? ) ? (tan 2 ? ? tan 1? ) ? (tan 3? ? tan 2 ? ) ? [tan 89 ? ? tan 88 ? ]} ? sin 1


1 1 cos1? (tan 89 ? ? tan 0? ) = ? cot 1? = 2 ? sin 1? sin 1? sin 1

∴ 原等式成立

六、合并法求和 针对一些特殊的数列,将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质,因此,在求数列的和 时,可将这些项放在一起先求和,然后再求 Sn.

[例 12] 求 cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值.
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解:设 Sn= cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179° ∵ cosn? ? ? cos( 180? ? n? )

(找特殊性质项)

∴Sn= (cos1°+ cos179°)+( cos2°+ cos178°)+ (cos3°+ cos177°)+··· +(cos89°+ cos91°)+ cos90° (合并求和) = 0

[例 13] 数列{an}: a1 ? 1, a2 ? 3, a3 ? 2, an?2 ? an?1 ? an ,求 S2002.
解:设 S2002= a1 ? a2 ? a3 ? ? ? ? ? a2002 由 a1 ? 1, a2 ? 3, a3 ? 2, an?2 ? an?1 ? an 可得

a4 ? ?1, a5 ? ?3, a6 ? ?2, a7 ? 1, a8 ? 3, a9 ? 2, a10 ? ?1, a11 ? ?3, a12 ? ?2,
??

a6k ?1 ? 1, a6k ?2 ? 3, a6k ?3 ? 2, a6k ?4 ? ?1, a6k ?5 ? ?3, a6k ?6 ? ?2
∵ a6k ?1 ? a6k ?2 ? a6k ?3 ? a6k ?4 ? a6k ?5 ? a6k ?6 ? 0 ∴ S2002= a1 ? a2 ? a3 ? ? ? ? ? a2002 =

(找特殊性质项)

(合并求和)

(a1 ? a2 ? a3 ? ? ? ?a6 ) ? (a7 ? a8 ? ? ? ?a12 ) ? ? ? ? ? (a6k ?1 ? a6k ?2 ? ? ? ? ? a6k ?6 ) ? ? ? ? ? (a1993 ? a1994 ? ? ? ? ? a1998 ) ? a1999 ? a2000 ? a2001 ? a2002
= a1999 ? a2000 ? a2001 ? a2002 = a6k ?1 ? a6k ?2 ? a6k ?3 ? a6k ?4 =5

[例 14]
值.

在各项均为正数的等比数列中,若 a5 a6 ? 9, 求 log3 a1 ? log3 a2 ? ? ? ? ? log3 a10 的

解:设 S n ? log3 a1 ? log3 a2 ? ? ? ? ? log3 a10 由等比数列的性质 m ? n ? p ? q ? aman ? a p aq 和对数的运算性质 loga M ? loga N ? loga M ? N 得

(找特殊性质项)

S n ? (log3 a1 ? log3 a10 ) ? (log3 a2 ? log3 a9 ) ? ? ? ? ? (log3 a5 ? log3 a6 ) (合并求和)
= (log3 a1 ? a10 ) ? (log3 a2 ? a9 ) ? ? ? ? ? (log3 a5 ? a6 )
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= log3 9 ? log3 9 ? ? ? ? ? log3 9 =10 七、利用数列的通项求和 先根据数列的结构及特征进行分析,找出数列的通项及其特征,然后再利用数列的通项揭 示的规律来求数列的前 n 项和,是一个重要的方法.

[例 15] 求 1 ? 11? 111? ? ? ? ? 111? ? 之和. ? ? ?1 ?
n个1

解:由于 111? ? ? 1 ? ???
k个1

1 1 ? 999??9 ? (10k ? 1) ???? 9 ? ? 9 k个1
n个1

(找通项及特征)

∴ 1 ? 11? 111? ? ? ? ? 111? ? ? ? ?1 ? =

1 1 1 1 1 (10 ? 1) ? (10 2 ? 1) ? (10 3 ? 1) ? ? ? ? ? (10 n ? 1) 9 9 9 9

(分组求和)



1 1 1 (10 ? 102 ? 103 ? ? ? ? ? 10n ) ? (1 ?? 1 ??? ? 1) 1?? ?? ? 9 9 ? ?个1 ? n
1 10(10n ? 1) n ? ? 9 10 ? 1 9
1 (10 n ?1 ? 10 ? 9n) 81





说明:本资料适用于高三总复习,也适用于高一“数列”一章的学习。

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