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3.2复数代数形式的四则运算(第一课时)


一,引入
复数的几何意义: 复数的几何意义:

复数z=a+bi
一一对应

一一对应

复平面中的点Z(a,b) , 复平面中的点
一一对应

平面向量 OZ

OZ 如图,设向量OZ1, 2分别与复数a + bi,c + di对应,则

(c,d) OZ1的坐标是(a,b) ,OZ2的坐标是________,故 _______ (a+c,b+d) OZ1+OZ2 = _______________.
∴OZ1+OZ2与复数a + c + (b + d)i对应 y
OZ ∵OZ1, 2分别与复 数a + bi,c + di对应,
Z
Z2 (c, d )
Z1 (a, b)

∴(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

O

x

二,基础知识讲解
1.复数的加法与减法: 复数的加法与减法: 复数的加法与减法 复数的加法: 复数的加法: 设 z1 = a + bi, z2 = c + di是任意两个复数,那么它们 是任意两个复数, 的和 ( a + bi ) + ( c + di ) = ( a + c ) + ( b + d ) i 复数的加法满足交换律,结合律, 复数的加法满足交换律,结合律,即对任何

z1 , z2 , z3 ∈C 有 z1 + z2 = z2 + z1

(z1 + z2 ) + z3 = z1 + (z2 + z3 )
类比实数加减法的关系易得: 类比实数加减法的关系易得:

复数的 减法

(a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i

复数减法的几何意义: 复数减法的几何意义:
y

OZ1 OZ2 = Z2 Z1
O

Z1

Z2
x

两个复数相加(减)就是把实部与实部,虚部与虚部 两个复数相加( 就是把实部与实部, 分别相加( ),即 分别相加(减),即

(a + bi) ± (c + di) = (a ± c) + (b ± d)i
注:两个复数的和或差仍是复数. 两个复数的和或差仍是复数

三,例题分析
1. 例 计算: (1)(5 6i) + (2 i) (3 + 4i) (2)(-3-4i) + (2 + i) + (1 + 5i). ;
答案:(1)-11i;(2)2i. 答案

练习 : 计算 : (1) (5 + 4 i ) + ( 3 2 i ) ( 2 ) (2 i ) (2 + 3 i ) + 4 i

(3 ) 5 (3 + 2 i )
(4) 4i (4i 4)

答案: 答案: (1) 2 + 2i (3) 2 - 2i

(2) 0 (4) 4

2.复数的乘法: 复数的乘法: 复数的乘法

( a + bi ) ( c + di ) = (ac bd) + (ad + bc)i
复数的乘法满足交换律,结合律以及分配律, 复数的乘法满足交换律,结合律以及分配律,即对 任何

z1, z2 , z3 ∈C 有 z1 z 2 = z 2 z1
( z1 z 2 ) z 3 = z1 ( z 2 z 3 ) z1 ( z 2 + z 3 ) = z1 z 2 + z1 z 3

注:两个复数积仍是复数. 两个复数积仍是复数

计算下列式子: 例2.计算下列式子: 计算下列式子 (1)(1-2i )(3+4i )(-2+i );(2)(1+i )2. ; 例3. 证明: ( a + bi )( a bi ) = a2+ b2 ( a , b∈ R ).

3.共轭复数与共轭虚数: 共轭复数与共轭虚数: 共轭复数与共轭虚数 共轭复数:实部相等,虚部互为相反数的两个复数; 共轭复数:实部相等,虚部互为相反数的两个复数; 共轭虚数:虚部不为0的两个共轭复数. 共轭虚数:虚部不为0的两个共轭复数. 特别地,实数的共轭复数是实数本身. 特别地,实数的共轭复数是实数本身. 思考: 是共轭复数, 思考:若z1,z2是共轭复数,那么 (1)它们的和与积有什么特点? )它们的和与积有什么特点? (2)它们在复平面内对应的点有怎样的位置关系? )它们在复平面内对应的点有怎样的位置关系?

4.共轭复数的性质: 共轭复数的性质: 共轭复数的性质

一般地,复数z的共轭复数可记z,即 若z = a + bi,则z = a bi,(a, b∈ R)

z z = ( a + bi )( a bi) = a + b =| z | =| z |
2 2 2

2

| z |=| z |

练习: 练习:

1.计算 :(1)(-8-7i)i(3i) = -21+24i (2)(4- 3i)i(5 4i) = -32-i 1 1 3 3 3 1 (3) + i ( 1 + i ) = - + i + 2 2 2 2 2 2 3 1 1 3 1 3 (4) i + i =- i 2 2 2 2 2 2 2 2 2.计算: i = i 2 2
2

四,针对性训练

五,小结巩固
掌握正,余弦定理在求距离的有关问题的应用. 掌握正,余弦定理在求距离的有关问题的应用.

六,布置作业
作业:课本 习题1.2 A组 1. 7. 作业 课本P19 习题 课本 组 练习:活页作业 练习 活页作业 §1.2 导数的计算 选填题及第11题必做 题必做) (选填题及第 题必做)

活页作业习题讲评: 活页作业习题讲评:
P65 5.~7. ~

答案: 答案: 1. 2.

2

asin(γ +δ ) asin(γ +δ ) AC = = sin[180 (β + γ +δ )] sin(β + γ +δ )
3.用长度分别为 单位: 3.用长度分别为 2,3,4,5,6(单位: cm )的 5 根 细木棒围成一个三角形(允许连接,但不允许折断) 细木棒围成一个三角形(允许连接,但不允许折断) , 能够得到的三角形的最大面积为( 能够得到的三角形的最大面积为( ) A. 8 5cm
2 2

B. B. 6 10cm
2 D. D. 20cm

2

C. 3 55cm


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