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圆与方程


圆与方程
知识点归纳: 2、1 圆的标准方程:以点 C (a, b) 为圆心, r 为半径的圆的标准方程是 ( x ? a) 2 ?( y ? b) 2 ?r 2 . 特例:圆心在坐标原点,半径为 r 的圆的方程是: x 2 ? y 2 ?r 2 .

2、2 点与圆的位置关系: 1. 设点到圆心的距离为 d,圆半径为 r: (1)点在圆上 d=r;

(2)点在圆外 d>r; (3)点在圆内 d<r.

2.给定点 M ( x 0 , y 0 ) 及圆 C : ( x ? a) 2 ?( y ? b) 2 ?r 2 . ① M 在圆 C 内 ? ( x 0 ?a) 2 ?( y 0 ?b) 2 ?r 2 ③ M 在圆 C 外 ? ( x 0 ?a) 2 ?( y 0 ?b) 2 ?r 2 2、3 圆的一般方程: x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 . 当 D 2 ? E 2 ?4F ? 0 时,方程表示一个圆,其中圆心 C ? ? 当 D 2 ? E 2 ?4F ? 0 时,方程表示一个点 ? ?
? D E? ,? ? . 2? ? 2 ? D E? ,? ? ,半径 r ? 2? ? 2 D 2 ? E 2 ?4 F . 2
( ② M 在圆 C 上 ? x 0 ?a) 2 ?( y 0 ?b) 2 ?r 2

当 D 2 ? E 2 ?4F ? 0 时,方程无图形(称虚圆). 注: (1)方程 Ax 2 ? Bxy ? Cy 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 表示圆的充要条件是: B ? 0 且 A ? C ? 0 且
D 2 ? E 2 ?4 AF ? 0 .

圆的直径或方程:已知 A( x1 , y1 ) B( x 2 , y 2 ) ? ( x ? x1 )(x ? x 2 ) ? ( y ? y1 )( y ? y 2 ) ? 0 2、4 直线与圆的位置关系: 直线 Ax ? By ? C ? 0 与圆 ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 的位置关系 有三种 (1)若 d ?

Aa ? Bb ? C A2 ? B 2

, d ? r ? 相离 ? ? ? 0 ; (3) d ? r ? 相交 ? ? ? 0 。

(2) d ? r ? 相切 ? ? ? 0 ;

还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组 ? 的个数来判断:

? Ax ? By ? C ? 0
2 2 ? x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0

求解,通过解

1

(1)当方程组有 2 个公共解时(直线与圆有 2 个交点) ,直线与圆相交; (2)当方程组有且只有 1 个公共解时(直线与圆只有 1 个交点) ,直线与圆相切; (3)当方程组没有公共解时(直线与圆没有交点) ,直线与圆相离; 即:将直线方程代入圆的方程得到一元二次方程,设它的判别式为Δ ,圆心 C 到直线 l 的距离为 d,则直线与圆的 位置关系满足以下关系: 相切 ? d=r ? Δ =0(2)相交 ? d<r ? Δ >0; 2、5 两圆的位置关系 设两圆圆心分别为 O1,O2,半径分别为 r1,r2, O1O2 ? d 。 (1) d ? r1 ? r2 ? 外离 ? 4条公切线 ; (2) d ? r1 ? r2 ? 外切 ? 3条公切线 ; (3) r1 ? r2 ? d ? r1 ? r2 ? 相交 ? 2条公切线 ; (4) d ? r1 ? r2 ? 内切 ? 1条公切线 ; (5) 0 ? d ? r1 ? r2 ? 内含 ? 无公切线 ; (3)相离 ? d>r ? Δ <0。

外离

外切

相交

内切

内含

2 、 6 圆 的 切 线 方 程 : 圆 x 2 ? y 2 ?r 2 的 斜 率 为 k 的 切 线 方 程 是 y ? kx ? 1? k 2 r 过 圆
x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0

上一点 P( x 0 , y 0 ) 的切线方程为: x 0 x ? y 0 y ? D

x ?x0 y ?y0 ?E ?F ?0. 2 2

一般方程若点(x0 ,y0)在圆上,则(x – a)(x0 – a)+(y – b)(y0 – b)=R2. 特别地,过圆 x 2 ? y 2 ?r 2 上一点 P( x 0 , y 0 ) 的切线方程为 x 0 x ? y 0 y ?r 2 .
? y 1 ? y 0 ? k ( x1 ? x 0 ) ? b ? y 1 ? k ( a ? x 1 ) ,联立求出 k ? 切线方程. 若点(x0 ,y0)不在圆上,圆心为(a,b)则 ? ?R ? R 2 ?1 ?

习题:
类型一:圆的方程
1 求过两点 A(1 , 4) 、B(3 , 2) 且圆心在直线 y ? 0 上的圆的标准方程并判断点 P(2 , 4) 与圆 的关系. 2 求半径为 4,与圆 x ? y ? 4 x ? 2 y ? 4 ? 0 相切,且和直线 y ? 0 相切的圆的方程.
2 2

2

(难)3 求经过点 A(0 , 5) ,且与直线 x ? 2 y ? 0 和 2 x ? y ? 0 都相切的圆的方程.

(难)4、 设圆满足:(1)截 y 轴所得弦长为 2;(2)被 x 轴分成两段弧,其弧长的比为 3 : 1 , 在满足条件(1)(2)的所有圆中,求圆心到直线 l:x ? 2 y ? 0 的距离最小的圆的方程.

类型二:切线方程、切点弦方程、公共弦方程
5 已知圆 O:x ? y ? 4 ,求过点 P?2,? 与圆 O 相切的切线. 4
2 2

6 两圆 C1:x ? y ? D1 x ? E1 y ? F1 ? 0 与 C2:x ? y ? D2 x ? E2 y ? F2 ? 0 相交于 A 、
2 2 2 2

B 两点,求它们的公共弦 AB 所在直线的方程.
7.求过点 M (3,1) ,且与圆 ( x ? 1) ? y ? 4 相切的直线 l 的方程.
2 2

类型三:弦长、弧问题
8、求直线 l : 3x ? y ? 6 ? 0 被圆 C : x ? y ? 2 x ? 4 y ? 0 截得的弦 AB 的长.
2 2
2 2 9、直线 3 x ? y ? 2 3 ? 0 截圆 x ? y ? 4 得的劣弧所对的圆心角为

10、求两圆 x ? y ? x ? y ? 2 ? 0 和 x ? y ? 5 的公共弦长
2 2
2 2

类型四:直线与圆的位置关系
2 2 11、已知直线 3 x ? y ? 2 3 ? 0 和圆 x ? y ? 4 ,判断此直线与已知圆的位置关系.

(难)12、若直线 y ? x ? m 与曲线 y ? 围.

4 ? x 2 有且只有一个公共点,求实数 m 的取值范

练习 1:直线 x ? y ? 1 与圆 x ? y ? 2ay ? 0 (a ? 0) 没有公共点,则 a 的取值范围是
2 2

练习 2:若直线 y ? kx ? 2 与圆 ( x ? 2) ? ( y ? 3) ? 1 有两个不同的交点,则 k 的取值范围
2 2



.

2 2 练习 3: 圆 x ? y ? 2 x ? 4 y ? 3 ? 0 上到直线 x ? y ? 1 ? 0 的距离为 2 的点共有( ) .

(A)1 个

(B)2 个

(C)3 个

(D)4 个

类型五:圆与圆的位置关系
问题导学四:圆与圆位置关系如何确定? 13、判断圆 C1 : x ? y ? 2 x ? 6 y ? 26 ? 0 与圆 C 2 : x ? y ? 4 x ? 2 y ? 4 ? 0 的位置关
2 2 2 2

系,

3

14:圆 x ? y ? 2 x ? 0 和圆 x ? y ? 4 y ? 0 的公切线共有
2 2 2 2

条。
2

(难)15:若圆 x ? y ? 2mx ? m ? 4 ? 0 与圆 x ? y ? 2 x ? 4my ? 4m ? 8 ? 0 相切,
2 2 2 2 2

则实数 m 的取值集合是

.

类型六:圆中的对称问题
16.若圆 x ? y ? m ? 1 x ? 2my ? m ? 0 ,关于直线 x ? y ? 1 ? 0 ,则实数 m 的值为____.
2 2 2

?

?

17: 已知点 A 是圆 C : x ? y ? ax ? 4 y ? 5 ? 0 上任意一点,A 点关于直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 的
2 2

对称点在圆 C 上,则实数 a ? _________. 18:已知圆 C1 : ? x ? 4 ? ? ? y ? 2 ? ? 1 与圆 C2 : ? x ? 2 ? ? ? y ? 4 ? ? 1 关于直线 l 对称,
2 2 2 2

则直线 l 的方程为_______________.

类型七:圆中的最值问题
19: x ? y ? 4 x ? 4 y ? 10 ? 0 上的点到直线 x ? y ? 14 ? 0 的最大距离与最小距离的差 圆
2 2

是 (难)20 (1)已知圆 O: ? 3) ? ( y ? 4) ? 1 , P( x , y ) 为圆 O 上的动点,求 d ? x ? y 1 (x
2 2 2 2

的最大、最小值.

(x (2)已知圆 O2: ? 2) ? y ? 1 , P( x , y ) 为圆上任一点.求
2 2

y?2 的最大、最小值,求 x ?1

x ? 2 y 的最大、最小值.
21:已知 A(?2,0) , B ( 2,0) ,点 P 在圆 ( x ? 3) ? ( y ? 4) ? 4 上运动,则 PA ? PB 的
2 2

2

2

最小值是 练习:

.

1:已知点 P( x, y ) 在圆 x ? ( y ? 1) ? 1 上运动.
2 2

(1)求

y ?1 的最大值与最小值; (2)求 2 x ? y 的最大值与最小值. x?2

4


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