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闸北最好的补习班新王牌 高中数学-抛物线知识


闸北新王牌 高二数学秋季
叫做抛物线的焦点,直线 l 叫做抛物线的准线. 二、抛物线的标准方程及几何性质 标准方程 图形 顶点 (0,0) 对称轴 焦点 ( 准线

抛物线

一、定义:平面内与一个定点 F 和一条定直线 l (定点 F 不在定直线 l 上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点 F

y 2 ?

2 px

x轴

p ,0) 2

x??

p 2

y 2 ? ?2 px

(0,0)

x轴

(-

p ,0) 2

x?

p 2

x 2 ? 2 py

(0,0)

y轴

(0,

p ) 2

y??

p 2

x 2 ? ?2 py

(0,0)

y轴

(0,-

p ) 2

y?

p 2

三、典型例题: 题型 1:抛物线定义的应用 例 1、 (2010?普陀区二模) 已知抛物线 x ? my ? 0 上的点到定点 ? 0, 4 ? 和到定直线 y ? ?4 的距离相等, 则m= (
2



A.

B.

C. 16 =4

D. ﹣16

解:根据抛物线定义可知,定点(0,4)为抛物线的焦点,∴ m=﹣16 故选 D

变式训练: (1)已知直线 l1 : 4 x ? 3 y ? 6 ? 0 和直线 l2 : x ? ?1 ,抛物线 y ? 4 x 上一动点 P 到直线 l1 和直线 l2 的距
2

离之和的最小值是_____ 解: 直线 l2: x=﹣1 为抛物线 y =4x 的准线, 由抛物线的定义知, P 到 l2 的距离等于 P 到抛物线的焦点 F (1, 2 0)的距离,故本题化为在抛物线 y =4x 上找一个点 P 使得 P 到点 F(1,0)和直线 l2 的距离之和最小,最 小值为 F(1,0)到直线 l2:4x﹣3y+6=0 的距离,即 d= , .
2

(2)已知动点 M 的坐标满足方程 5 x ? y ? 3x ? 4 y ? 12 ,则动点 M 的轨迹是( )
2 2

A. 椭圆 B. 双曲线 C. 抛物线 D. 以上都不对
1

解:由题意得: 即动点 到直线 的距离等于它到原点(0,0)的距离 为准线的抛物线。

由抛物线定义可知:动点 M 的轨迹是以原点(0,0)为焦点,以直线 故选 C。
2

例 2、 (2004?黄埔区一模)若以 ? y ? 2 ? ? 4 ? x ? 1? 上任一点 P 为圆心作与 y 轴相切的圆,那么这些圆必定过平面 内的点?( A、 ?1, ?2?
2

) B、 ? 3, ?2? C、 ? 2, ?2 ? D、不存在这样的点

解:先求得 y =4x 的焦点坐标为(1,0) ,准线方程为 x=﹣1 2 ∴抛物线(y+2) =4(x﹣1)的焦点为(2,﹣2) ,抛物线准线方程为 x=0 即 y 轴 ∵P 为圆心作圆与 y 轴相切,∴P 到准线即 y 轴的距离为半径,根据抛物线的定义可知 P 到抛物线焦点的距离等于 到准线的距离 ,∴P 到焦点的距离也是圆的半径 ∴抛物线的焦点必在圆上,故圆必过定点(2,﹣2) .故选 C 题型 2:抛物线的标准方程 例 3、已知抛物线 C 的顶点在原点,焦点 F 在 x 轴正半轴上,设 A、B 是抛物线 C 上的两个动点(AB 不垂直于 x 轴) , 但|AF|+|BF|=8,线段 AB 的垂直平分线恒经过定点 Q(6,0) ,求此抛物线的方程. 解 设抛物线的方程为 y =2 p x(p>0),其准线为 x=p p +x2+ =8,即 x1+x2=8-p. 2 2
2 2 2 2 2

p .设 A(x1,y1),B(x2,y2), 2

∵|AF|+|BF|=8,∴x1+

∵Q(6,0)在线段 AB 的中垂线上,∴|QA|=|QB|.即(x1-6) +y1 =(x2-6) +y2 , 2 2 又 y1 =2px1,y2 =2px2,∴(x1-x2)(x1+x2-12+2p)=0.∵AB 与 x 轴不垂直,∴x1≠x2, 故 x1+x2-12+2p=8- p-12+2 p=0,即 p=4.从而抛物线的方程为 y2=8x. 例 4、已知抛物线顶点在原点,焦点在坐标轴上,又知此抛物线上的一点 A? m, ?3? 到焦点 F 的距离为 5 ,求 m 的 值,并写出此抛物线的方程. 解 ①若抛物线开口方向向下,设抛物线方程为 x =-2py(p>0),这时准线方程为 y=
p 2 -(-3)=5,解得 p=4,∴抛物线方程为 x =-8y, 2
2

p , 2

由抛物线定义知

这时将点 A(m,-3)代入方程,得 m=±2 6 . ②若抛物线开口方向向左或向右,可设抛物线方程为 y =2ax (a≠0),从 p=|a|知准线方程可统一成 x=于是从题设有 ? ?2
?a ?m ?5
2

a 的形式, 2

?2am ? 9 ?

,解此方程组可得四组解

?a 3 ? 9 ?a1 ? 1 ? a 2 ? ?1 ? a 4 ? ?9 9 9 2 2 ? ? ? ? , , , ? ? 9 ? 9 ? 1 .∴y =2x,m= ;y =-2x,m=- ; 1 2 2 m ? m ? ? m ? ? m ? 3 ? 1 2 ? 2 ? 4 2 ? 2 2 ? ? ? ?

y =18x,m= ;y =-18x,m=- .
2

2

1 2

2

1 2

变式训练:已知当抛物线型拱桥的顶点距水面 2 米时,量的水面宽 8 米,当水面升高 1 米后,水面宽度是_____米。

题型 3:抛物线几何性质的应用 例 5、已知 F 是抛物线 y 2 ? x 的焦点, A, B 是该抛物线上的两点, AF ? BF ? 3 ,则线段 AB 的中点到 y 轴的距 离为______ 解:∵F 是抛物线 y =x 的焦点 设 A(x1,y1) 解得 ,
2

,F(

)准线方程 x= =3

B(x2,y2) ,∴|AF|+|BF|= ∴线段 AB 的中点横坐标为

∴线段 AB 的中点到 y 轴的距离为

变式训练: (1)过抛物线 y ? 4 x 焦点的直线 l 的倾斜角为
2

?
3

,且 l 与抛物线相交于 A、B 两点, O 为原点,那么

?AOB 的面积为



【答案】 【解析】略 【标题】山东省青岛第二中学 2014-2015 学年高二上学期期中模块考试数学(理)试卷 【结束】

3

(2)设抛物线 y 2 ? 2 x 的焦点为 F ,过点 M |BF|=2,则△ BCF 与△ ACF 的面积之比
2

?
=

3, 0 的直线与抛物线相交于 A, B 两点,与抛物线的准线相交于 C,


?

解:∵抛物线方程为 y =2x,∴焦点 F 的坐标为( ,0) ,准线方程为 x=﹣ 如图,设 A(x1,y1) ,B(x2, y2) ,过 A,B 分别向抛物线的准线作垂线,垂足分别为 E,N,则,|BN|=x2+ =x1+ =2,∴x2= 代入抛物线 y =2x,得,y2=﹣ ∴直线 AB 过点 方程为 x+( ﹣
2

把 x2= ,

, 与( ,﹣ )

)y﹣3=0,代入抛物线方程,解得,x1=2

∴|AE|=2+ = ,∵在△ AEC 中,BN∥AE,





=

=

故答案为 ,

例 6. (2010?大连一模)设 F 为抛物线 y =2px(p>0)的焦点,A、B、C 为该抛物线上三点,当 |FA|+|FB|+|FC|=3 时,此抛物线的方程为( A. y2=2x B. y2=4x ) D. y2=8x C. y2=6x 解:设向量 FA FB FC 分别为(x1,y1) (x2,y2) (x3,y3) 则 x1+x2+x3=0 |FA|+|FB|+|Fc|=3 ,XA=x1+ ,同理 XB=x2+ ,XC=x3+ ∴x1+x2+x3+3p=3 题型 4:抛物线中的最值问题
例 7、 坐标.
2

2

= 且



|FA|=x2+ + =x2+p

,∴p=1 ,∴抛物线方程为 y =2x ,故选 A

2

已知抛物线 y =2x 的焦点是 F,点 P 是抛物线上的动点,又有点 A(3,2) ,求|PA|+|PF|的最小值,并求出取最小值时 P 点的

4



将 x=3 代入抛物线方程 y =2x,得 y=± 6 .∵ 6 >2,∴A 在抛物线内部.
1 的距离为 d,由定义知|PA|+|PF|=|PA|+d, 2 7 7 ,即|PA|+|PF|的最小值为 , 2 2

2

设抛物线上点 P 到准线 l:x=-

当 PA⊥l 时,|PA|+d 最小,最小值为
2

此时 P 点纵坐标为 2,代入 y =2x,得 x=2,∴点 P 坐标为(2,2).

变式训练:已知过抛物线 y 2 ? 9 x 的焦点的弦 AB 长为 12,则直线 AB 倾斜角为 解:由结论二,12= 则 sin ? ? ?



9 (其中α 为直线 AB 的倾斜角) , sin 2 ?

? 2? 3 ,所以直线 AB 倾斜角为 或 。 3 3 2

例 8. (2013?北京朝阳区一模)抛物线 y =2px(p>0)的焦点为 F,已知点 A,B 为抛物线上的两个动点,且满足 ∠AFB=120°.过弦 AB 的中点 M 作抛物线准线的垂线 MN,垂足为 N,则 A. B. 1 C. 的最大值为( D. 2 )

2

解:设|AF|=a,|BF|=b,连接 AF、BF ,由抛物线定义,得|AF|=|AQ|,|BF|=|BP| 在梯形 ABPQ 中,2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b.由余弦定理得, |AB| =a +b ﹣2abcos120°=a +b +ab ,配方得,|AB| =(a+b) ﹣ab, 又∵ab≤( ) 2,∴(a+b) ﹣ab≥(a+b) ﹣ (a+b) = (a+b)
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

得到|AB|≥

(a+b) .以



=

,即

的最大值为



故选:A

题型 5:抛物线中的定值问题 例 9.已知过抛物线 y =2px(p>0)的焦点 F 的直线交抛物线于 A(x1,y1) ,B(x2,y2)两点,求证 为定值.
5
2

证明:设过焦点 F 的直线方程为 y=k(x﹣ ) 与 y =2px 联立消 y 得 ∴ ,

2





,x1x2= .∴|FA|=

,|FB|=





=

= .

例 10. (2009?杭州二模)如图,在直角坐标系 xOy 中,△ AiBiAi+1(i=1,2,…,n,…)为正三角形, . (1)求证:点 B1,B2,…,Bn,…在同一条抛物线上,并求该抛物线 C 的方程; (2)设直线 l 过坐标原点 O,点 B1 关于 l 的对称点 B′在 y 轴上,求直线 l 的方程; (3)直线 m 过(1)中抛物线 C 的焦点 F 并交 C 于 M、N,若 交于 E,求证: 的夹角为定值. ,抛物线 C 的准线 n 与 x 轴

解: (1)设 Bn(x,y) ,则

(2)由(1)得



(3)设 M,N 在直线 n 上的射影为 M',N', 则有: .

6

题型 6:抛物线中的定点问题 例 11.一个动圆的圆心在抛物线 y =8x 上,且动圆恒与直线 x+2=0 相切,则动圆必过定点( ) A. (0,2) B. (0,﹣2) C. (2,0) D. (4,0) 解:∵抛物线 y =8x 的准线方程为 x=﹣2,∴由题可知动圆的圆心在 y =8x 上,且恒与抛物线的准线相切, 由定义可知,动圆恒过抛物线的焦点(2,0) ,故选 C. 例 12. (2012?北京东城区模拟)已知顶点在坐标原点,焦点在 x 轴正半轴的抛物线上有一点 抛物线焦点的距离为 1. (1)求该抛物线的方程; (2)设 M(x0,y0)为抛物线上的一个定点,过 M 作抛物线的两条互相垂直的弦 MP,MQ,求证:PQ 恒过定点 (x0+2,﹣y0) . (3)直线 x+my+1=0 与抛物线交于 E,F 两点,在抛物线上是否存在点 N,使得△ NEF 为以 EF 为斜边的直角三角 形. 解: (1)由题意可设抛物线的方程为 y =2px,则由抛物线的定义可得
2 2 2 2 2

,A 点到



即 p=1,所以抛物线的方程为 y =2x. 2 2 (2) 由题意知直线 PQ 与 x 轴不平行, 设 PQ 所在直线方程为 x=my+n, 代入 y =2x 中得 y ﹣2my﹣2n=0. 所 以 y1+y2=2m,y1y=﹣2n,其中 y1,y2 分别是 P,Q 的纵坐标,因为 MP⊥MQ,所以 kMP?kMQ=﹣1. 即 ,所以(y1+y0) (y2+y0)=﹣4. , (﹣2n)+2my0+2x0+4=0,即 n=my0+x0+2. 所以直线 PQ 的方程为 x=my+my0+x0+2, 即 x=m(y+y0)+x0+2,它一定过定点(x0+2,﹣y0) . (3)假设 N(x0,y0)为满足条件的点,则由(2)知,点(x0+2,﹣y0)在直线 x+my+1=0 上, 的解, 消去 x 得 y ﹣2my+6=0,△ =4m ﹣24≥0 所以存在点 N 满足条件. 题型 7:抛物线中的定线问题 例 13.已知 P 为抛物线 y =4x 的焦点,过 P 的直线 l 与抛物线交与 A,B 两点,若 Q 在直线 l 上,且满足 ,则点 Q 总在定直线 x=﹣1 上.试猜测如果 P 为椭圆 与椭圆交与 A,B 两点,若 Q 在直线 l 上,且满足
2 2 2 2

的左焦点,过 P 的直线 l 上.

,则点 Q 总在定直线

解:由已知 P 为抛物线 y =4x 的焦点,过 P 的直线 l 与抛物线交与 A,B 两点, 若 Q 在直线 l 上,且满足 ,则点 Q 总在定直线 x=﹣1 上.
7

故满足条件的点在抛物线的直线上,则我们易类比推断出: 如果 P 为椭圆 的左焦点,过 P 的直线 l 与椭圆交与 A,B 两点,

若 Q 在直线 l 上,且满足 则点 Q 总在椭圆的左准线上,即直线方程为 题型 8:抛物线中的范围问题

, 故答案为: ,

例 14. (2011?山东)设 M(x0,y0)为抛物线 C:x =8y 上一点,F 为抛物线 C 的焦点,以 F 为圆心、|FM|为半径 的圆和抛物线 C 的准线相交,则 y0 的取值范围是( ) A.(0,2) B.[0,2] C.(2,+∞) D.[2,+∞) 解:由条件|FM|>4,由抛物线的定义|FM|=y0+2>4,所以 y0>2 ,故选 C 例 15.已知抛物线关于 x 轴对称,它的顶点是坐标原点,点 P(2,4) ,A(x1,y1) ,B(x2,y2)是抛物线上的三 点. (Ⅰ)求该抛物线的方程; (Ⅱ)若直线 PA 与 PB 的倾斜角互补,求线段 AB 中点的轨迹方程; (Ⅲ)若 AB⊥PA,求点 B 的纵坐标的取值范围. 解: (I)由已知条件,可设抛物线的方程为 y =2px, 2 ∵点 P(2,4)在抛物线上∴4 =2p×2,得 p=4, 2 故所求抛物线的方程是 y =8x. (II)设直线 PA 的斜率为 kPA,直线 PB 的斜率为 kPB 则 , ,
2

2

∵PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补,∴kPA=﹣kPB. 2 2 由 A(x1,y1) ,B(x2,y2)在抛物线上,得 y1 =8x1 (1) ,y2 =8x2 (2) , ∴ ,∴y1+4=﹣(y2+4) ,∴y1+y2 =﹣8.

设 AB 的中点坐标为(x,y) ,则 y=

=﹣4,x=

=

=

=

. 由题意知,y1<0,y2<0,

(﹣y1)+(﹣y2)=8>2 故线段 AB 中点的轨迹方程为 (III)由题意得 A(

,∴y1y2<16,∴ y=﹣4 ( x>2 ) . ,y2) ,故 kAP =



=2,即 x>2,

,y1) 、B(

=



8

由于 AB⊥AP,∴kAB =﹣(

) .又 KAB=

=



∴y1 +(y2+4)y1+4y2+64=0. 由△ ≥0,解得 y2≤﹣12 或 y2≥20,故点 B 的纵坐标的取值范围是 (﹣∞,12]∪[20,+∞) .

2

实战演练: 1. (2009?四川)已知直线 l1:4x﹣3y+6=0 和直线 l2:x=﹣1,抛物线 y =4x 上一动点 P 到直线 l1 和直线 l2 的距离之 和的最小值是( ) A. 2 B. 3 C. D. 解: 直线 l2: x=﹣1 为抛物线 y =4x 的准线, 由抛物线的定义知, P 到 l2 的距离等于 P 到抛物线的焦点 F (1, 2 0)的距离,故本题化为在抛物线 y =4x 上找一个点 P 使得 P 到点 F(1,0)和直线 l2 的距离之和最小,最 小值为 F(1,0)到直线 l2:4x﹣3y+6=0 的距离,即 d=
2 2 2

,故选 A.

2.已知点 F 为抛物线 y =﹣8x 的焦点,O 为原点,点 P 是抛物线准线上一动点,点 A 在抛物线上,且|AF|=4,则 |PA|+|PO|的最小值为( ) A. 6 B. C. D. 4+2 解:∵|AF|=4,由抛物线的定义得,∴A 到准线的距离为 4,即 A 点的横坐标为﹣2, 又点 A 在抛物线上,∴从而点 A 的坐标 A(﹣2,4) ;坐标原点关于准线的对称点的坐标为 B(4,0) ,则 |PA|+|PO|的最小值为:|AB|=
2

=

,故选 C.

3.若点 A 的坐标为(3,2) ,F 是抛物线 y =2x 的焦点,点 M 在抛物线上移动时,使|MF|+|MA|取得最小值的 M 的 坐标为( ) A. (0,0) B. C. D. (2,2) 解:由题意得 F( ,0) ,准线方程为 x=﹣ ,设点 M 到准线的距离为 d=|PM|,

则由抛物线的定义得|MA|+|MF|=|MA|+|PM|,故当 P、A、M 三点共线时,|MF|+|MA|取得最小值为|AP|=3 ﹣(﹣ )= .把 y=2 代入抛物线 y =2x 得 x=2,故点 M 的坐标是(2,2) ,故选 D. 4. (2010?福州模拟)抛物线 C 的顶点为原点,焦点在 x 轴上.直线 x﹣y=0 与抛物线 C 交于 A、B 两点,P(1,1) 为线段 AB 的中点,则抛物线 C 的方程为( ) 2 2 A. y=2x B. y =2x C. x2=2y D. y2=﹣2x 解:由题意可知 A,B 两点必有一点是原点不妨设 A(0,0) ∵P(1,1)为线段 AB 的中点,则点 B 为(2,2)且在抛物线上 , 设抛物线方程为 y =ax ,将 B 代入可得 a=2 ,∴抛物线方程为 y =2x ,故选 B. 2 5. (2012?奉贤区一模) 两个顶点在抛物线 y =2px (p>0) 上, 另一个顶点是此抛物线焦点, 这样的正三角形有 ( A. 4 个 B. 3 个 C. 2 个 D. 1 个
2 2 2


9

解:y =2px(P>0)的焦点 F( ,0)等边三角形的一个顶点位于抛物线 y =2px(P>0)的焦点,另外两 个顶点在抛物线上,则等边三角形关于 x 轴轴对称 两个边的斜率 k=±tan30°=± ,其方程为:y=± (x﹣ ) ,

2

2

每条直线与抛物线均有两个交点,焦点两侧的两交点连接,分别构成一个等边三角形.故这样的正三角形有 2 个,故选 C. 6. (2012?北京东城区二模)设 M(x0,y0)为抛物线 C:y =8x 上一点,F 为抛物线 C 的焦点,若以 F 为圆心,|FM| 为半径的圆和抛物线 C 的准线相交,则 x0 的取值范围是( ) A. (2,+∞) B. (4,+∞) C. (0,2) D. (0,4) 解:由条件以 F 为圆心,|FM|为半径的圆和抛物线 C 的准线相交,可得|FM|>4, 由抛物线的定义|FM|=x0+2>4,所以 x0>2 ,故选 A. 2 7. 如图, 过抛物线 y =2px (p>0) 的焦点 F 的直线 l 交抛物线于点 A、 B (|AF|>|BF|) , 交其准线于点 C, 若|BC|=2|BF|, 2 且|AF|=2,则此抛物线的方程为 y =2x .
2

解:设 A(x1,y1) ,B(x2,y2)由抛物线的定义,得|AF|= +x1=2, ∴x1=2﹣ ∵直线 l 交抛物线准线于点 C,|BC|=2|BF|,∴x2= , , 解之得 p=1,可得此抛物线的方程为 y =2x ,故答案为:y =2x , 的直线与抛物线相交于 A, B 两点, 与抛物线的准线相交于 C, = .
2 2

由抛物线的性质,得 x1x2= (2﹣ )= 8. 设抛物线 y =2x 的焦点为 F, 过点 |BF|=2,则△ BCF 与△ ACF 的面积之比
2 2

解:∵抛物线方程为 y =2x,∴焦点 F 的坐标为( ,0) ,准线方程为 x=﹣ 如图,设 A(x1,y1) ,B(x2, y2) ,过 A,B 分别向抛物线的准线作垂线,垂足分别为 E,N,则,|BN|=x2+ =x1+ =2,∴x2= 代入抛物线 y =2x,得,y2=﹣ ∴直线 AB 过点 方程为 x+( ﹣
2

把 x2= ,

, 与( ,﹣ )

)y﹣3=0,代入抛物线方程,解得,x1=2

∴|AE|=2+ = ,∵在△ AEC 中,BN∥AE,





=

=

故答案为 ,

10

9. (2008?湖南)若 A、B 是抛物线 y =4x 上的不同两点,弦 AB(不平行于 y 轴)的垂直平分线与 x 轴相交于点 P, 则称弦 AB 是点 P 的一条“相关弦”.已知当 x>2 时,点 P(x,0)存在无穷多条“相关弦”.给定 x0>2. (I)证明:点 P(x0,0)的所有“相关弦”中的中点的横坐标相同; (II)试问:点 P(x0,0)的“相关弦”的弦长中是否存在最大值?若存在,求其最大值(用 x0 表示) :若不存在, 请说明理由. 解: (I)设 AB 为点 P(x0,0)的任意一条“相关弦”,且点 A、B 的坐标分别是 2 2 (x1,y1) 、 (x2,y2) (x1≠x2) ,则 y 1=4x1,y 2=4x2, 两式相减得(y1+y2) (y1﹣y2)=4(x1﹣x2) .因为 x1≠x2,所以 y1+y2≠0、 设直线 AB 的斜率是 k,弦 AB 的中点是 M(xm,ym) ,则 k= .从而 AB 的垂直平分线 l 的方程为

2

又点 P(x0,0)在直线 l 上,所以

而 ym≠0,于是

xm=x0﹣2.故点 P(x0,0)的所有“相关弦”的中点的横坐标都是 x0﹣2. 2 (Ⅱ)由(Ⅰ)知,弦 AB 所在直线的方程是 y﹣ym=k(x﹣xm) ,代入 y =4x 中, 2 2 2 整理得 k x +2[k(ym﹣kxm)﹣2]x+(ym﹣kxm) =0. (?) 则 x1、x2 是方程的两个实根,且 设点 P 的“相关弦”AB 的弦长为 l,则 l =(x1﹣x2) +(y1﹣y2) =(1+k ) (x1﹣x2) =(1+k )[(x1+x2) 2 2 2 ﹣4x1x2]=4(1+k ) (xm ﹣x1x2)
2 2 2 2 2 2

=

=(4+ym ) (4xm﹣ym )=﹣ym +4ym (xm﹣1)+16xm 2 2 2 2 2 2 =4(xm+1) ﹣[ym ﹣2(xm﹣1)] =4(x0﹣1) ﹣[ym ﹣2(x0﹣3)] . 2 2 因为 0<ym <4xm=4(xm﹣2)=4x0﹣8,于是设 t=ym ,则 t∈(0,4x0﹣8) . 2 2 2 记 l =g(t)=﹣[t﹣2(x0﹣3)] +4(x0﹣1) . 2 若 x0>3,则 2(x0﹣3)∈(0,4x0﹣8) ,所以当 t=2(x0﹣3) ,即 ym =2(x0﹣3)时, l 有最大值 2(x0﹣ 1) . 若 2<x0<3,则 2(x0﹣3)≤0,g(t)在区间(0,4x0﹣8)上是减函数,
11

2

2

4

2

所以 0<l <16(x0﹣2) ,l 不存在最大值. 综上所述,当 x0>3 时,点 P(x0,0)的“相关弦”的弦长中存在最大值,且最大值 为 2(x0﹣1) ;当 2<x0≤3 时,点 P(x0,0)的“相关弦”的弦长中不存在最大值. 2 10.已知抛物线方程 C:y =2px(p>0) ,点 F 为其焦点,点 N(3,1)在抛物线 C 的内部,设点 M 是抛物线 C 上 的任意一点, (1)求抛物线 C 的方程; (2)过点 F 作直线 l 与抛物线 C 交于不同两点 A、B,与 y 轴交于点 P,且 否为定值?若是定值,求出该定值并证明;若不是定值,请说明理由. 解: (1) 准线方程为
2

2

的最小值为 4.

,试判断 λ1+λ2 是

, 点 M 到 l 的距离设为 d, 由抛物线定义,



p=2,所以 y =4x. (2)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,F(1,0) 由题意知直线 l 的斜率 k 存在且不等于 0, 设 l:y=k(x﹣1) ,则 P(0,﹣k) , 由 知(1,k)=λ1(x1﹣1,y1)=λ2(x2﹣1,y2)∴k=λ1y1=λ2y2∵k≠0,





将 y=k(x﹣1)代入 y =4x 得

2









为定值.

12


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