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浙江省宁波市2013届高三第二次模拟数学理试题


浙江省宁波市 2013 年高考模拟试卷

数学(理科)试卷
本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共 4 页, 选择题部分 1 至 2 页, 非选择题部分 3 至 4 页.满分 150 分, 考试时间 120 分钟. 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上.
参考公式: 如果事件 A, 互斥, B 那么 P(A+B)=P(A)+P

(B) 如果事件 A,B 相互独立,那么 P(A·B)=P(A)·P(B) 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p, 那 么 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次 的概率 Pn(k)= C k pk(1-p)n-k (k=0,1,2,?,n) n 台体的体积公式: 1 V= h(S1 ? S1 S 2 ? S 2 ) 3 (其中 S1,S2 分别表示台体的上、下底面积, h 表示台体的高)

柱体的体积公式: V ? Sh (其中 S 表示柱体的底面积, 表示 h 柱体的高) 1 锥体的体积公式: V ? Sh 3 (其中 S 表示锥体的底面积, 表示 h 锥体的高) 球的表面积公式:S=4πR2 球的体积公式:V ? 4 ? R 3 (其中 R

3

表示球的半径)

第Ⅰ卷(选择题部分

共 50 分)

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1.设集合 M={-1,0,1},N={x | x2 ≤ x},则 M∩N = (A){0} (B){0,1} (C){-1,1} 2.函数 f ( x) ? cos( x ? (D){-1,0}

?
4

) ? cos( x ?

?
4

)是
(B)周期为 2 ? 的偶函数 (D)周期为 2 ? 的奇函数
2 正视图 2 侧视图

(A)周期为 ? 的偶函数 (C)周期为 ? 的奇函数 3.已知某几何体的三视图如图所示, 则该几何体的体积是

8 3 (A) 3 (C) 8 3

16 3 (B) 3 (D) 16 3

4 3

俯视图

(第 3 题图)

·1·

??? ???? ? ? ?| OP ? OM |? 12 ? 4.已知点 P(3,3) ,Q(3,-3) 为坐标原点,动点 M(x, y)满足 ? ???? ???? ,O ,则点 M 所构 ? ?| OQ ? OM |? 12 ?
成的平面区域的面积是 (A)12 (B)16 (C)32 (D)64

a b 5.已知 a, b ? R,条件 p: a ? b ” “ ,条件 q: 2 ? 2 ? 1 ” “ ,则 p 是 q 的

(A)充分不必要条件 (C)充分必要条件

(B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

6.在“石头、剪刀、布”的游戏中,规定: “石头赢剪刀”“剪刀赢布”“布赢石头” 、 、 .现有甲、乙 两人玩这个游戏,共玩 3 局,每一局中每人等可能地独立选择一种手势.设甲赢乙的局数为 ξ, ........ 则随机变量 ξ 的数学期望是 (A)

1 3

(B)

4 9

(C)

2 3

(D)1

7.已知数列 {an } 是 1 为首项、2 为公差的等差数列, {bn } 是 1 为首项、2 为公比的等比 数列.设 cn ? abn , Tn ? c1 ? c2 ? ? ? cn (n ? N *) ,则当 Tn>2013 时,n 的最小值是 (A)7 (B)9 (C)10 (D)11

8.已知空间向量 a, b 满足 | a |?| b |? 1 ,且 a, b 的夹角为

? ?

?

?

? ?

?
3

,O 为空间直角坐标系的原点,点 A、B 满

??? ? ? ? ??? ? ? ? 足 OA ? 2a ? b , OB ? 3a ? b ,则△OAB 的面积为
(A)

5 3 2

(B)

5 3 4

(C)

7 3 4

(D)

11 4

9.设函数 f (x) 的导函数为 f ?(x ) ,对任意 x ? R 都有 f ?( x) ? f ( x) 成立,则 (A) 3 f (ln 2) ? 2 f (ln 3) (C) 3 f (ln 2) ? 2 f (ln 3) (B) 3 f (ln 2) ? 2 f (ln 3) (D) 3 f (ln 2)与2 f (ln 3) 的大小不确定

10.三个顶点均在椭圆上的三角形称为椭圆的内接三角形.已知点 A 是椭圆的一个短轴端点,如果 ..... 以 A 为直角顶点的椭圆内接等腰直角三角形有且仅有三个,则椭圆的离心率的取值范围是 . ..... (A) (0,

2 ) 2

(B) (

2 6 , ) 2 3

(C) (

2 ,1) 2

(D) (

6 ,1) 3

·2·

第Ⅱ卷(非选择题部分
二、填空题:本大题共 7 小题, 每小题 4 分, 共 28 分. 11.已知 i 是虚数单位,复数 z ?

共 100 分)

1 ? 2i 的虚部是 ▲ . 1? i


12.执行如图所示的程序框图,则输出的 k 值是 ▲

1 2 5 13. ( x ? 2)( ? 1) 的展开式的常数项是 ▲ . x ?2? x ? 0 ?? 1 14.设函数 f ( x) ? ? ,若函数 0? x?2 ?x ?1 g ( x) ? f ( x) ? ax, x ?[?2,2] 为偶函数,则实 数 a 的值为 ▲ . 15. 6 名候选人中选派出 3 人参加 A 、B 、C 三项活动, 从 且每项活动有且仅有 1 人参加,甲不参加 A 活动,则
不同的选派方法有 ▲ 种.

是 否

16.已知曲线 C1 : y ? x2 ? 4 和 C2 : y ? 2 x ? x 2 ,直线 l1 与 C1 、 C2 分别相切于点 A、B,直线 l2 (不 同于 l1 )与 C1 、 C2 分别相切于点 C、D,则 AB 与 CD 交点的横坐标是 ▲ .

17.在直角坐标平面上,已知点 A(0,2) ,B(0,1) ,D(t,0) (t>0) .点 M 是线段 AD 上 的动点,如果|AM|≤2|BM|恒成立,则正实数 t 的最小值是 ▲ . 三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18. (本题满分 14 分)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a, b, c ,已知函数

1 f ( x) ? cos x ? cos( x ? A) ? cos A ( x ? R) . 2
(Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期和最大值; (Ⅱ)若函数 f (x) 在 x ?

?
3

处取得最大值,求

a(cos B ? cos C ) 的值. (b ? c)sin A

19. (本题满分 14 分)设公比大于零的等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 a1 ? 1 ,
? 2 S 4 ? 5S 2 ,数列 ?bn ?的前 n 项和为 Tn ,满足 b1 ? 1 , Tn ? n bn , n ? N .

(Ⅰ)求数列 ?a n ?、 ?bn ?的通项公式; (Ⅱ)设 Cn ? (Sn ? 1)(nbn ? ? ) ,若数列 ?Cn ?是单调递减数列,求实数 ? 的取值范围.

·3·

20. (本题满分 15 分)如图,已知四棱锥 P-ABCD 的底面为 菱形,且∠ABC =60?,AB=PC=2,AP=BP= 2 . (Ⅰ)求证:平面 PAB⊥平面 ABCD ; (Ⅱ)求二面角 A-PC-D 的平面角的余弦值. A

P

B

D

(第 20 题图)

C

21. (本题满分 15 分)如图,已知椭圆 E:

x2 y2 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0) 的离心率是 ,P1、P2 是椭圆 E 2 a b 2 的长轴的两个端点(P2 位于 P1 右侧) ,点 F 是椭圆 E 的右焦点.点 Q 是 x 轴上位于 P2 右侧的一 1 1 2 y 点,且满足 ? ? ? 2. B P1Q P2 Q FQ
(Ⅰ) 求椭圆 E 的方程以及点 Q 的坐标; (Ⅱ) 过点 Q 的动直线 l 交椭圆 E 于 A、B 两 点,连结 AF 并延长交椭圆于点 C,连结 BF 并延长交椭圆于点 D. ① 求证: B、C 关于 x 轴对称; C
(第 21 题图)

A P1 O F P2 Q x D

② 当四边形 ABCD 的面积取得最大值时,求直线 l 的方程.

22. (本题满分 14 分)设函数 f ( x) ? ln x ? ax2 ? (3a ? 1) x ? (2a ? 1) ,其中 a ? R . (Ⅰ)如果 x ? 1 是函数 f ( x) 的一个极值点,求实数 a 的值及 f ( x) 的最大值; (Ⅱ)求实数 a 的值,使得函数 f(x)同时具备如下的两个性质:

f ( x1 ) ? f ( x2 ) x ?x ? f ( 1 2 ) 恒成立; 2 2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) x1 ? x2 ② 对于任意实数 x1 , x2 ? (1, ??) 且 x1 ? x2 , ? f( ) 恒成立. 2 2
① 对于任意实数 x1 , x2 ? (0,1) 且 x1 ? x2 ,

宁波市 2013 年高考模拟试卷
·4·

数学(理科)参考答案
说明: 一、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要 考查内容制订相应的评分细则. 二、对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容与难 度,可视影响的程度决定后续部分的给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后续部 分的解答有较严重的错误,就不再给分. 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数.选择题和填空题不给中间分. 一、选择题:本题考查基本知识和基本运算。每小题 5 分,满分 50 分. 1.B 2.D 3.A 4.C 5.A 6.D 7.C 8.B 9.C 10.D 二、填空题:本题考查基本知识和基本运算.每小题 4 分,满分 28 分. 11.

1 2

12.3 16.

13. ? 12 17.

14.

1 2

15.100

1 2

2 3 3

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18. (本题满分 14 分) 解: (Ⅰ)依题意, f ( x) ? cos x cos A ? cos x sin x sin A ?
2

1 cos A ????2 分 2 1 1 ? (cos 2 x ? cos A ? sin 2 x ? sin A) ? cos( 2 x ? A) ???5 分 2 2
1 . 2
?????7 分

所以函数 f ( x) 的最小正周期是 ? , f ( x) 有最大值 (Ⅱ)由(I)知:由

2? 2? 2? ? A ? 2k? , k ? Z ,得 A ? ? 2k? ? (0, ? ) , 所以 A ? . 3 3 3

? 3 3 cos( ? C ) ? cosC cosC ? sin C a(cos B ? cos C ) cos B ? cosC 2 2 3 ? ? 3 . ? ? (b ? c)sin A sin B ? sin C sin(? ? C ) ? sin C 3 1 cosC ? sin C 3 2 2
?????14 分

19. (本题满分 14 分) 解: (Ⅰ)由 S 4 ? 5S 2 , q ? 0, 得

q ? 2, an ? 2n?1
·5·

??????3 分

?Tn ? n 2 bn b n ?1 ? ? n ? 又? ( n ? 1) , 2 bn ?1 n ? 1 ?Tn ?1 ? (n ? 1) bn ?1 ?
则得

bn bn?1 bn?2 b n ?1 n ? 2 n ? 3 2 1 2 ? ? ?? ? 2 ? ? ? ?? ? ? ? bn?1 bn?2 bn?3 b1 n ? 1 n n ? 1 4 3 n(n ? 1)
2 ,当 n ? 1 时也满足. n(n ? 1)
n

所以 bn ?

?????7 分

(Ⅱ) Tn ? 2n ? 1 ,所以 C n ? 2 (

2 ? ? ) ,使数列 ?Cn ?是单调递减数列, n ?1 4 2 n ? ? ? ) ? 0 对 n ? N ? 都成立, ?????10 分 则 Cn ?1 ? Cn ? 2 ( n ? 2 n ?1 4 2 4 2 ? ?? ? 0? ? ? ( ? ) max , 即 ?????12 分 n ? 2 n ?1 n ? 2 n ?1 4 2 2n 2 , ? ? ? n ? 2 n ? 1 (n ? 1)(n ? 2) n ? 3 ? 2 n 1 4 2 1 ? ) max ? , 所以 ? ? . 当 n ? 1 或 2 时, ( ?????14 分 3 n ? 2 n ?1 3

20. (本题满分 15 分) 解: (Ⅰ)如图 1 所示,取 AB 中点 E,连 PE、CE. 则 PE 是等腰△PAB 的底边上的中线,所以 PE⊥AB.?????2 分 PE=1,CE= 3 ,PC=2,即 PE 2 ? CE 2 ? PC 2 . 由勾股定理可得,PE⊥CE.?????4 分 H 又因为 AB?平面 ABCD,CE?平面 ABCD, 且 AB∩CE=E,所以 PE⊥平面 ABCD. ?????5 分 F P

A

E

B

C D 而 PE?平面 PAB, (第 20 题图 1) 所以平面 PAB⊥平面 ABCD.?????7 分 (Ⅱ) (方法 1)如图 1,在 Rt△PEC 中,过点 E 作 EF⊥PC 于点 F,连 AF. 过 A 作平面 PCD 的垂线,垂足为 H,连 FH. 因为 AE⊥EC,AE⊥PE,所以 AE⊥平面 PEC,于是 AE⊥PC. 又 EF⊥PC,所以 PC⊥平面 AEF,故 PC⊥AF. 已有 PC⊥AH,可得 PC⊥平面 AFH,所以 PC⊥FH. 故∠AFH 是二面角 A-PC-D 的平面角. ??10 分 由 AB⊥平面 PEC 知 EF⊥AB,又 AB∥CD,所以 EF⊥CD. 而已有 EF⊥PC,所以 EF⊥平面 PCD.又因为 AH⊥平面 PCD,所以 AH∥EF.
·6·

由于 AB∥平面 PCD,所以 A、E 两点到平面 PCD 的距离相等,故 AH=EF. 所以 AEFH 是矩形,∠AFH=∠EAF. ?????13 分

3 7 AE 2 ,AF= ,所以 cos ?EAF ? ? 7. 2 2 AF 7 2 即二面角 A-PC-D 的平面角的余弦值是 ?????15 分 7. 7 (方法 2)以 AB 中点 E 为坐标原点,EC 所在直线为 x 轴,EB 所在直线为 y 轴,EP 所在 直线为 z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系.
在 Rt△AEF 中,AE=1,EF= 则 A(0,-1,0) ,C( 3 ,0,0) ,D( 3 ,-2,0) ,P(0,0,1) z P , ???? ??? ? AC =( 3 ,1,0) PC =( 3 ,0,-1) , , ???? DC =(0,2,0) . ?????9 分 设 n1 ? ( x1 , y1 , z1 ) 是平面 PAC 的一个法向量,

?? ?

?? ???? ? ? 3 x1 ? y1 ? 0 ?n1 ? AC ? 0 ? ? 则 ? ?? ??? ,即 ? . ? ? ?n1 ? PC ? 0 ? 3 x1 ? z1 ? 0 ? ?
D 取 x1 ? 1 ,可得 y1 ? ? 3, z1 ? 3 ,

A

E

B y

(第 20 题图 2)

C x

?? ? n1 ? (1, ? 3, 3) .

????11 分

?? ???? ? ? ?? ? ?2 y2 ? 0 ? n2 ? DC ? 0 ? 设 n2 ? ( x2 , y2 , z2 ) 是平面 PCD 的一个法向量,则 ? ?? ??? ,即 ? . ? ? ? 3x2 ? z2 ? 0 ? n2 ? PC ? 0 ? ?
取 x2 ? 1 ,可得 y2 ? 0, z2 ? 3 , n2 ? (1,0, 3) .

?? ?

?????13 分

?? ?? ? ? ?? ?? ? ? n1 ? n2 2 2 ? ? 故 cos ? n1 , n2 ?? ?? ?? ? 7 ,即二面角 A-PC-D 的平面角的余弦值是 7. 7 | n1 || n2 | 7
?????15 分

·7·

21. (本题满分 15 分) 解: (Ⅰ)设点 F(c,0) ,Q(x,0) x ? a ) ( . 由

y B A P1 O F P2 Q x D

1 1 2 ? ? ? 2, P1Q P2 Q FQ

a2 1 1 2 可得 ,解得 x ? . ? ? c x?a x?a x?c
?????2 分 依题意 FQ ? 1 ,即 又因为

C
(第 21 题图)

a2 b2 ?c ? ? 1 .???4 分 c c

c 2 2 ? , b ? a 2 ? c 2 ,所以 a ? 2, b ? c ? 1 . a 2 x2 ? y 2 ? 1 ,点 Q 的坐标是(2,0) 故椭圆的方程是 . 2

?????6 分

(Ⅱ)① 设直线 l 的方程为 x ? my ? 2 ,代入椭圆 E 的方程可得 (2 ? m2 ) y 2 ? 4my ? 2 ? 0 依题意, ? ? (4m)2 ? 8(2 ? m2 ) ? 8(m2 ? 2) ? 0 , m2 ? 2 . 此时,若设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 y1 ? y2 ? ?

4m 2 , y1 ? y2 ? . (*) 2 2?m 2 ? m2

?????8 分 点 B 关于 x 轴的对称点 B1( x2 , ? y2 ) ,则 A、F、B1 三点共线等价于

y1 ? y2 y1 y2 2my1 y2 ? y1 ? y2 ? ? ? ?0 ? ?0 x1 ? 1 x2 ? 1 my1 ? 1 my2 ? 1 (my1 ? 1)(my2 ? 1)
由(*)可知上述关系成立. 因此,点 C 即是点 B1,这说明 B、C 关于 x 轴对称.?????10 分 ② 由① 得 B、C 关于 x 轴对称,同理,A、D 关于 x 轴对称. 所以,四边形 ABCD 是一个等腰梯形.则四边形 ABCD 的面积

S ?| x1 ? x2 | ?(| y1 | ? | y2 |) ?| m | ? | y1 ? y2 | ? | y1 ? y2 |

?

4m 2 m2 m2 ? 2 . ( y1 ? y2 )2 ? 8 2 ? 2 ? m2 (2 ? m2 )2

?????12 分

设 t ? m2 ? 2 (t ? 0) ,则 m2 ? t 2 ? 2 , S (t ) ? 8 2 ?

(t 2 ? 2)t . (t 2 ? 4) 2

求导可得 S ? ? ?8 2 ?

(t 4 ? 6t 2 ? 8) ,令 S ? ? 0 ,可得 t 2 ? 3 ? 17 . (t 2 ? 4)3

由于 S (t ) 在 (0, 3 ? 17 ) 上单调增,在 ( 3 ? 17 , ??) 上单调减.
·8·

所以,当 t 2 ? 3 ? 17 即 m2 ? 5 ? 17 时, 四边形 ABCD 的面积 S 取得最大值. 此时,直线 l 的方程是 x ? ? 5 ? 17 y ? 2 . ?????14 分 ?????15 分

22. (本题满分 14 分) 解: (Ⅰ)函数 f ( x) 的定义域是 (0, ??) ,对 f ( x) 求导可得

f ?( x) ?

1 ? 2ax ? (3a ? 1) x

?????2 分 ?????3 分

依题意, f ?(1) ? 1 ? 2a ? (3a ? 1) ? 0 ,解得 a ? 0 . 此时, f ( x) ? ln x ? x ? 1 , f ?( x) ?

1 1? x . ?1 ? x x

因为 x ? (0, ??) ,令 f ?( x) ? 0 ,可得 x ? (0,1) ;令 f ?( x) ? 0 ,可得 x ? (1, ??) . 所以,函数 f ( x) 在 (0,1) 上单调递增,在 (1, ??) 上单调递减. ?????5 分 因此,当 x ? 1 时, f ( x) 取得最大值 f (1) ? 0 . ?????6 分 (Ⅱ)令 F ( x1 , x2 ) ?

f ( x1 ) ? f ( x2 ) x ?x ? f( 1 2) 2 2 x ?x x ?x 1 a 2 ? (ln x1 ? ln x2 ) ? ln( 1 2 ) ? ( x12 ? x2 ) ? a( 1 2 )2 2 2 2 2
?????8 分

a 1 ? ( x ? x )2 ? ? ( x1 ? x2 )2 ? ln ? 1 2 ? 4 2 ? 4 x1 x2 ?

由(Ⅰ)中的结论可知, ln x ? x ? 1 ? 0 对任意 x ? (0,1) ? (1, ??) 恒成立,即
ln x ? x ? 1

(*)恒成立.

?????9 分

(ⅰ)如果 x1 , x2 ? (0,1) ,且 x1 ? x2 ,则

( x1 ? x2 ) 2 ( x ? x )2 ?1? 1 2 ?1. 4 x1 x2 4 x1 x2

? ( x ? x2 )2 ? ( x1 ? x2 ) 2 a 1 ( x ? x2 )2 根据(*)可得 ln ? 1 , F ( x1 , x2 ) ? ( x1 ? x2 ) 2 ? ? 1 . ?? 4 2 4 x1 x2 4 x1 x2 ? 4 x1 x2 ?
a 1 ( x ? x2 )2 ? F ( x1 , x2 ) ? 0 恒成立, 若 f ( x) 满足性质①,则 ( x1 ? x2 )2 ? ? 1 4 2 4 x1 x2
于是

a 1 1 ? 对任意 x1 , x2 ? (0,1) 且 x1 ? x2 恒成立,所以 a ? .????11 分 4 8 x1 x2 2
·9·

(ⅱ)如果 x1 , x2 ? (1, ??) 且 x1 ? x2 ,则 0 ?

4 x1 x2 ( x ? x )2 ? 1 ? 1 2 2 ? 1 .根据(*)可得 ( x1 ? x2 )2 ( x1 ? x2 )
?

? 4 x1 x2 ? ( x ? x )2 ln ? ?? 1 2 2 2 ? ( x1 ? x2 ) ? ( x1 ? x2 ) ?
则 F ( x1 , x2 ) ?

? ( x ? x )2 ? ( x ? x )2 ln ? 1 2 ? ? 1 2 2 ? 4 x1 x2 ? ( x1 ? x2 )

a 1 ( x ? x )2 ( x1 ? x2 ) 2 ? ? 1 2 2 .若 f ( x) 满足性质②,则 4 2 ( x1 ? x2 ) a 1 ( x ? x )2 ( x1 ? x2 )2 ? ? 1 2 2 ? F ( x1 , x2 ) ? 0 恒成立. 4 2 ( x1 ? x2 )

于是

a 1 1 ? 对任意 x1 , x2 ? (1, ??) 且 x1 ? x2 恒成立,所以 a ? .?13 分 4 2( x1 ? x2 ) 2 2

综合(ⅰ) (ⅱ)可得, a ?

1 .????14 分 2

·10·


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