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微分几何期末考试


华中师范大学 2011 –2012 学年第 2 学期
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期末考试试卷(A 卷)
课程名称 微分几何 课程编号 83410116 任课教师 题型 分值 得分
得分 评阅人
周振荣、程亮、宋冰玉

学号:

填空题 35

判断题 15

计算题 30

证明题 20

总分 100

学生姓名:

一、填空题: (共 7 题,每题 5 分)

? 1、 r ? (a cosh t , a sinh t , at) 曲率 k ? ___________________

? ? 2、曲线 r ? (cos3 t , sin 3 t , cos2t ) 的副法向量 ? ? _________________________

年级:

3、曲面曲线的曲率为 k ,测地曲率为 k g ,切方向的法曲率为 k n ,则他们满足的关系 是_____________________________ 4、如果曲面曲线的切方向的法曲率处处为零,就称该曲线为渐近线。曲面 z ? xy 2 渐 近线是_________________________________(给出渐近线的方程) 5、抛物面 z ? a( x 2 ? y 2 ) 在 (0,0) 的平均曲率为__________________ 6、曲面的第一基本形式 ds2 ?

专业:

du 2 ? dv2 2 ,则 ?12 ? __________________________ 2 2 2 (u ? v ? C )

? 7、曲面 r ? (u, v, u 2 ? v 2 ) 在 P(1,1, 2) 处的主方向为________________________________
得分 评阅人 二、 判断题: 5 题, (共 每题 3 分, 在括号里填写正确或错误) ( ( ) )

: 院(系)

1、柱面不是可展曲面.
? 2、正螺面 S : r (u, v) ? (u cosv, u sin v, av) 上无脐点.

3、曲面的第二基本形式与曲面的参数选取无关. 4、圆周是常曲率的. 5、高斯曲率是曲面的内蕴量. 得分 评阅人 三、计算题: (共 3 题,共 30 分)
?

( ( (

) ) )

1、 (8 分)曲线 C: r ? (t , sin t , ? (t )) 的主法线与 yOz 平面平行,是确定? (t ) .

2、 (8 分)找出双曲面 z ? axy 上的曲率线.

第 1 页(共 3 页)

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? 3、(14 分)已知正螺面 S : r (u, v) ? (u cosv, u sin v, av) ,(a > 0)

(1)求曲面 S 上曲线 C: u ? v ? 0 的曲率; (2) 求曲面 S 上 P(0,0) 点和 P(?1,1) 点沿曲线 C 的切方向的法曲率和曲线 C 的曲率.

得分

评阅人

四、证明题: (共 2 题,每题 10 分)

? ? 1、(10 分)已知曲面 S: r ? r (u, v) 的高斯曲率和平均曲率分别为 K 和 H,则曲面 S 的三

个基本形式满足:

KI-2HⅡ+Ⅲ=0 .

第 2 页(共 3 页)

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| PQ |?
?

1 1 ,则 Q 称为曲线在 P 点的曲率中心, 称为曲率半径. k k

证明:曲率为常数的空间曲线的曲率中心的轨迹仍然是曲率为常数的曲线.

2、(10 分)设曲线的曲率 k ? 0 .在曲线的 P 点处的主法向量的正向取一点 Q,使得

第 3 页(共 3 页)



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