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不等式的基本性质和解法


中小学 1 对 1 课外辅导专家

精锐教育学科教师辅导讲义
讲义编号:
学员编号: 学员姓名: 课 题 授课时间 1.不等式的基本性质能够灵活应用 教学目标 重点、难点 考点及考试 要求 2.不等式的解法,包括一元二次不等式,分式不等式,绝对值不等式 一元二次不等式的解法 一元二次不等式,绝对值不等式和分式不等式的解法 教学内容 年 级:高一 课时数:3 学科教师:

辅导科目:数学

不等式的基本性质和解法

一、知识 要点:
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

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1.不等式的性质是证明不等式和解不等式的基础。不等式的基本性质有: (1)对称性或反身性:a>b ? b<a; (2)传递性:若 a>b,b>c,则 a>c; (3)可加性:a>b ? a+c>b+c,此法则又称为移项法则; (4)可乘性:a>b,当 c>0 时,ac>bc;当 c<0 时,ac<bc。 不等式运算性质: (1)同向相加:若 a>b,c>d,则 a+c>b+d; (2)正数同向相乘:若 a>b>0,c>d>0,则 ac>bd。 特例:(3)乘方法则:若 a>b>0,n∈N+,则 a n ? b n ; (4)开方法则:若 a>b>0,n∈N+
1 n ,则 a

?

1 n b



(5)倒数法则:若 ab>0,a>b,则

1 1 ? 。 a b

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掌握不等式的性质,应注意: (1)条件与结论间的对应关系,如是“ ? ”符号还是“ ? ”符号; (2)不等式性质的重点是不等号方向,条件与不等号方向是紧密相连的

例 1: 1)、 8 ? 6与 7 ? 5 的大小关系为 . .

2) 、设 n ? ?1 ,且 n ? 1, 则 n 3 ? 1 与 n 2 ? n 的大小关系是

? ?1 ≤ ? ? ? ≤ 1 3)已知 ? , ? 满足 ? , 试求 ? ? 3? 的取值范围. ?1 ≤ ? ? 2 ? ≤ 3

例 2.比较 ?a ? 1? 与 a 2 ? a ? 1 的大小。
2

例 3.解关于 x 的不等式 m( x ? 2) ? x ? m 。

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例 4.已知 a,b 为非零实数,且 a<b 则下列命题成立的是 ( )07 年 13 b a 1 1 ? ? 2 A、 a 2 ? b 2 B a 2 b ? ab 2 C D 2 a b ab a b

二、一元二次不等式的解法 一元二次不等式 x ? 2 x ? 3 ? 0 的解法。
2

解法一:原不等式可化为 ( x ? 3)( x ? 1) ? 0 ,它等价与

?x ? 3 ? 0 ?x ? 3 ? 0 将问题转化为我们学过的一元一次不等式组。于是可得到原不等式的解 或? ? ?x ? 1 ? 0 ?x ? 1 ? 0
集 {x | x ? ?1或x ? 3}
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解法二:利用数轴 , -1、3 将数轴分成三个部分,

-1
当 x ? 3 时, x ? 3 ? 0, x ? 1 ? 0

3
所以 ( x ? 3)( x ? 1) ? 0

x

当 ? 1 ? x ? 3 时, x ? 3 ? 0, x ? 1 ? 0 当 x ? ?1 时, x ? 3 ? 0, x ? 1 ? 0 可得原不等式的解集

所以 ( x ? 3)( x ? 1) ? 0

所以 ( x ? 3)( x ? 1) ? 0

{x | x ? ?1或x ? 3}

还可得到 ( x ? 3)( x ? 1) ? 0 解集为 {x | ?1 ? x ? 3} 。 解法三:利用二次函数图像求此不等式的的解集也可看作求二次函数 y ? x ? 2 x ? 3 取正值时
2

x 的取值范围,即求该二次函数 的图像在 x 轴上方时 x 的取值范围。
我们知道,二次函数 y ? x ? 2 x ? 3 的图像是一条开口向上的
2

y
抛物线,它与 x 轴有两个交点,由方程 x ? 2 x ? 3 ? 0 的解可得
2

交 点 的 横 坐 标 分 别 是 x ? ?1 , x ? 3

,容易看出,当

- 0 1
2

3

x

x ? ?1或x ? 3 时 上 述 函 数 的 图 像 在 x 轴 上 方 ,

x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 ; ? 1 ? x ? 3 时, 当 上述函数的图像在 x 轴下方,

即 x ? 2 x ? 3 ? 0 ,于是可得不等式解集为 {x | ?1 ? x ? 3} 。 [说明]解法一中解两个一元一次不等式组中涉及的“或”和“且”的关系可用集合中的交集和并集 来说明。 解法三利用二次函数的图象更加直观, 清晰, 是高中阶段解一元二次不等式的主要方法。 例 1.利用二次函数图像解下列不等式。 (1) x ? 2 x ? 3 ? 0
2

(2) x ? 4 x ? 4 ? 0
2

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[说明]点评中强调一元二次方程,一元二次不等式和二次函数之间的联系。由学生归纳如何利用 二次函数的图像解二次项系数为正的一元二次不等式的主要步骤:求出相应的一元二次方程的 解;画出相应的二次函数的图像;写出不等式的解集。第 2 小题函数的图像与 x 轴相切,教师可 提示学生思考如果图像与 x 轴相离时的不等式的解的情况。

一元二次不等式 ax 2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 或 ax 2 ? bx ? c ? 0(a. ? 0) 的求解原理:利用二次函数的 图象通过二次函数与二次不等式的联系从而推证出任何一元二次不等式的解集。
??0

??0

??0
y ? ax 2 ? bx ? c

y ? ax2 ? bx ? c

y ? ax 2 ? bx ? c

二次函数
y ? ax 2 ? bx ? c (a ? 0)

的图象

一元二次方程 有 两 相 异 实 根 有 两 相 等 实 根
ax ? bx ? c ? 0 a ? 0
2

的根
ax2 ? bx ? c ? 0 a ? 0

x1 , x2 ( x1 ? x2 )

b x1 ? x2 ? ? 2a

无实根

?x x ?
?x x

x1或x ? x2 ?

解集
ax2 ? bx ? c ? 0 a ? 0

? b ? ?x x ? ? ? 2a ? ?

R

的解集

1

? x ?x2?

?

?

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1.用区间来表示不等式的解集 设 a, b 都为实数,并且 a ? b ,我们规定: (1)集合 ?x | a ? x ? b?叫做闭区间,表示为 [a, b] ; (2)集合 ?x | a ? x ? b?叫做开区间,表示为 ?a, b ? ; (3)集合 ?x | a ? x ? b?或 ?x | a ? x ? b?叫做半开半闭区间,分别表示为 ?a, b ? 或 ?a, b? 。 (4)把实数集 R 表示为(- ? ,+ ? ) ; 集合 ?x | x ? a? 表示为[ a ,+ ?

?;

集合 ?x | x ? a?表示为( a ,+ ? ); 集合 ?x | x ? b?表示为(- ? ,b]; 集合 ?x | x ? b?表示为(- ? ,b) ; 在上述所有的区间中 a, b 叫做区间的端点,以后我们可以用区间表示不等式的解集。

2.区间在数轴上的表示
a

a

b
a

x

b
a

x

[ a ,b ]

(a ,b )

a

a

b
a

x

a

[a ,b )

b
a

x

(a ,b ]

a

x

[ a ,+ ? )
b
a

a

x

( a ,+ ? )

x

(- ? , b ]

b
a

x

(- ? , b )

【例题讲解】 1.解下列不等式:
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(1) 2 x 2 ? 3x ? 2 ? 0

(2) 9 x 2 ? 6 x ? 1 ? 0

(3) 4 x ? x 2 ? 5

(4) 2 x 2 ? x ? 1 ? 0

2.解不等式组
?3 x 2 ? 7 x ? 10 ? 0 (1) ? 2 ? 2x ? 5x ? 2 ? 0 ? x2 ? 2 x ? 3 ? 0 (2) ? 2 ? 5 ? x ? 4x

3.若不等式 ax 2 ? bx ? c ? 0 的解集为(-2,3),求不等式 cx 2 ? ax ? b ? 0 的解集.

4.当 k 为何值时,关于 x 的一元二次不等式 x 2 ? (k ? 1) x ? 4 ? 0 的解集为(- ? ,+ ? )?

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5.当 k 为何值时,不等式 2kx2 ? kx ?

3 ? 0 对于一切实数 x 都成立? 8

6.已知集合 A={x x ? a ? 0 },集合 B={x x 2 ? 2ax ? 3a 2 ? 0 },求 A ? B 与 A ? B.

三、其他不等式的解法 不要轻易去分母,可以移项通分,使得不等号的右边为零. 利用两数的商与积同号,化为一元二次不等式求解. 一般地,分式不等式分为两类: (1)
g ? x? f ? x? ? 0 ( ? 0 ) ? f ? x? g ? x? ? 0 ( ? 0 ) ;

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( 2)

? f ? x ? g ? x ? ? 0 ? ? 0? ? ? 0 (? 0 )? ? g ? x? ?g ? x? ? 0 ?
f ? x?

实数绝对值定义、几何意义、性质.
? x, x ? 0 ① 任意 x ? R ,定义 x 的绝对值为 x ? ? . ? ? x, x ? 0

② 绝对值的几何意义:任意 x ? R ,设数轴上表示数值 x 的点为 P , O 为坐标原点,则
x ? PO , x 表示 P 点到原点的距离.类似地, x1 ? x2 的几何意义是: 即 数轴上表示数值 x1 的点 A

到数轴上表示数值 x2 的点为 B 的距离,即 x1 ? x2 ? AB . ③ 任意 x ? R , x ? 0 ,等号成立 ? x ? 0 . ④ 任意 x ? R , x 2 ? x ? x 2 ? x .⑤ 任意 x 、 y ? R , ? x ? x ? ? x ? ? x ? x . xy ? x ? y ,
2

x x ? ( y ? 0 ). y y
-a 0
x ?a

a

含绝对值的不等式的解法
-b 0
x ?b

b

设 0 ? a ? b ,则 (1) x ? a ? x ? ?a 或 x ? a .
-a

0
x ?a

a

(2) x ? b ? ?b ? x ? b . (3) a ? x ? b ? ?b ? x ? ?a 或 a ? x ? b .
-b

0
x ?b

b

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课堂练习: 1.不等式 x 2 ? ax ? b ? 0 的解集是 ? x 2 ? x ? 3? ,则 a ? ____, b ? ____ .

2.分式不等式 3.求使

x ?3 ? 0 的解集为:___________________. x?7

3? | x | 有意义的 x 取值范围. | 2 x ? 1 | ?4

4.解下列不等式:
x ?1 ? x ? 2 ? 5 .

| 4x ? 3 | 2x ? 1 ?

x 2 ? 3x ? 4

2x ? 3 ?1 x?2

x x ? 1? x 1? x

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【课后作业】
1. 实数 a 、 b 满足 ? b < a < 0 ,则下列不等式 ①
1 1 > a b

② a2 <b2 ) B. 2 个
1



1 1 >? a b

④a>b

其中正确的个数为( A. 3 个 2. 不等式
x?3

C. 1 个 ) C. ?3,4? ) B. ?x x < 0 且 x ≠ ? 1? D. ?x x < 1 且 x ≠ ? 1?

D. 0 个

>1 的解集是( B. ?? ? ,4 ?

A. ?4,???

D. ?3,4 ?

3. 不等式 ?1 ? x ??1 ? x ? > 0 的解集是( A. ?x 0 ≤ x < 1? C. ?x ? 1 < x < 1?

4. 关 于 x 的 不 等 式 ax2 ? bx ? c < 0 的 解 为 (??, ? ) ? (? ,??) , 其 中 ? < ? < 0 , 则 不 等 式

cx 2 ? bx ? a ? 0 的解集为(
?1 1 ? A. ? , ? ?? ?? ? ?


? 1 1? C. ? ? ,? ? ? ? ?? ? ?
? 1 1? D. ? ? ,? ? ? ? ?? ? ?

? 1 1? B. ? , ? ?? ?? ? ?

5. 若关于 x 的不等式 2 x ? 1 > a?x ? 2? 的解集为 R ,则实数 a 的范围是( A. a >2 B. a =2 ) C. a <2



D. a 不存在

6. 实数 a 、 b 满足条件 ab <0,那么(

? A. | a ? b | | a | ? | b |

? B. | a ? b | | a ? b |

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C. | a ? b | | a ? b | ? 7、

? D. | a ? b | | a | ? | b |


?x ? 1??x 2 ? 4 x ? 3? ≤ 0 的解集为
x2 ? x ? 2

8、用“>”或“<”号填空:(a<b<0) (1)
n

? a ____

n

?b

( n ? 2, n ? N )
*

(2) (4)

n

1 ? a ____

n

1 ( n ? 2, n ? N * ) ?b

(3) a 2 n _____ b 2 n ( n ? N * ) (5) a 2 n ?1

_____ b 2 n ?1 ( n ? N * )

1 1 _____ 2 n ( n ? N * ) 2n a b 1 1 (6) 2 n ?1 _____ 2 n ?1 ( n ? N * ) a b

9、解下列关于 x 的不等式: (1) ax ? 4 ? 2 x ? a 2 , 其中a ? 2 ;

(2) mx ? 1 ? x ? m3 , 其中m ? 1

(3) ( p ? q) x ? p 2 ? q 2 , 其中p ? q

(4) mx ? 4 ? m2 ? 2 x

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10、 已知 A ? x x 2 ? x ? 2 > 0 , x ? z? 求实数 k 的范围。

?

B ? ?x 2 x 2 ? ?5 ? 2k ?x ? 5k < 0 , x ? z? 且 A ? B ? ?? 2?,

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