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2016高考数学大一轮复习 7.1-7.2不等关系及一元二次不等式学案 理 苏教版


第七章 学案 32

不等式、推理与证明

不等关系及一元二次不等式

导学目标: 1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.2.通过函数图象了解一元二 次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.3.会解一元二次不等式并能应用一元二 次不等式解决某些实际问题.

自主梳理 1.一元二次不等式的定

义 只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是____的不等式叫做一元二次不等式. 2.二次函数的图象、一元二次方程的根与一元二次不等式的解集之间的关系 判别式 Δ >0 Δ =0 Δ <0 2 Δ =b -4ac 二次函数 2 y=ax +bx +c(a>0)的图 象 有两相异实根 x1,2= 一元二次方程 有两相等实根 2 2 ax +bx+c=0 没有实根 -b± b -4ac x1=x2=________ (a>0)的根 2a (x1<x2) 一元二 次不等 2 式 ax +bx+ c>0 的解集 (-∞,x1) ∪(x2,+∞) (x1,x2) b (-∞,- ) 2a b ∪(- ,+∞) 2a

a>0

a<0

自我检测 2 1.(2010?广州一模)已知 p:关于 x 的不等式 x +2ax-a>0 的解集是 R,q:-1<a<0, 则 p 是 q 成立的________条件. 2 ? ?x -4x+6,x≥0, ? 2.设函数 f(x)= 则不等式 f(x)>f(1)的解集是________. ?x+6, x<0, ? 3. (2011?上海改编)若 a, b∈R, 且 ab>0, 则下列不等式中, 恒成立的是________. (填 序号) 2 2 ①a +b >2ab;②a+b≥2 ab; 1 1 2 b a ③ + > ;④ + ≥2.

a b ab 2 4.已知 f(x)=ax -x-c>0 的解集为(-3,2),则 a=________,c=________. 2 5.当 x∈(1,2)时,不等式 x +mx+4<0 恒成立,则 m 的取值范围为________________.

a b

1

探究点一 一元二次不等式的解法 解下列不等式: 2 2 (1)-x +2x- >0; 3 2 (2)9x -6x+1≥0. 例1

变式迁移 1 解下列不等式: 2 (1)2x +4x+3<0; 2 (2)-3x -2x+8≤0; 2 (3)8x-1≥16x .

探究点二 含参数的一元二次不等式的解法 2 例 2 已知常数 a∈R,解关于 x 的不等式 ax -2x+a<0.

变式迁移 2 解关于 x 的不等式 ax -(a+1)x+1<0.

2

探究点三 一元二次不等式恒成立问题 2 例 3 已知 f(x)=x -2ax+2 (a∈R),当 x∈[-1,+∞)时,f(x)≥a 恒成立,求 a 的取值范围.

变式迁移 3 (1)关于 x 的不等式 围.

4x+m <2 对任意实数 x 恒成立, 求实数 m 的取值范 x2-2x+3

2

(2)若不等式 x +px>4x+p-3 对一切 0≤p≤4 均成立,试求实数 x 的取值范围.

2

转化与化归思想与三个“二次”的关系 2 2 例 (14 分)已知不等式 ax +bx+c>0 的解集为(α ,β ),且 0<α <β ,求不等式 cx +bx+a<0 的解集. 【答题模板】 2 解 由已知不等式的解集为(α , β )可得 a<0, ∵α , β 为方程 ax +bx+c=0 的两根,

b ? ?a=-?α +β ?<0, ① ∴由根与系数的关系可得? c ② ? ?a=α β >0.
∵a<0,∴由②得 c<0,[6 分] 则 cx +bx+a<0 可化为 x + x+ >0.[8 分]
2 2

[4 分]

b c

a c

b -?α +β ? a 1 1 1 ?1 1? ①÷②,得 = =-? + ?<0,由②得 = = ? >0, c α β c α β α β ?α β ? 1 1 b a 2 ∴ 、 为方程 x + x+ =0 的两根.[12 分] α β c c 1 1 2 ∵0<α <β ,∴不等式 cx +bx+a<0 的解集为{x|x< 或 x> }.[14 分] β α 【突破思维障碍】 2 2 由 ax +bx+c>0 的解集是一个开区间,结合不等式对应的函数图象知 a<0,要求 cx + c bx+a<0 的解集首先需要判断二次项系数 c 的正负,由方程根与系数关系知 =α ?β >0, a 2 因 a<0, ∴c<0, 从而知道 cx +bx+a<0 的解集是 x 大于大根及小于小根对应的两个集合. 要 2 想求出解集,需用已知量 α ,β 代替参数 c、b、a,需对不等式 cx +bx+a<0 两边同除 c 或 a, 用α 、 β 代替后, 就不难找到要求不等式对应方程的两根, 从而求出不等式的解集. 本
题较好地体现了三个“二次”之间的相互转化.

1.三个“二次”的关系:二次函数是主体,一元二次方程和一元二次不等式分别为二 次函数的函数值为零和不为零的两种情况, 一般讨论二次函数常将问题转化为一元二次方程 和一元二次不等式来研究, 而讨论一元二次方程和一元二次不等式又常与相应的二次函数相 联系, 通过二次函数的图象及性质来解决. 一元二次不等式解集的端点值就是相应的一元二 次方程的根,也是相应的二次函数的图象与 x 轴交点的横坐标,即二次函数的零点. 2. 解含参数的一元二次不等式的步骤: 解含参数的一元二次不等式可按如下步骤进行: 1°二次项若含有参数应讨论参数是等于 0、小于 0、还是大于 0.然后将不等式转化为二次 项系数为正的形式.2°判断方程的根的个数,讨论判别式 Δ 与 0 的关系.3°确定无根时可 直接写出解集,确定方程有两个根时,要讨论两根的大小关系,从而确定解集的形式. 2 3.不等式恒成立问题:不等式恒成立,即不等式的解集为 R,一元二次不等式 ax +bx

3

+ c>0 (a≠0)恒成立的条件是 ?
? ?a<0, ? 2 ?Δ =b -4ac<0. ?

?a>0, ? ?Δ =b -4ac<0; ?
2

ax2 + bx + c<0 (a≠0)恒成立的条件是

(满分:90 分) 一、填空题(每小题 6 分,共 48 分) 1 2 log ?x -1?的定义域是____________. 2 1 - 6kx 2 2 . ( 原创题 ) 若不等式 3kx + k + 8>( ) 的解集为空集,则实数 k 的取值范围是 3 ________. 2 2 3.(2010?宁夏银川一中一模)已知集合 M={x|x -2 008x-2 009>0},N={x|x +ax +b≤0},若 M∪N=R,M∩N=(2 009,2 010],则 a=__________,b=__________. 2 4.若(m+1)x -(m-1)x+3(m-1)<0 对任何实数 x 恒成立,则实数 m 的取值范围是 ________. 2 5.(创新题)已知 a1>a2>a3>0,则使得(1-aix) <1 (i=1,2,3)都成立的 x 的取值范围是 ________. 6.(2011?扬州模拟)在 R 上定义运算?:x?y=x(1-y),若不等式(x-a)?(x+a)<1 对 任意实数 x 恒成立,则 a 的取值范围为______________. 1.(2011?宿迁模拟)函数 y=
?log2x, x>0, ? 7.已知函数 f(x)=? 2 ?x , x≤0, ?

则满足 f(x)>1 的 x 的取值范围为________.

8. 已知函数 f(x)的定义域为(-∞,+∞),f′(x)为 f(x)的导函数,函数 y=f′(x) 2 的 图 象 如 右 图 所 示 , 且 f( - 2) = 1 , f(3) = 1 , 则 不 等 式 f(x - 6)>1 的 解 集 为 __________________.

二、解答题(共 42 分) 9.(14 分)解关于 x 的不等式

x-a <0 (a∈R). x-a2

? ? 1 2 2 10.(14 分)若不等式 ax +bx+c≥0 的解集是?x|- ≤x≤2?,求不等式 cx +bx+a<0 3 ? ? 的解集.

4

11.(14 分)已知函数 f(x)=x +ax+3. (1)当 x∈R 时,f(x)≥a 恒成立,求 a 的取值范围; (2)当 x∈[-2,2]时,f(x)≥a 恒成立,求 a 的取值范围.

2

学案 32

不等关系及一元二次不等式 答案

自主梳理 1.2 2.- b R 2a ? ?

自我检测 1.充要 2 2 解析 不等式 x +2ax-a>0 的解集是 R 等价于 4a +4a<0,即-1<a<0. 2.(-3,1)∪(3,+∞) 解析 由解析式可得 f(1)=1-4+6=3, 当 x≥0 时, x2-4x+6>3, 解得 x>3 或 0≤x<1; 当 x<0 时,x+6>3,解得-3<x<0,所以不等式 f(x)>f(1)的解集为(-3,1)∪(3,+∞). 3.④ 2 2 2 解析 ∵a +b -2ab=(a-b) ≥0,∴①错误. 对于②③,当 a<0,b<0 时,明显错误. 对于④,∵ab>0,∴ + ≥2 4.-1 -6 -1 2 解析 因为 f(x)=ax -x-c>0 的解集为(-3,2), 所以-3+2=- , a=-1, -3?2

b a a b

b a ? =2. a b

a

-c = ,c=-6.

a

5.(-∞,-5] 2 解析 记 f(x)=x +mx+4,根据题意得 Δ =m -16>0, ? ? ?f?1?≤0, ? ?f?2?≤0,
2

解得 m≤-5.

课堂活动区 例 1 解题导引 解一元二次不等式的一般步骤: 2 2 (1)对不等式变形,使一端为 0 且二次项系数大于 0,即 ax +bx+c>0(a>0),ax +bx +c<0(a>0); (2)计算相应的判别式;
5

(3)当 Δ ≥0 时,求出相应的一元二次方程的根; (4)根据对应二次函数的图象,写出不等式的解集. 2 解 (1)两边都乘以-3,得 3x -6x+2<0, 2 因为 3>0,且方程 3x -6x+2=0 的解是 3 3 x1=1- ,x2=1+ , 3 3 所以原不等式的解集是{x|1-
2

3 3 <x<1+ }. 3 3

(2)∵不等式 9x -6x+1≥0, 2 2 其相应方程 9x -6x+1=0,Δ =(-6) -4?9=0, 1 ∴上述方程有两相等实根 x= , 3 2 结合二次函数 y=9x -6x+1 的图象知,原不等式的解集为 R. 2 变式迁移 1 解 (1)∵不等式 2x +4x+3<0 可转化为 2 2 2(x+1) +1<0,而 2(x+1) +1>0, 2 ∴2x +4x+3<0 的解集为?. 2 (2)两边都乘以-1,得 3x +2x-8≥0, 2 因为 3>0,且方程 3x +2x-8=0 的解是 4 x1=-2,x2= , 3 4 所以原不等式的解集是(-∞,-2]∪[ ,+∞). 3 2 (3)原不等式可转化为 16x -8x+1≤0, 2 即(4x-1) ≤0, 1 ∴原不等式的解集为{ }. 4 例 2 解题导引 (1)含参数的一元二次不等式,若二次项系数为常数,可先考虑分解 因式, 再对参数进行讨论; 若不易因式分解, 则可对判别式进行分类讨论, 分类要不重不漏. (2)若二次项系数为参数,则应先考虑二次项是否为零,然后再讨论二次项系数不为零 时的情形,以便确定解集的形式. (3)其次对方程的根进行讨论,比较大小,以便写出解集. 解 (1)a=0 时,解为 x>0. 2 (2)a>0 时,Δ =4-4a . ①当 Δ >0,即 0<a<1 时, 2 1± 1-a 2 方程 ax -2x+a=0 的两根为 ,

a

1- 1-a 1+ 1-a ∴不等式的解集为{x| <x< }.

2

2

a

a

②当 Δ =0,即 a=1 时,x∈?; ③当 Δ <0,即 a>1 时,x∈?. (3)当 a<0 时, ①Δ >0,即-1<a<0 时, 2 2 1+ 1-a 1- 1- a 不等式的解集为{x|x< 或 x> }.

a

a

②Δ =0,即 a=-1 时,不等式化为(x+1) >0, ∴解为 x∈R 且 x≠-1. ③Δ <0,即 a<-1 时,x∈R. 综上所述,当 a≥1 时, 原不等式的解集为?;
6

2

当 0<a<1 时,解集为 2 2 1- 1-a 1+ 1-a {x| <x< };

a 当 a=0 时,解集为{x|x>0}; 当-1<a<0 时,解集为 2 2 1+ 1-a 1- 1-a {x|x< 或 x> }; a a 当 a=-1 时,解集为{x|x∈R 且 x≠-1}; 当 a<-1 时,解集为 R. 变式迁移 2 解 ①当 a=0 时,解得 x>1.
1 ②当 a>0 时,原不等式变形为(x- )(x-1)<0,

a

a

1 ∴a>1 时,解得 <x<1;

a a=1 时,解得 x∈?;

1 0<a<1 时,解得 1<x< .

a

1 ③当 a<0 时,原不等式变形为(x- )(x-1)>0,

a

1 ∵ <1,∴解不等式可得 x< 或 x>1.

1

a

a

1 综上所述,当 a<0 时,不等式解集为(-∞, )∪(1,+∞);

a

当 a=0 时,不等式解集为(1,+∞); 1 当 0<a<1 时,不等式解集为(1, );

a

当 a=1 时,不等式解集为?; 1 当 a>1 时,不等式解集为( ,1).

a

例 3 解题导引 注意等价转化思想的运用,二次不等式在区间上恒成立的问题可转 化为二次函数区间最值问题. 2 2 解 方法一 f(x)=(x-a) +2-a ,此二次函数图象的对称轴为 x=a. ①当 a∈(-∞,-1)时,f(x)在[-1,+∞)上单调递增,f(x)min=f(-1)=2a+3.要 使 f(x)≥a 恒成立,只需 f(x)min≥a, 即 2a+3≥a,解得-3≤a<-1; 2 ②当 a∈[-1,+∞)时,f(x)min=f(a)=2-a , 2 由 2-a ≥a,解得-1≤a≤1. 综上所述,所求 a 的取值范围为-3≤a≤1. 2 方法二 令 g(x)=x -2ax+2-a,由已知, 2 得 x -2ax+2-a≥0 在[-1,+∞)上恒成立, Δ >0, ? ? 即 Δ =4a -4(2-a)≤0 或?a<-1, ? ?g?-1?≥0.
2

解得-3≤a≤1. 2 2 变式迁移 3 解 (1)∵x -2x+3=(x-1) +2>0, 4x+m 2 ∴不等式 2 <2 同解于 4x+m<2x -4x+6, x -2x+3 2 即 2x -8x+6-m>0. 2 要使原不等式对任意实数 x 恒成立,只要 2x -8x+6-m>0 对任意实数 x 恒成立.
7

∴Δ <0,即 64-8(6-m)<0,整理并解得 m<-2. ∴实数 m 的取值范围为(-∞,-2). 2 2 (2)∵x +px>4x+p-3,∴(x-1)p+x -4x+3>0. 2 令 g(p)=(x-1)p+x -4x+3, 则要使它对 0≤p≤4 均有 g(p)>0, ?g?0?>0 ? 只要有? .∴x>3 或 x<-1. ?g?4?>0 ? ∴实数 x 的取值范围为(-∞,-1)∪(3,+∞). 课后练习区 1.[- 2,-1)∪(1, 2] 2.[0,1] 3.-2 009 -2 010 解析 化简得 M={x|x<-1 或 x>2 009}, 由 M∪N=R,M∩N=(2 009,2 010]可知 N={x|-1≤x≤2 010},即-1,2 010 是方程 x2+ax+b=0 的两个根. 所以 b=-1?2 010=-2 010,-a=-1+2 010, 即 a=-2 009. 13 4.m<- 11 解析 当 m=-1 时,不等式变为 2x-6<0,即 x<3,不符合题意.当 m≠-1 时,由题 意知 ? ?m+1<0,
? 2 ?Δ =?m-1? -4?m+1??3?m-1?<0, ? ? ?m+1<0, 化简,得? 2 ?11m +2m-13>0, ?

13 解得 m<- . 11

? 2? 5.?0, ? a ?
1

?
2 2 2

解析 (1-aix) <1,即 aix -2aix<0, 即 aix(aix-2)<0,由于 ai>0,这个不等式可以化为 2 2 2 ? 2? x?x- ?<0,即 0<x< ,若对每个都成立,则 应最小,即 ai 应最大,也即是 0<x< .

?

ai?

ai

ai

a1

1 3 6.(- , ) 2 2 解析 由题意知,(x-a)?(x+a)<1 ?(x-a)(1-x-a)<1 2 2 ?x -x-(a -a-1)>0. 2 因上式对 x∈R 都成立,所以 Δ =1+4(a -a-1)<0, 1 3 2 即 4a -4a-3<0.所以- <a< . 2 2 7.(-∞,-1)∪(2,+∞) 解析 当 x>0 时,由 log2x>1,得 x>2; 2 当 x≤0 时,由 x >1,得 x<-1. 综上可知,x 的取值范围为(-∞,-1)∪(2,+∞). 8.(2,3)∪(-3,-2) 解析 由导函数图象知当 x<0 时,f′(x)>0, 即 f(x)在(-∞,0)上为增函数; 当 x>0 时,f′(x)<0,即 f(x)在(0,+∞)上为减函数, 2 2 2 2 故不等式 f(x -6)>1 等价于 f(x -6)>f(-2)或 f(x -6)>f(3),即-2<x -6≤0 或 2 0≤x -6<3,
8

解得 x∈(2,3)∪(-3,-2). x-a 2 9.解 <0?(x-a)(x-a )<0,(2 分) x-a2 ①当 a=0 或 a=1 时,原不等式的解集为?;(5 分) 2 2 ②当 a<0 或 a>1 时,a<a ,此时 a<x<a ;(9 分) 2 2 ③当 0<a<1 时,a>a ,此时 a <x<a.(13 分) 2 综上,当 a<0 或 a>1 时,原不等式的解集为{x|a<x<a }; 2 当 0<a<1 时,原不等式的解集为{x|a <x<a}; 当 a=0 或 a=1 时,原不等式解集为?.(14 分) 2 10.解 由 ax +bx+c≥0 的解集为 ? ? 1 ?x|- ≤x≤2?,知 a<0,(4 分) 3 ? ? 1 c ? ? 又?- ??2= <0,则 c>0. a ? 3? 1 2 又- ,2 为方程 ax +bx+c=0 的两个根,(7 分) 3 b 5 b 5 ∴- = ,即 =- . a 3 a 3 c 2 5 2 又∵ =- ,∴b=- a,c=- a.(10 分) a 3 3 3 ? 2 ? 2 ? 5 ? 2 2 ∴不等式 cx +bx+a<0 变为?- a?x +?- a?x+a<0,即 2ax +5ax-3a>0. ? 3 ? ? 3 ? 2 又∵a<0,∴2x +5x-3<0, ? 1? ∴所求不等式的解集为?x|-3<x< ?.(14 分) 2? ? 2 11.解 (1)∵x∈R 时,有 x +ax+3-a≥0 恒成立, 2 2 需 Δ =a -4(3-a)≤0,即 a +4a-12≤0, ∴-6≤a≤2.(4 分) 2 (2)当 x∈[-2,2]时,设 g(x)=x +ax+3-a≥0,分如下三种情况讨论(如图所示):

①如图 a,当 g(x)的图象恒在 x 轴上方,满足条件时, 2 有 Δ =a -4(3-a)≤0,即-6≤a≤2.(7 分) ②如图 b,g(x)的图象与 x 轴有交点, 但在 x∈[-2,+∞)时,g(x)≥0, Δ ≥0, ? ? a 即?x=- <-2, 2 ? ?g?-2?≥0,

a -4?3-a?≥0, ? ? a 即?- <-2, 2 ? ?4-2a+3-a≥0

2

a≥2或a≤-6, ? ?a>4, ?? 7 ? ?a≤3,

解之,得 a∈?.(10 分) ③如图 c,g(x)的图象与 x 轴有交点,
9

Δ ≥0, ? ? a 但在 x∈(-∞,2]时,g(x)≥0,即?x=- >2, 2 ? ?g?2?≥0,

? ? a 即?- >2, 2 ? ?4+2a+3-a≥0

a2-4?3-a?≥0,

a≥2或a≤-6, ? ? ??a<-4, ? ?a≥-7

?-7≤a≤-6.(13 分) 综合①②③,得 a∈[-7,2].(14 分)

10


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