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2013高考数学必备经典例题:1集合建议逻辑


集 合

1.元素与集合的关系: 用 ? 或 ? 表示; 2.集合中元素具有 确定性、无序性、互异性. 3.集合的分类: ①按元素个数分: 有限集, 无限集; ②按元素特征分;数集,点集。如 数集{y|y=x2},表示非负实数集,点 集{(x,y)|y=x2}表示开口向上,以 y 轴为对称轴的抛物线; 4.集合的表示法: ①列举法: 用来表示有限集或具有 显著规律的无限集,如 N+={0,1, 2,3,…}; ②描述法 ③字母表示法:常用数集的符号: 自然数集 N;正整数集 N 或N ? ;
*

例 1 下列关系式中正确的是( (A) ? ? ??? (C)0 ? ??? 例2 ?

(B) 0 ? ???



(D)0 ? ???

例 3 设 A ? ?4, 2a ? 1, a 2 , B ? ?9, a ? 5,1 ? a? , 已知 A ? B ? ?9? ,求实数 a 的值.

?x ? y ? 3 解集为______. ?2 x ? 3 y ? 1

?

?

子 集

整数集 Z;有理数集 Q、实数集 R; 集合与集合的关系:用 ? , ? ,=表 ? 示;A 是 B 的子集记为 A ? B;A 是 B 的真子集记为 A ? B。 ? ①任何一个集合是它本身的子集, 记为 A ?

例 4 设 M ? x x ? x ? 2 ? 0, x ? R ,a=lg(lg10),
2

?

?

则{a}与 M 的关系是( ) (A){a}=M (B)M ? {a} (C){a} ? M (D)M ? {a} 例 5 集合 A={x|x=3k-2,k∈Z},B={y|y=3n+1, n∈Z},S={y|y=6m+1,m∈Z}之间的关系是( ) (A)S ? B ? A (B)S=B ? A (C)S ? B=A (D)S ? B=A

A ;②空集是任何集合 的子集,记为 ? ? A ;空集是任
何非空集合的真子集; ③如果 A ? B ,同时 B ? A ,那 么 A = B;如果 A ? B, ? C, B 那么A ? C .④n 个元素的子集有 2n 个; 个元素的真子集有 2n -1 n 个;n 个元素的非空真子集有 2n -2 个. 交 、 并 、 补 1.交集 A∩B={x|x∈A 且 x∈B}; 并集 A∪B={x|x∈A,或 x∈B}; 补集 CUA={x|x∈U,且 x ? A} , 集合 U 表示全集. 2.集合运算中常用结论: ① A ? B ? A? B ? A ;

? = 茌 例 6 用适当的符号 (?、 、 、 、 ) 填空:
①π ___ Q ;②{3.14}____ Q ;③ R ? ∪R+_____R; ④{x|x=2k+1, k∈Z}___{x|x=2k-1, k∈Z}。 例 7 已知全集 U={2,4,1-a} ,A={2,a2-a+2} 如果 ? A ? ??1? ,那么 a 的值为____. U 例 8 设集合 A={x|x∈Z 且-10≤x≤-1},B={x|x∈Z, 且|x|≤5},则 A∪B 中的元素个数是( ) (A)11 (B)1 (C)16 (D)15 例 9 已知 A={ m |

m?4 x?3 ? Z },B={x| ? N }, 2 2

A ? B ? A? B ? B
② 痧( A ? B) ? ( U A) ? ( U B) ; U
痧( A ? B) ? ( U A) ? ( U B) U

则 A∩B=__________。 例 10 已知集合 M={y|y=x2+1,x∈R},N={y|y=x+1, x∈R},求 M∩N。

③ card ( A ? B) ? card ( A) ?

card ( B) ? card ( A ? B)



例 11 若 A ={(x,y)| y =x+1},B={y|y =x2+1},

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、 并 、 补

则 A∩B =_____. 例 12 设全集 U ? R, A ? {x x ≤ 6} , 则 A ? (?U A) ? _____, A ? (?U A) ? _____ . 例 13 设全集 U = {1,2,3,4,5,6,7,8}, A = {3,4,5} B = {4,7,8}, 求: U A)∩(CU B), (CU A)∪(CU B), (C CU(A∪B), CU (A∩B). 1.绝对值不等式的解法: x ? a(a ? 0) 的解集是 ? x ? a ? x ? a, a ? 0? ;
x ? a(a ? 0) 的解集是 ? x x ? a或x ? ?a, a ? 0?

不 等 式

⑴公式法: f ( x) ? g ( x) ? f ( x) ? g ( x)或f ( x) ? ? g ( x) , f ( x) ? g ( x) ? ? g ( x) ? f ( x) ? g ( x) . (2)几何法 (3)定义法(利用定义打开绝对值) (4)两边平方 2、 一元二次不等式 ax ? bx ? c ? 0(a ? 0) 或 ax ? bx ? c ? 0(a. ? 0) 的求解原理: 利用 二次函数的图象通过二次函数与二次不等式的联系从而推证出任何一元二次不等式的解 集。
2 2

??0

??0

??0
y ? ax2 ? bx ? c

二次函数
y ? ax2 ? bx ? c

y ? ax2 ? bx ? c

y ? ax2 ? bx ? c

( a ? 0 )的 图象 一元二次方 程

有两相异实根
x1 , x2 ( x1 ? x2 )

有两相等实根
x1 ? x2 ? ? b 2a

? a ? 0 ?的根
ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0)的解集

ax2 ? bx ? c ? 0

无实根

?x x ? x 或x ? x ?
1 2

? b? ?x x ? ? ? 2a ? ?

R

ax 2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0)的解集

?x x

1

? x ?x2?

?

?

注:分式、高次不等式的解法:标根法 不 等 式
2 14.不等式 x ? ax ? b ? 0 的解集是 x 2 ? x ? 3 ,则 a ? ____, b ? ____.

?

?

15.分式不等式 x ? 3 ? 0 的解集为:___________________.
x?7

16.求使

3? x 2x ? 1 ? 4

有意义的 取值范围.

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不 等 式

17.解不等式:|4x-3|>2x+1.

18.解不等式:|x-3|-|x+1|<1.

19.解不等式:

2 ? 4x ≥ x ?1. x ? 3x ? 2
2

20.已知方程 2(k+1) x 2 +4kx+3k-2=0 有两个负实根,求实数 k 的取值范围.

命 题

1.命题分类:真命题与假命题,简 单命题与复合命题; 2.复合命题的形式: p 且 q,p 或 q,非 p; (“或”“且”“非”这些词叫做 、 、 逻辑联结词; 不含有逻辑联结词的 命题是简单命题; 由简单命题和逻 辑联结词“或”“且” 、 、 “非”构成的命题是复合命题。) ①“p 且 q”形式复合命题当 P 与 q 同为真时为真,其他情况时为假 即当 q、p 为真时,p 且 q 为真; 当 p、q 中有一个为假时,p 且 q 为假。 ②“p 或 q”形式复合命题当 p 与 q 同为假时为假,其他情况时为真 即当 p、q 均为假时,p 或 q 为假; 当 p、q 中有一个为真时,p 或 q 为真; ③“非 p”形式复合命题的真假与

例 21 写出命题: “若 x + y = 5 则 x = 3 且 y = 2”的逆 命题否命题逆否命题,并判断它们的真假。

例 22:“若 a ? b ? 5,则a ? 2或b ? 3 ” 是____命题.(填 真、假) 例 23 命题“若 ab=0,则 a、b 中至少有一个为零”的逆 否命题为____________。 例 24:用反证法证明:已知 x、y∈R,x+y≥2,求 证 x、 y 中至少有一个不小于 1。

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p 的真假相反即当 p 为真时,非 p 为假;当 p 为假时,非 p 为真。

命 题

3.四种命题:记“若 q 则 p”为原命 题,则否命题为“若非 p 则非 q”, 逆命题为“若 q 则 p“, 逆否命题为” 若非 q 则非 p“。其中互为逆否的 两个命题同真假,即?。

例 25 已知 c ? 0. 设 P: 函数 y ? c 在 R 上单调递减. Q :
x

不等式 x? | x ? 2c |? 1的 解集为 R, 如果 P 和 Q 有且仅 有一个正确,求 c 的取值范围.

充 分 条 件 与 必 要 条 件

①一个命题的否命题为真, 它的逆 命题一定为真. (否命题 ? 逆命 题.)②一个命题为真,则它的逆 否命题一定为真.( 原命题 ? 逆 否命题.) 4.反证法是中学数学的重要方法。 会用反证法证明一些代数命题。 充分条件与必要条件 1.定义:①当“若 p 则 q”是真命题 时,p 是 q 的充分条件,q 是 p 的 必要条件;②当“若 p 则 q”的逆命题 为真时,q 是 p 的充分条件,p 是 q 的必要条件;③当“若 p 则 q”, “若 q 则 p”均为真时, p 是 q 的充要 称 条件; 2.在判断充分条件及必要条件时, 首先要分清哪个命题是条件, 哪个 命题是结论,其次,结论要分四种 情况说明:充分不必要条件,必要 不充分条件,充分且必要条件,既 不充分又不必要条件。 从集合角度 看, 若记满足条件 p 的所有对象组 成集合 A, 满足条件 q 的所有对象 组成集合 q,则①当 A ? B 时,p 是 q 的充分条件;②B ? A 时,p 是 q 的充分条件;③A=B 时,p 是 q 的 充要条件; 注: ⑴当 p 和 q 互为充要时, 体现 了命题等价转换的思想。 ⑵小范围推出大范围; 大范围推不 出小范围.

? 5 ____ x ? 5或x ? 2 .(填 ?, ? ,?) 例 27:条件甲: x ? 1且y ? 2 ;条件乙: x ? y ? 3 , 则乙
例 26: x 是甲的_____条件. 例 28“α≠β”是 cosα≠cosβ”的( ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 例 29 已知 p:方程 x2+ax+b=0 有且仅有整数解,q:a, b 是整数,则 p 是 q 的( ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分又不必要条件

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答案 例 1 选 A; 例 2 填{(2,1)} 注:方程组解的集合应是点集.

例 3 解:∵ A ? B ? ?9? ,∴ 9 ? A .⑴若 2a ?1 ? 9 ,则 a ? 5 ,此时 A ? ??4,9,25? , B ? ?9,0, ?4? ,

A ? B ? ?9, ?4? ,与已知矛盾,舍去.⑵若 a 2 ? 9 ,则 a ? ?3 ①当 a ? 3
时, A ? ??4,5,9? , B ? ??2, ?2,9? .B 中有两个元素均为 ?2 ,与集合中元素的互异性矛盾,应 舍去.②当 a ? ?3 时, A ? ??4, ?7,9? , B ? ?9, ?8, 4? ,符合题意.综上所述, a ? ?3 . [点评]本题考查集合元素基本特征──确定性、互异性、无序性,切入点是分类讨论思想, 由于集合中元素用字母表示,检验必不可少。 例 4C 例 5C 例 6①?,② ? ,③ ? ,④

例7填2 例 8C 例 9? 2 例 10 解:∵M={y|y=x +1,x∈R}={y|y≥1},N={y|y=x+1,x∈R}={y|y∈R}∴ M∩N=M={y|y≥ 1} 注:在集合运算之前,首先要识别集合,即认清集合中元素的特征。M、N 均为数集,不能 误认为是点集,从而解方程组。其次要化简集合。实际上,从函数角度看,本题中的 M,N 分别是二次函数和一次函数的值域。一般地,集合{y|y=f(x),x∈A}应看成是函数 y=f(x)的值域, 通过求函数值域化简集合。此集合与集合{(x,y)|y=x2+1,x∈R}是有本质差异的,后者是点 集,表示抛物线 y=x2+1 上的所有点,属于图形范畴。集合中元素特征与代表元素的字母无关, 例如{y|y≥1}={x|x≥1}。 例 11 填 ? 注:点集与数集的交集是 ? . 例 12 埴 ? ,R 例 13 解:∵CU A = {1,2,6,7,8} ,CU B = {1,2,3,5,6}, ∴(CU A)∩(CU B) = {1,2,6} ,(CU A)∪(CU B) = {1,2,3,5,6,7,8}, ? A∪B = {3,4,5,7,8},A∩B = {4},∴ CU (A∪B) = {1,2,6} ,CU (A∩B) = {1,2,3,5,6,7,8} 例 14 a ? 5, b ? ?6 ; 例 15 原不等式的解集是 ?x | ?7 ? x ? 3? 例 16 ? x ? R | ?3 ≤ x ? ? 或

? ?

5 2

3 ? ? x ≤ 3? 2 ?
?4 x ? 3 ? 2 x ? 1 ?4 x ? 3 ? 0 , 或? ??(4 x ? 3) ? 2 x ? 1

例 17 分析:关键是去掉绝对值.方法 1:原不等式等价于 ?4 x ? 3 ≥ 0 ?

3 ? 3 ?x ? ? 1 1 x≥ ? 4 ,∴x>2 或 x< ,∴原不等式的解集为{x| x>2 或 x< }.方法 2:(整体换 即? 或? 4 ? 3 3 ?x ? 2 ?x ? 1 ? ? 3 ?

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元转化法)分析: 把右边看成常数 c, 就同 ax ? b ? c(c ? 0) 一样∵|4x-3|>2x+1 ? 4x-3>2x+1 或 4x-3<-(2x+1) ? x>2 或 x<

1 1 ,∴原不等式的解集为{x| x>2 或 x< }. 3 3

例 18 分析:关键是去掉绝对值. 方法 1:零点分段讨论法(利用绝对值的代数定义) ①当 x ? ?1时, x ? 3 ? 0, x ? 1 ? 0 ∴ ? ( x ? 3) ? ( x ? 1) ? 1 ∴4<1 ? x ? ? ②当 ?1≤ x ? 3 时∴ ? ( x ? 3) ? ( x ? 1) ? 1 ? x ?

1 1 ,∴ {x | ? x ? 3} 2 2

③当 x≥ 3 时∴ ( x ? 3) ? ( x ? 1) ? 1 ? -4<1 ? x ? R ∴ {x | x≥ 3} 综上,原不等式的解集为 {x | x ? } 也可以这样写: 解:原不等式等价于① ? x ? ?1 ?
?? ( x ? 3) ? ( x ? 1) ? 1

1 2

或② ?? 1 ? x ? 3 ?

?? ( x ? 3) ? ( x ? 1) ? 1

或 ③ ?x ? 3 ?

?( x ? 3) ? ( x ? 1) ? 1

,解

①的解集为 φ,②的解集为{x|

1 1 <x<3},③的解集为{x|x ? 3},∴原不等式的解集为{x|x> }. 2 2

方法 2:数形结合:从形的方面考虑,不等式|x-3|-|x+1|<1 表示数轴上到 3 和-1 两点的距离 之差小于 1 的点
-1 O 1 2 3 x

∴原不等式的解集为{x|x>

1 }. 2

例 19 答:{x|x ≤ 0 或 1<x<2}
?2(k ? 1) ? 0 例 20 解:要原方程有两个负实根,必须: ?? ? 0 ? ? ? ? x1 ? x2 ? 0 ? x1 x2 ? 0 ?

?k ? 1 ? 0 ?k ? ?1 ? 2 ?k ? k ? 2 ? 0 ?? 2 ? k ? 1 . ? ? ? 4k ? 0 ? ?k ? 0或k ? ?1 ?? ? 2(k ? 1) ? ? 3k ? 2 ?k ? 2 或k ? ?1 ? 3 ?0 ? ? ? 2(k ? 1)

2 2 ? ?2 ? k ? ?1或 ? k ? 1 ∴实数 k 的取值范围是{k|-2<k<-1 或 <k<1}. 3 3
例 21 解:逆命题:若 x = 3 且 y = 2 则 x + y = 5(真) 否命题:若 x + y ? 5 则 x ? 3 且 y?2(真) 逆否命题:若 x ? 3 或 y?2 则 x + y ?5(假) 例 22 答:真 解:逆否:a = 2 且 b = 3,则 a+b = 5,成立,所以此命题为真. 例 23 答:若 a、b 都不为 0,则 ab≠0 例 24 解:假设 x<1 且 y<1,由不等式同向相加的性质 x+y<2 与已知 x+y≥2 矛盾, ∴ 假设不成立∴ x、y 中至少有一个不小于 1 [注]反证法的理论依据是:欲证“若 p 则 q”为真,先证“若 p 则非 q”为假,因在条件 p 下,q 与非 q 是对立事件(不能同时成立,但必有一个成立) ,所以当“若 p 则非 q”为假时,“若 p 则 q”一定为真。
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例 25 解:函数 y ? c 在 R 上单调递减 ? 0 ? c ? 1.
x

的解集为R ? 函数y ? x? | x ? 2c | 在R上恒大于1. 不等式 x? | x ? 2c |? 1
? 2 x ? 2c , x ≥ 2c , ? x ? | x ? 2c |? ? ?函数y ? x ? | x ? 2c | 在R上的最小值为2c. x ? 2c , ? 2c , 1 ? 不等式 | x ? x ? 2c |? 1 的解集为R ? 2c ? 1 ? c ? .如果P正确, 且Q不正确, 2 1 1 则0 ? c ≤ .如果P不正确, 且Q正确, 则c ? 1.所以c的取值范围为(0, ] ? [1, ??). 2 2

例 26 答: x ? 5 ? x ? 5或x ? 2 . 例 27 答既不充分也不必要 解:∵“若 x + y =3,则 x = 1 或 y = 2”是假命题,其逆命题也不成立. ∴逆否命题: “若 x ? 1或y ? 2 ,则 x ? y ? 3 ”是假命题, 否命题也不成立. 故x?

y ? 3 是 x ? 1或y ? 2 的既不充分也不必要条件.

例 28 选 B 例 29 选 A

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