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2015-2016学年高中数学 模块综合检测卷 苏教版必修5


模块综合检测卷
(测试时间:120 分钟 评价分值:150 分) 一、选择题(每小题共 10 个小题,每小题共 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项 中,只有一项符合题目要求)

1.已知{an}为等比数列,a4+a7=2,a5a6=-8,则 a1+a10=(D) A.7 B.5 C.-5 D.-7 解析:∵{an}为等比数列,∴a4a7=a

5a6=-8.又
?a4=4, ? ?a4=-2, ? a4+a7=2,∴? 或? ?a7=-2 ? ?a7=4. ?

当 a4=4,a7=-2 时,a1=-8,a10=1,∴a1+a10=-7; 当 a4=-2,a7=4 时,a10=-8,a1=1,∴a1+a10=-7. 综上,a1+a10=-7. 2.某人投资 10 000 万元,如果年收益利率是 5%,按复利计算,5 年后能收回本利和为 (B) A.10 000?(1+5?5%) B.10 000?(1+5%)
4 5

1.05?(1-1.05 ) 1.05?(1-1.05 ) C.10 000? D.10 000? 1-1.05 1-1.05 解析:注意与每年投入 10 000 万元区别开来. 5 3 3.在△ABC 中,已知 cos A= ,sin B= ,则 cos C 的值为(A) 13 5 A. C. 16 56 B. 65 65 16 56 16 或 D.- 65 65 65

5

5 12 3 解析:∵cos A= >0,∴sin A= >sin B= . 13 13 5 4 16 ∴B 为锐角,故 cos B= .从而 cos C=-cos(A+B)=-cos Acos B+sin Asin B= . 5 65 4.若 a<b<0,d>c>0,则不等式①ad>bc;② > ;③a >b ;④a-d<b-c 中正确的个数 是(C) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
1

c c a b

2

2

解析:①错,②③④正确.将 a<b<0 转化为-a>-b>0,可得(-ad)>(-bc),即 ad<bc, 1 1 2 故知①错;由 a<b<0? > ,c>0,故②正确;因为函数 y=x 在(-∞,0)上单调递减,故③

a b

正确;由 d>c>0,得-d<-c<0,故知 a-d<b-c,故④正确. 5.设 x,y ∈R ,且 xy-(x+y)=1,下列结论中正确的是(A) A.x+y≥2 2+2 B.xy≤ 2+1 C.x+y≤( 2+1)
2 +

D.xy≥2 2+2

解析: ∵1+x+y=xy≤?

?x+y? ,∴(x+y)2-4(x+y)-4≥0.即 x+y≥2(1+ 2)(当 x ? ? 2 ?

2

=y=1+ 2时等号成立),x+y 的最小值为 2(1+ 2). 6.数列{an}的通项公式为 an=ncos A.1 006 B.1 008 C.-1 006 D.-1 008 解析:由 an=ncos


2

,其前 n 项和为 Sn,则 S2 015 等于(D)


2

可得

S2 015=1?0-2?1+3?0+4?1+…-2 014?1+2 015?0=-2+4-6+…-2 010
+2 012-2 014=2?503-2 014=-1 008. 7.已知方程 x +(m+2)x+m+5=0 有两个正实根,则实数 m 的取值范围是(D) A.(-∞,-2) B. (-∞,-4] C.(-5,+∞) D.(-5,-4] 解析:方程两根为正,则 Δ ≥0, ? ? ?-(m+2)>0,? -5<m≤-4. ? ?m+5>0 8.已知-1<a+b<3 且 2<a-b<4,则 2a+3b 的取值范围是(D)
2

? 13 17? A.?- , ? ? 2 2? ? 7 13? C.?- , ? ? 2 2?

? 7 11? B.?- , ? ? 2 2? ? 9 13? D.?- , ? ? 2 2?

解析:用待定系数法可得 5 1 2a+3b= (a+b)- (a-b), 2 2

2

5 5 15 - < (a+b)< , ? 2 ?-1<a+b<3, ? 2 2 ? 由? ?? ? 1 ?2<a-b<4 -2<- (a-b)<-1. ? ? 2 9 13 两式相加即得- <2a+3b< . 2 2 9.已知锐角三角形的边长分别是 2,3,x,则 x 的取值范围是(B) A.(1, 3) B.( 5, 13) C.(0, 5) D.( 13,5)
2 2 2

2 +3 -x >0, ? ? 2 2 2 解析:由三角形的三个角为锐角,结合余弦定理的推论可知,?2 +x -3 >0,解得 5< ? ?32+x2-22>0,

x2<13,即 5<x<

13.
2

10.已知函数 f(x)=ax +2ax+4(a>0),若 x1<x2,x1+x2=0,则(A) A.f(x1)<f(x2) B.f(x1)=f(x2) C.f(x1)>f(x2) D.f(x1)与 f(x2)的大小不能确定 解析:函数 f(x)=ax +2ax+4(a>0),二次函数的图象开口向上,对称轴为 x=-1,
2

a>0,又∵x1+x2=0,x1 与 x2 的中点为 0,x1<x2,∴x2 到对称轴的距离大于 x1 到对称轴的距
离. ∴f(x1)<f(x2),故选 A. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横 线上) 11.(2013?新课标全国卷Ⅰ)已知锐角△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, 23cos A+cos 2A=0,a=7,c=6,则 b=________. 解析:先求出角 A 的余弦值,再利用余弦定理求解. 由 23cos A+cos 2A=0 得 23cos A+2cos A-1=0, 1 解得 cos A=± . 5 1 ∵A 是锐角,∴cos A= . 5 又 a =b +c -2bccos A, 1 2 ∴49=b +36-2?b?6? . 5 13 ∴b=5 或 b=- . 5 又∵b>0,∴b=5. 答案:5 12.(2013?陕西卷)观察下列等式:1 =1,1 -2 =-3,1 -2 +3 =6,1 -2 +3 -
3
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

4 =-10,…,照此规律,第 n 个等式可为____________. 解析:当 n 为偶数时,(1 -2 )+(3 -4 )+…+[(n-1) -n ]=-
2 2 2 2 2 2

2

n(n+1)
2



(n-1)n 2 2 2 2 2 2 2 2 当 n 为奇数时,(1 -2 )+(3 -4 )+…+[(n-2) -(n-1) ]+n =- +n = 2

n(n+1)
2

.
2 2 2 2

答案:1 -2 +3 -4 +…+(-1)

n+1 2

n(n+1) n =(-1)n+1
2

y≤1, ? ? 13.若变量 x,y 满足约束条件?x+y≥0, 则 z=x-2y 的最大值为________. ? ?x-y-2≤0,

1 z 解析:作出可行域(如图),由 z=x-2y 得 y= x- ,则当目标函数过 C(1,-1)时 z 2 2 取得最大值,所以 zmax=1-2?(-1)=3.

答案:3 14 . 若 a > b > 0 , m > 0 , n > 0 , 则 , , __________________________. 解析:用特殊值法或作差比较法都很容易得出答案. 答案: >

b a

a b

b+m a+n , 由大到小的顺序是 a+m b+n

a a+n b+m b > > b b+n a+m a

三、解答题(本题共 6 小题,共 80 分.解答题应写出文字说明、证明过程或推演步骤) 15.(本小题满分 12 分)等差数列{an}不是常数列,a5=10,且 a5,a7,a10 是某一等比 数列{bn}的第 1,3,5 项. (1)求数列{an}的第 20 项; (2)求数列{bn}的通项公式.
4

解析:(1)设数列{an}的公差为 d,则 a5=10,a7=10+2d,a10=10+5d. 因为等比数列{bn}的第 1、3、5 项成等比数列, 所以 a7=a5a10,即(10+2d) =10(10+5d). 解得 d=2.5,d=0(舍 去). 所以 a20=47.5.
2 2

b3 a7 3 2 (2)由(1)知{an}为各项非负的数列,所以 q = = = .∴q=± b1 a5 2
∴bn=b1q
n-1

3 .又 b1=a5=10, 2

n-1 ?3? * =±10?? ? 2 ,n∈N . ?2?

16.(本小题满分 12 分)(2013?北京卷)在△ABC 中,a=3,b=2 6,∠B=2∠A. (1)求 cos A 的值; (2)求 c 的值. 解析:(1)由正弦定理得: 3 2 6 6 = ,解得 cos A= . sin A sin 2A 3 (2)由 cos A= 6 3 ? sin A= ,又∠B=2∠A, 3 3

1 2 2 2 ∴cos B=2cos A-1= .∴sin B= , 3 3 sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B= ∴c= 3 1 6 2 2 5 3 ? + ? = . 3 3 3 3 9

asin C =5. sin A

? 1 1? 2 17.(本小题满分 14 分)已知关于 x 的不等式 ax +2x+c>0 的解集为?- , ?,求- ? 3 2?
cx2+2x-a>0 的解集.
1 1 ? 1 1? 2 2 解析:由 ax +2x+c>0 的解集为?- , ?知 a<0,- 和 是方程 ax +2x+c=0 的两 3 2 ? 3 2? 1 1 2 1 1 c 2 个根,由韦达定理- + =- ,- ? = ,解得 a=-12,c=2,∴-cx +2x-a>0,即 3 2 a 3 2 a -2x +2x+12>0 亦即 x -x-6<0. 其解集为(-2,3). 18.(本小题满分 14 分)某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐.已知一个单位的午餐 含 12 个单位的碳水化合物、6 个单位的蛋白质和 6 个单位的维生素 C;一个单位的晚餐含 8 个单位的碳水化合物、6 个单位的蛋白质和 10 个单位的维生素 C.另外,该儿童这两餐需要 的营养中至少含 64 个单位的碳水化合物、42 个单位的蛋白质和 54 个单位的维 生素 C.如果
5
2 2

一个单位的午餐、晚餐的费用分别是 2.5 元和 4 元,那么要满 足上述的营养 要求,并且花 费最少,应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐? 解析: 方法一 设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为 x 个单位和 y 个单位, 所花的 费用为 z 元,则依题意得:z=2.5x+4y,且 x,y 满足

x≥0,y≥0, x≥0,y≥0, ? ? ?12x+8y≥64, ?3x+2y≥16, ?6x+6y≥42, 即?x+y≥7, ? ?6x+10y≥54, ? ?3x+5y≥27. z 在可行域的四个顶点 A(9,0),B(4,3),C(2,5),D(0,8)处的值分别是 zA=2.5?9+4?0=22.5, zB=2.5?4+4?3=22, zC=2.5?2+4?5=25, zD=2.5?0+4?8=32.
比较之,zB 最小,因此,应当为该儿童预订 4 个单位的午餐和 3 个单位的晚餐,就可满 足要求. 方法二 设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为 x 个单位和 y 个单位, 所花的费用为

z 元,则依题意得 z=2.5x+4y,且 x,y 满足 x≥0,y≥0, x≥0,y≥0, ? ? ?12x+8y≥64, ?3x+2y≥16, ?6x+6y≥42, 即?x+y≥7, ? ?6x+10y≥54, ? ?3x+5y≥27.
作出平行域如下图所示.

6

让目标函数表示的直线 2.5x+4y=z 在可行域上平移,由此可知 z=2.5x+4y 在 B(4, 3)处取得最小值. 因此 ,应当为该儿童预订 4 个单位的午餐和 3 个单位的晚餐,就可满足要求. 19.(本小题满分 14 分)如右图,某观测站 C 在城 A 南偏西 20°的方向上,由 A 城出发 有一条公路,走向是南偏东 40°,在 C 处测得距 C 为 31 千米的公路上 B 处有一人正沿公路 向 A 城走去,走了 20 千米后,到达 D 处,此时 C、D 间距离为 21 千米,问这人还需走多少 千米到达 A 城?

7

解析:根据题意,可得下图,

其中 BC=31 千米, BD=20 千米, CD=21 千米, ∠CAD=60°.设∠ACD=α , ∠CDB=β . 在△CDB 中,由余弦定理得: cos β =

CD2+BD2-BC2 212+202-312 1 = =- , 2CD?BD 2?21?20 7
2

sin β = 1-cos β =

4 3 . 7

sin α =sin(180°-∠CAD-∠CDA) =sin(180°-60°-180°+β ) =sin(β -60°) =sin β cos 60°-cos β sin 60° 4 3 1 1 3 = ? + ? 7 2 7 2 5 3 = . 14 在△ACD 中,由正弦定理得:

AD=

CD

sin A

21 5 3 ?sin α = ? =15. sin 60° 14

此人还得走 15 千米到达 A 城. 20.(本小题满分 14 分)数列{an}中,a1=8,a4=2 且满足 an+2=2an+1-an,n∈N . (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 Sn=|a1|+|a2|+…+|an|,求 Sn; (3)设 bn= 1
*

n(12-an)
*

(n∈N ),Tn=b1+b2+…+bn(n∈N ),是否存在最大的整数 m,

*

*

使得对任意 n∈N ,均有 Tn>

m
32

成立?若存在,求出 m 的值;若不存在,请说明理由.

8

解析:(1)由 an+2=2an+1-an? an+2-an+1=an+1-an, 可知{an}成等差数列,d=

a4-a1
4-1

=-2,

∴an=8+(n-1)?(-2)=10-2n(n∈N). (2)由 an=10-2n≥0 得 n≤5, ∴当 n≤5 时,Sn=-n +9n.当 n>5 时,
2

Sn=|a1|+|a2|+…+|an|
=a1+a2+…+a5-a6-a7-…-an =2(a1+a2+…+a5)-(a1+a2+…+an) =n -9n+40.
?-n +9n,1≤n≤5, ? 故 Sn=? 2 ?n -9n+40,n≥5. ?
2 2

(3)bn=

? ? n(12-an) n(2n+2) 2?n n+1?


1

1

1 ? 1?1 = - .

∴Tn=b1+b2+…+bn 1?? 1? ?1 1? ?1 1? = ??1- ?+? - ?+? - ?+…+ 2?? 2? ?2 3? ?3 4?

? 1 -1?+?1- 1 ?? ?n-1 n? ?n n+1?? ? ? ? ??
1 ? 1? = ?1- ? n + 1? 2?

n n-1 = > =Tn-1>Tn-2>…T1. 2(n+1) 2n m m 1 ∴要使 Tn> 总成立,需 <T1= 恒成立, 32 32 4
即 m<8(m∈Z).故适合条件的 m 的最大值为

9


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