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2006年第23届物理竞赛预赛+答案


第 23 届全国中学生物理竞赛预赛试卷
一、(20 分,每小题 10 分) 1、如图所示,弹簧 S1 的上端固定在天花板上,下端连一小球 A,球 A 与球 B 之间用线相连。球 B 与球 C 之间用弹簧 S2 相连。A、B、C 的质量分 别为 mA、mB、mC,弹簧与线的质量均可不计,开始时它们都处在静止状态, 现将 A、B 间的线突然剪断,求线刚剪断时 A、B、C 的

加速度。

2、两个相同的条形磁铁,放在平板 AB 上,磁铁的 N、S 极如图所示,开始时平板及 磁铁皆处于水平位置,且静止不动。 (1)现将 AB 突然竖直向下平移(磁铁与平板 间始终相互接触),并使之停在 A'B'处,结果发现 两个条形磁铁碰在一起。 (2)如果将 AB 从原位置突然竖直向上平移, 并使之停在 A''B''位置处,结果发现两条形磁铁也碰 在一起。 试定性地解释上述现象。

二、(20 分,第 1 小题 12 分,第 2 小题 8 分) 1、老爷爷的眼睛是老花眼。 (1)一物体 P 放在明视距离处,老爷爷看不清楚,试在示意图 1 中画出此时 P 通过眼 睛成像的光路示意图。 (2)戴了一副 300 度的老花镜后,老爷爷就能看清楚放在明视距离处的物体 P,试在 示意图 2 中画出 P 通过老花镜和眼睛成像的光路示意图。

(3)300 度的老花镜的焦距 f=________m。

2、有两个凸透镜,它们的焦距分别为 f1 和 f2,还有两个凹透镜,它们的焦距分别为 f3 和 f4,已知,f1>f2>|f3|>|f4|,如果要从这四个透镜中选取两个透镜,组成一架最简单的单筒 望远镜,要求能看到放大倍数尽可能大的正立的像,则应选焦距为_________的透镜作为物 镜,应选焦距为____________的透镜作为目镜。

三、(20 分,第 1 小题 12 分,第 2 小题 8 分) 1、如图所示,电荷量为 q1 的正点电荷固定在坐标原点 O 处,电荷量为 q2 的正点电荷 固定在 x 轴上,两电荷相距 l,已知 q2=2q1。 (1)求在 x 轴上场强为零的 P 点的坐标。 (2)若把一电荷量为 q0 的点电 荷放在 P 点,试讨论它的稳定性(只 考虑 q0 被限制在沿 x 轴运动和被限制 在沿垂直于 x 轴方向运动这两种情况)。

2、有一静电场,其电势 U 随坐标 x 的改变而变化,变化的图线如图 1 所示,试在图 2 中画出该静电场的场强 E 随 x 变化的图线(设场强沿 x 轴正方向时取正值,场强沿 x 轴负 方向时取负值)。

四、(20 分)一根长为 L(以厘米为单位)的粗细均匀的、可弯 曲的细管,一端封闭,一端开口,处在大气中。大气的压强与 H 厘米 高的水银柱产生的压强相等,已知管长 L>H。现把细管弯成 L 形,如 图所示,假定细管被弯曲时,管长和管的内径都不发生变化。可以把 水银从管口徐徐注入细管而不让细管中的气体泄出。当细管弯成 L 形 时,以 l 表示其竖直段的长度,问 l 取值满足什么条件时,注入细管 的水银量为最大值?给出你的论证并求出水银量的最大值(用水银柱 的长度表示)。

五、(20 分)一对正、负电子可形成一种寿命比较短的称为电子偶素的新粒子。电子 偶素中的正电子与负电子都以速率 v 绕它们连线的中点做圆周运动, 假定玻尔关于氢原子的 理论可用于电子偶素,电子的质量 m、速率 v 和正、负电子间的距离 r 的乘积也满足量子化 条件,即

mrv ? n

h 2?

式中 n 称为量子数,可取整数值 1,2,3,…;h 为普朗克常量,试求电子偶素处在各 定态时的 r 和能量以及第一激发态与基态能量之差。

六、(25 分)如图所示,两个金属轮 A1、A2,可绕通过各自中心并与轮面垂直的固定 的光滑金属细轴 O1 和 O2 转动,O1 和 O2 相互平行,水平放置,每个金属轮由四根金属辐条 和金属环组成,A1 轮的辐条长为 a1、电阻为 R1,A2 轮的辐条长为 a2、电阻为 R2,连接辐条 的金属环的宽度与电阻都可以忽略。半径为 a0 的绝 缘圆盘 D 与 A1 同轴且固连在一起, 一轻细绳的一端 固定在 D 边缘上的某点,绳在 D 上绕足够匝数后, 悬挂一质量为 m 的重物 P,当 P 下落时,通过细绳 带动 D 和 A1 绕 O1 轴转动,转动过程中,A1、A2 保 持接触,无相对滑动;两轮与各自细轴之间保持良 好的电接触;两细轴通过导线与一阻值为 R 的电阻 相连,除 R 和 A1、A2 两轮中辐条的电阻外,所有金 属的电阻都不计,整个装置处在磁感应强度为 B 的 匀强磁场中,磁场方向与转轴平行,现将 P 释放, 试求 P 匀速下落时的速度。

七、图示为一固定不动的绝缘的圆筒形容器的横截面,其半径为 R,圆筒的轴线在 O 处,圆筒为有匀强磁场,磁场方向与圆筒的轴线平行,磁感应强度为 B,筒壁的 H 处开有 小孔,整个装置处在真空中。现有一质量为 m、电荷量为 q 的带电粒子 P 以某一初速度沿 筒的半径方向从小孔射入圆筒, 经与筒壁碰撞后又从小孔射出圆筒。 设:筒壁是光滑的,P 与筒壁碰撞是弹性的,P 与筒壁碰撞时其电荷 量是不变的。若要使 P 与筒壁碰撞的次数最少,问: (1)P 的速率应为多少? (2)P 从进入圆筒到射出圆筒经历的时间为多少?

八、图中正方形 ABCD 是水平放置的固定梁的横截面,AB 是水平的,截面的边长都是 l,一根长为 2l 的柔软的轻细绳,一端固定在 A 点,另一端系一质量为 m 的小球,初始时, 手持小球,将绳拉直,绕过 B 点使小球处于 C 点,现给小球一竖直 向下的初速度 v0,使小球与 CB 边无接触地向下运动,当 v02 分别取 下列两值时,小球将打到梁上的何处? 1、 v02 ? 2(6 2 ? 3 3 ? 1) gl 2、 v02 ? 2(3 3 ? 11) gl

设绳的伸长量可不计而且绳是非弹性的。

九、从赤道上的 C 点发射洲际导弹,使之精确地击中北极点 N,要求发射所用的能量 最少。假定地球是一质量均匀分布的半径为 R 的球体,R=6400km。已知质量为 m 的物体在 地球引力作用下作椭圆运动时,其能量 E 与椭圆半长轴 a 的关系为

E ? ?G

Mm 2a

式中 M 为地球质量,G 为引力常量。 (1)假定地球没有自转,求最小发射速度的大小和方向 (用速度方向与从地心 O 到发射点 C 的连线之间的夹角表示) 。 (2) 若考虑地球的自转, 则最小发射速度的大小为多少? (3)试导出 E ? ?G

Mm 。 2a


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